Spis rzeczy

Subsections

• Przypadki funkcjonałów szczególnej postaci
• Zagadnienie z nieruchomymi końcami
• Zagadnienie ze swobodnymi końcami
• Funkcjonał zależny od więcej niż jednej funkcji
• Funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów
• Funkcjonał zależny od funkcji dwóch zmiennych
• Funkcjonały zależne od funkcji wielu zmiennych i pochodnych wyższych rzędów

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału

Niech $J:X\rightarrow\mathbb{R}$ będzie funkcjonałem określonym na pewnej przestrzeni funkcyjnej . Niech $\Delta J=J\left( u+h\right)-J\left( u\right)$ będzie przyrostem wartości funkcjonału odpowiadającym przyrostowi argumentu o $h$. Zauważmy, że dla ustalonego  przyrost $\Delta J$ jest funkcjonałem zależnym od $h$ - na ogół nieliniowym. Zgodnie z ogólną teorią różniczkowania w przestrzeniach unormowanych, przyjmujemy następującą definicję.
 

D e f i n i c j a

Mówimy, że funkcjonał $J$ jest różniczkowalny w punkcie  wtedy i tylko wtedy gdy przyrost $\Delta J$ daje się przedstawić w postaci

$$\Delta J=\varphi\left( h\right) +\alpha\left( u,h\right) \Vert h\Vert$$ (13.4)

gdzie $\varphi\left( h\right)$ jest funkcjonałem liniowym względem $h$, oraz $\lim\limits_{\Vert h\Vert\rightarrow0}\alpha\left( u,h\right) =0$. Funkcjonał $\varphi\left( h\right)$ nazywamy wariacją (różniczką w sensie Frécheta) funkcjonału $J$. Wariację $\varphi\left( h\right)$ zapisujemy symbolicznie jako $\deltaJ\left( h\right)$.
 

Pojęcie wariacji funkcjonału pozwala sformułować w prosty sposób warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału.

T w i e r d z e n i e

Jeśli funkcjonał $J\left( u\right)$ posiada ekstremum dla $u=u_{0}$ oraz istnieje wariacja funkcjonału $J$, to

$$\delta J=0 u=u_{0}$$ (13.5)

Dla dowodu wystarczy zauważyć, że $\Delta J=J\left(u_{0}+h\right) -J\left( u_{0}\right) =\delta J\left( h\right)+\alpha\left( u_{0},h\right) \Vert h\Vert$. Ponieważ $\alpha\left(u_{0},h\right) \rightarrow0$ dla $\Vert h\Vert\rightarrow0$, więc znak wyrażenia $\delta J\left( h\right) +\alpha\left( u_{0},h\right) \Verth\Vert$ dla dostatecznie małych $\Vert h\Vert$ określony jest przez znak pierwszego składnika. Gdyby $\delta J\neq0$, z liniowości wariacji $\delta J$ wynika, że dla małych $\Vert h\Vert$ znak ten może być zarówno dodatni jak i ujemny, zatem funkcjonał $J$ nie może osiągać ekstremum w punkcie $u_{0}$.

Przypadki funkcjonałów szczególnej postaci

Przedyskutujemy teraz postać warunku koniecznego istnienia ekstremum (13.5) w pewnych szczególnych przypadkach funkcjonałów.

Zagadnienie z nieruchomymi końcami

Rozważmy przestrzeń $C^{1}\left( \left[ a;b\right] \right)$ z normą $\Vert u\Vert=\underset{\left[ a;b\right] }{\sup}\left\vert u\left(x\right) \r......set{\left[ a;b\right] }{\sup}\left\vert u^{\prime}\left( x\right) \right\vert$. Niech  będzie przestrzenią funkcyjną określoną następująco $$X=\left\{ u:u\in C^{1}\left( \left[ a;b\right] \right) \text{, }u\left(a\right) =A\text{, }u\left( b\right) =B\right\} \text{.}%%$$ Rozważamy tzw. zagadnienie z nieruchomymi końcami polegające na wyznaczeniu ekstremów funkcjonału postaci

$$J\left( u\right) =<tex2html_comment_mark>2436 {\displaystyle\int\limits_{a}^{b}} F\left( x,u,u^{\prime}\right) dx%%$$ (13.6)

w przestrzeni .

