Spis rzeczy

Subsections

• Zagadnienie brachistochrony
• Powierzchnia obrotowa o minimalnym polu
• Powierzchnia o minimalnym polu przechodząca przez daną krzywą

Przykładowe zagadnienia

Rachunek wariacyjny zajmuje się metodami wyznaczania wartości ekstremalnych funkcjonałów określonych na pewnych przestrzeniach funkcyjnych. Klasyczna teoria rachunku wariacyjnego pochodzi od Eulera (1707-1783). Poniżej przedstawimy kilka przykładowych problemów prowadzących do zagadnień wariacyjnych.

Zagadnienie brachistochrony

W roku 1696 Johann Bernoulli postawił następujący problem.

Dane są dwa ustalone punkty $M_{1}$i $M_{2}$nie leżące na pionowej prostej. Należy wyznaczyć linię - drogę, po której punkt materialny zsunie się od$M_{1}$do $M_{2}$ w najkrótszym czasie pod wpływem siły ciążenia, zakładając, że prędkość początkowa w punkcie $M_{1}$jest równa zeru.
 

Niech $M_{1}\left( 0,0\right)$, $M_{2}\left( x_{2},y_{2}\right)$. Zakładając, że szukana krzywa dana jest równaniem $y=u\left(x\right)$ wnioskujemy, że muszą być spełnione warunki brzegowe$u\left( 0\right) =0$, $u\left( x_{2}\right) =y_{2}$. Z zasady zachowania energii wynika, że

$$\frac{1}{2}mv^{2}=mgy$$, zatem $$v=\sqrt{2gy}$$. Ponieważ $$dt=\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{1+\left( u^{\prime}\left( x\right) \right)^{2}}}{\sqrt{2gu\left( x\right) }}dx\text{,}%%$$ więc całkowity czas zsuwania się punktu materialnego po krzywej$y=u\left(x\right)$ można zapisać wzorem

$$T=\frac{1}{\sqrt{2g}}<tex2html_comment_mark>2401 {\displaystyle\i......x\right) \right) ^{2}}}<tex2html_comment_mark>2405 {\sqrt{u\left( x\right) }}dx$$ (13.1)

jest funkcjonałem postaci $T\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}F\left( x,u,u^{\prime}\right) dx$. Należy wyznaczyć taką funkcję $u\left( x\right)$, dla której wyrażenie (13.1) przyjmuje wartość minimalną w klasie funkcji różniczkowalnych spełniających zadane warunki brzegowe $u\left( 0\right) =0$, $u\left( x_{2}\right) =y_{2}$.

Powierzchnia obrotowa o minimalnym polu

Postawmy zagadnienie wyznaczenia funkcji $y=u\left(x\right)$, która spełnia warunki brzegowe $u\left( x_{1}\right) =y_{1}$, $u\left( x_{2}\right) =y_{2}$ takiej, że pole powierzchni obrotowej otrzymanej przez obrót tej krzywej dookoła osi $OX$ w przedziale $\left[x_{1};x_{2}\right]$ jest minimalne. Ponieważ pole powierzchni obrotowej opisane jest wzorem

$$S=2\pi {\displaystyle\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}} u\left( x\right......{1+\left( u^{\prime}\left( x\right) \right) ^{2}<tex2html_comment_mark>2415 }dx$$ (13.2)

więc zagadnienie powyższe prowadzi do minimalizacji funkcjonału (13.2).

Powierzchnia o minimalnym polu przechodząca przez daną krzywą

Niech  będzie daną krzywą zamkniętą w$\mathbb{R}^{3}$. Poszukujemy powierzchni , której brzegiem jest, i której pole jest minimalne. Analitycznie oznacza to, że szukamy funkcji dwóch zmiennych $z=u\left( x,y\right)$ spełniającej warunek brzegowy $$u\left( x,y\right) _{\vert\partial\Omega}=f\left( x,y\right)$$, gdzie $f$ jest dana, a $\partial\Omega$ jest rzutem  na płaszczyznę $Oxy$, takiej, że funkcjonał

$$S=<tex2html_comment_mark>2419 {\displaystyle\iint\limits_{\Omega}......partial x}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) ^{2}}dxdy%%$$ (13.3)

przyjmuje wartość minimalną ($\Omega$ jest obszarem, którego brzegiem jest $\partial\Omega$). Rozważany funkcjonał (13.3) jest postaci $S\left( u\right) =%%{\displaystyle\iint\limits_{\Omega}}F\left( x,y,u,u_{x},u_{y}\right) dxdy$.