Niech $h$ będzie przyrostem funkcji , tzn. $h\in C^{1}\left( \left[a;b\right] \right)$ oraz $u+h\in X$. Wynika stąd, że

$$h\left( a\right) =h\left( b\right) =0$$. Załóżmy teraz, że $F\left( x,u,u^{\prime}\right)$ jest funkcją klasy $C^{2}$ na zbiorze $\left\{ \left( x,u,u^{\prime}\right):a\leq x\leq b\text{, }u,u^{\prime}\in\mathbb{R}\right\}$.

Wyznaczmy wariację $\delta J$. Mamy

$$\Delta J=%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}F\left( x,u+h,u^{\......\prime}+h^{\prime}\right) -F\left( x,u,u^{\prime}\right) \right] dx\text{.}%%$$ Ze wzoru Taylora wynika, że

$$F\left( x,u+h,u^{\prime}+h^{\prime}\right) -F\left( x,u,u^{\prime}\right) =h\frac{\partial F\left( x,u,u^{\prime}\right) }{\partial u}+h^{\prime }\frac{\partial F\left( x,u,u^{\prime}\right) }{\partial u^{\prime}}+$$

$$+\frac{1}{2}h^{2}\frac{\partial^{2}F}{\partial u^{2}}+hh^{\prime}......l u^{\prime}}+\frac{1}{2}h^{\prime 2}\frac{\partial^{2}F}{\partial u^{\prime2}}$$

gdzie pochodne $\frac{\partial^{2}F}{\partial u^{2}}$, $\frac{\partial^{2}%%F}{\partial u\partial u^{\prime}}$, $\frac{\partial^{2}F}{\partial u^{\prime2}}$ obliczone są w punkcie $\left( x,u+\theta h,u^{\prime}+\thetah^{\prime}\right)$, $0<\theta<1$.

W takim razie

$$\Delta J=<tex2html_comment_mark>2458 {\displaystyle\int\limits_{a......e}\right) }{\partial u^{\prime}}\right] dx+\alpha\left( u,h\right) \Vert h\Vert$$ (13.7)

gdzie

$$\alpha\left( u,h\right) =\frac{1}{\Vert h\Vert}<tex2html_comment_......e}}+\frac{1}{2}h^{\prime 2}\frac{\partial^{2}F}{\partial u^{\prime2}}\right) dx$$ (13.8)

Szacując wyrażenie (13.8) otrzymujemy

$$\left\vert \alpha\left( u,h\right) \right\vert \leq\frac{1}{\Vert......tial^{2}F}{\partial u^{\prime2}}\right\vert \right)dx=\Vert h\Vert\cdot Const$$ co na mocy definicji (13.4) oznacza, że wariacja funkcjonału (13.6) wyraża się wzorem

$$\delta J\left( h\right) =<tex2html_comment_mark>2474 {\displaysty......e}\frac{\partial F\left( x,u,u^{\prime}\right) }{\partial u^{\prime}}\right] dx$$ (13.9)

Zgodnie ze wzorem (13.5) warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału jest spełnianie warunku $\delta J\left( h\right) \equiv0$. Całkując przez części drugi składnik we wzorze (13.9) otrzymujemy

$$%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}h^{\prime}\frac{\partial F\......rtial F\left( x,u,u^{\prime}\right) }{\partialu^{\prime}}\right) dx\text{,}%%$$ zatem $$\delta J\left( h\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}h\......\frac{d}{dx}F_{u^{\prime}%%}\left( x,u,u^{\prime}\right) \right] dx\text{.}%%$$ Z dowolności funkcji $h$ wynika, że musi być spełnione poniższe równanie (zapisane w uproszczonej postaci z pominięciem argumentów)

$$F_{u}-\frac{d}{dx}F_{u^{\prime}}=0$$ (13.10)

Równanie to nosi nazwę równania Eulera. Jest to właśnie warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału postaci (13.6). Rozwiązania równania Eulera nazywają się ekstremalami. Z udowodnionego uprzednio twierdzenia wynika, że funkcjonał $J$ może posiadać ekstrema tylko na zbiorze ekstremal, zależy to jednak od spełnienia pewnych warunków dostatecznych istnienia ekstremum. Warunków tych nie będziemy w tym miejscu omawiać.

P r z y k ł a d  1 (zagadnienie brachistochrony)

Rozważmy funkcjonał opisany wzorem (13.1). Jest on postaci

$$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}F\left( u,u^{\prime}\right) dx$$ tzn. funkcja  nie zależy w sposób jawny od $x$. Można pokazać, że w tym przypadku równanie Eulera (13.10) może być sprowadzone do prostszej postaci $$F-u^{\prime}F_{u^{\prime}}=Const$$. W przypadku funkcjonału zagadnienia brachistochrony przyjmujemy $$F\left( u,u^{\prime}\right) =\frac{\sqrt{1+\left( u^{\prime}\left(x\right) \right) ^{2}}}{\sqrt{u\left( x\right) }}\text{,}%%$$ co prowadzi do równania

$$\frac{\sqrt{1+\left( u^{\prime}\right) ^{2}}}{\sqrt{u}}-\frac{\le......qrt{u}\sqrt{1+\left( u^{\prime}\right) ^{2}}<tex2html_comment_mark>2501 }=Const$$ (13.11)

Wprowadzając parametr $\tau=2\operatorname{arcctg}u^{\prime}$ można zapisać rozwiązanie równania (13.11) w postaci parametrycznej

$$x=a\left( \tau-\sin\tau\right)$$, $$u=a\left( 1-\cos\tau\right)$$. Jest to przedstawienie parametryczne cykloidy, gdzie stała $a$ zależy od przyjętego warunku brzegowego $u\left( x_{2}\right) =y_{2}$.

P r z y k ł a d  2 (powierzchnia obrotowa o minimalnym polu)

Zagadnienie znalezienia powierzchni obrotowej o minimalnym polu przechodzącej przez ustalone punkty równoważne jest minimalizacji funkcjonału (13.2). Ponieważ

$$F\left( u,u^{\prime}\right) =u\left( x\right) \sqrt{1+\left( u^{\prime}\left( x\right) \right) ^{2}}%%$$ nie zależy w sposób jawny od $x$, więc podobnie jak w poprzednim przykładzie otrzymujemy równanie $$F-u^{\prime}F_{u^{\prime}}=u\sqrt{1+\left( u^{\prime}\right) ^{2}......^{\prime}\right) ^{2}}{\sqrt{1+\left( u^{\prime}\right)^{2}}}=Const\text{.}%%$$ Łatwo pokazać, że jego rozwiązaniami są wszystkie linie opisane równaniem postaci $$u=C_{1}\cosh\frac{x-C_{2}}{C_{1}}$$, gdzie $C_{1}$ i $C_{2}$ są stałymi zależnymi od przyjętych warunków brzegowych. Otrzymane linie noszą nazwę krzywych łańcuchowych.

Zagadnienie ze swobodnymi końcami

Rozważmy funkcjonał (13.6) bez zadanych warunków brzegowych, tzn. poszukajmy krzywej, dla której funkcjonał $$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}F\left( x,u,u^{\prime}\right) dx$$ osiąga ekstremum, przy założeniu, że końce krzywej$u=u\left( x\right)$ leżą na prostych $x=a$, $x=b$. Powtarzając rozumowanie z rozważań dotyczących zagadnienia z nieruchomymi końcami, dochodzimy do ponownie do równania Eulera (13.10) oraz otrzymujemy tzw. naturalne warunki brzegowe wyznaczone z równań

$$F_{u^{\prime}\vert x=a}=0 F_{u^{\prime}\vert x=b}=0$$ (13.12)

Warunki te spełnia każda krzywa, na której realizowane jest ekstremum funkcjonału $J$.

Funkcjonał zależny od więcej niż jednej funkcji

Rozważmy zagadnienie polegające na wyznaczeniu ekstremów funkcjonału postaci

$$J\left( u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right) =<tex2html_comment_mark>2......{1}^{\prime}\left( x\right) ,\ldots,u_{n}^{\prime}\left( x\right) \right) dx%%$$ (13.13)

przy założeniu, że funkcje $u_{1},\ldots,u_{n}$ spełniają pewne warunki brzegowe dla $x=a$i $x=b$.

Wykorzystując rozwinięcie funkcji  za pomocą wzoru Taylora, można pokazać, że w tym przypadku wariacja $\delta J$ funkcjonału (13.13) dana jest wzorem

$$\delta J\left( h\right) =<tex2html_comment_mark>2519 {\displaysty......its_{i=1}^{n}} \left( F_{u_{i}}h_{i}+F_{u_{i}^{\prime}}h_{i}^{\prime}\right) dx$$ (13.14)

Wzór ten jest uogólnieniem wzoru (13.9). Dobierając w sposób niezależny funkcje $h_{i}$ łatwo pokazać, że warunek powyższy prowadzi do układu równań Eulera postaci

$$F_{u_{i}}-\frac{d}{dx}F_{u_{i}^{\prime}}=0 i=1,2,\ldots ,n$$ (13.15)

P r z y k ł a d  (zasada najmniejszego działania)

Załóżmy, że dany jest pewien układ punktów materialnych o masach $m_{1},m_{2},\ldots,m_{n}$ i współrzędnych $\left(x_{i},y_{i},z_{i}\right)$ dla . Zakładamy, że układowi temu nie nałożono żadnych więzów.

Energia kinetyczna układu wyraża się wzorem

$$T=%%{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}\frac{1}{2}m_{i}\left( \overset{.}{x}_{i}^{2}+\overset{.}{y}_{i}^{2}%%+\overset{.}{z}_{i}^{2}\right)$$. Załóżmy ponadto, że układ posiada energię potencjalną, tzn., że istnieje taka funkcja (potencjał) $U=U\left( t,x_{1}%%,\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{n},z_{1},\ldots,z_{n}\right)$, że składowe siły działającej na $i-$ty punkt są równe odpowiednio $$X_{i}=-\frac{\partial U}{\partial x_{i}}$$, $$Y_{i}=-\frac{\partialU}{\partial y_{i}}\text{, \ }Z_{i}=-\frac{\partial U}{\partial z_{i}}\text{.}%%$$ Wprowadzamy tzw. funkcję Lagrange'a rozważanego układu, wzorem $$L=T-U$$. Rozważmy teraz zagadnienie minimalizacji funkcjonału

$$<tex2html_comment_mark>2538 {\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t_......erset{.}{z}_{1},\ldots,\overset{.}{z}<tex2html_comment_mark>2544 _{n}\right) dt$$ (13.16)

Na mocy układu równań Eulera (13.15) zastosowanego do funkcji

$$F=L=%%{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}}\frac{1}{2}m_{i}\left...... -U\left( t,x_{1},\ldots,x_{n},y_{1}%%,\ldots,y_{n},z_{1},\ldots,z_{n}\right)$$ otrzymujemy, że $$-\frac{\partial U}{\partial x_{i}}-\frac{d}{dt}m_{i}\overset{.}{x}%%_{i}=0$$, $$-\frac{\partial U}{\partial y_{i}}-\frac{d}{dt}m_{i}%%\overset{.}{y}_{i}=0$$, $$-\frac{\partial U}{\partial z_{i}}-\frac{d}%%{dt}m_{i}\overset{.}{z}_{i}=0$$ dla $$i=1,2,\ldots ,n$$ skąd wynika, że

$$m_{i}\overset{..}{x}_{i}=X_{i} m_{i}\overset{..}{y_{i}}=Y_{i} m_{i}\overset{..}{z_{i}}=Z_{i} i=1,2,\ldots ,n$$ (13.17)

Równania (13.17) sa równaniami ruchu dla układu  punktów materialnych.

Udowodniliśmy w ten sposób następującą zasadę najmniejszego działania.

Ruch układu w przedziale czasowym $\left( t_{0};t_{1}\right)$ opisują te funkcje $x_{i}\left( t\right)$, $y_{i}\left( t\right)$, $z_{i}\left( t\right)$, , dla których całka (13.16) osiąga minimum.

Funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów

Rozważmy teraz funkcjonały postaci

$$J\left( u\right) =<tex2html_comment_mark>2558 {\displaystyle\int\limits_{a}^{b}} F\left( x,u,u^{\prime},\ldots,u^{\left( n\right) }\right) dx%%$$ (13.18)

z warunkami brzegowymi

$$u^{\left( i\right) }\left( a\right) =A_{i} u^{\left( i\right) }\left( b\right) =B_{i} i=0,2,\ldots,n-1$$ (13.19)

Rozumując analogicznie jak w poprzednich przypadkach można pokazać, że wariacja $\delta J$ wyraża się wzorem

$$\delta J\left( h\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{a}^{b}}\l......ac{d^{n}}{dx^{n}}F_{u^{\left(n\right) }}\right) h\left( x\right) dx\text{.}%%$$ Z warunku koniecznego istnienia ekstremum (13.5) wynika następujące równanie zwane równaniem Eulera-Poissona

$$F_{u}-\frac{d}{dx}F_{u^{\prime}}+\frac{d^{2}}{dx^{2}}F_{u^{\prime...... ^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}F_{u^{\left( n\right) }<tex2html_comment_mark>2571 }=0$$ (13.20)

Funkcjonał zależny od funkcji dwóch zmiennych

Rozważmy teraz przypadek funkcjonału zależnego od funkcji dwóch zmiennych. Niech  będzie obszarem zawartym w $\mathbb{R}^{2}$ ograniczonym krzywą $\partial\Omega$. Poszukujemy funkcji $u\left( x,y\right)$ takiej, że funkcjonał

$$J\left( u\right) =<tex2html_comment_mark>2573 {\displaystyle\iint......eft( x,y\right) ,u_{x}\left( x,y\right) ,u_{y}\left( x,y\right) \right) dxdy%%$$ (13.21)

osiąga wartość ekstremalną. Od funkcji  wymagamy, aby spełniała warunek brzegowy postaci

$$u_{\vert\partial\Omega}=\varphi$$ (13.22)

gdzie $\varphi$ jest daną funkcją określoną na brzegu$\partial\Omega$.

Zakładając, że  jest klasy $C^{2}$ i analizując postać przyrostu $\Delta J$ można wyprowadzić następujący wzór na wariację funkcjonału

$$\delta J\left( h\right) =<tex2html_comment_mark>2579 {\displaystyle\iint\limits_{\Omega}} \left( F_{u}h+F_{u_{x}}h_{x}+F_{u_{y}}h_{y}\right) dxdy$$ (13.23)

Przekształcając wzór (13.23) za pomocą wzoru Greena i zakładając, że $h_{\vert\partial\Omega}=0$, otrzymujemy ostatecznie, że

$$\delta J\left( h\right) =<tex2html_comment_mark>2584 {\displaysty......x}F_{u_{x}}-\frac{\partial}{\partial y}F_{u_{y}}\right) h\left( x,y\right) dxdy$$ (13.24)

Wynika stąd następujące równanie Eulera

$$F_{u}-\frac{\partial}{\partial x}F_{u_{x}}-\frac{\partial}{\partial y}<tex2html_comment_mark>2589 F_{u_{y}}=0$$ (13.25)

Równanie (13.25) wraz z warunkiem brzegowym $u_{\vert\partial\Omega}=\varphi$ jest sformułowaniem warunku koniecznego dla istnienia ekstremum funkcjonału (13.21). Jest to równanie różniczkowe cząstkowe.

P r z y k ł a d  1

Rozważmy funkcjonał

$$J\left( u\right) =<tex2html_comment_mark>2592 {\displaystyle\iint...... x}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) ^{2}\right] dxdy%%$$ (13.26)

z warunkiem brzegowym $u_{\vert\partial\Omega}=\varphi$.

W tym przypadku

$$F\left( x,y,u,u_{x},u_{y}\right) =\left( \frac{\partial u}{\partialx}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) ^{2}\text{,}%%$$ zatem równanie Eulera (13.25) przybiera postać

$$u_{\vert\partial\Omega}=\varphi$$ (13.27)

Oznacza to, ze funkcja  jest rozwiązaniem zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace'a.

Łatwo pokazać, ze funkcja  będąca rozwiązaniem zagadnienia (13.27) realizuje minimum funkcjonału (13.26).

Niech $u=u_{0}+h$, gdzie $h_{\vert\partial\Omega}=0$. Wówczas

$$J\left( u\right) =J\left( u_{0}+h\right) =<tex2html_comment_mark>2600 {\displaysty......rtial u_{0}}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial y}\right) ^{2}\right] dxdy=$$

$$=<tex2html_comment_mark>2604 {\displaystyle\iint\limits_{\Omega}}......al x}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial h}{\partial y}\right) ^{2}\right] dxdy+$$

$$+2{\displaystyle\iint\limits_{\Omega}} \left[ \frac{\partial u_{0......616 +\frac{\partial u_{0}}{\partial y}\frac{\partial h}{\partial y}\right] dxdy$$

Stosując twierdzenie Greena i uwzględniając fakt, że $\Deltau_{0}=0$ łatwo pokazać, że

$$%%{\displaystyle\iint\limits_{\Omega}}\left[ \frac{\partial u_{......%+\frac{\partial u_{0}}{\partial y}\frac{\partial h}{\partial y}\right]dxdy=0$$, zatem $$J\left( u_{0}+h\right) =J\left( u_{0}\right) +%%{\displaystyle\i......\frac{\partial h}{\partial y}\right) ^{2}\right] dxdy\geq J\left(u_{0}\right)$$ co kończy dowód.

P r z y k ł a d  2

Rozważmy funkcjonał

$$J\left( u\right) =<tex2html_comment_mark>2629 {\displaystyle\iint...... \frac{\partial u}{\partial y}\right) ^{2}+2uf\left( x,y\right) \right] dxdy%%$$ (13.28)

z warunkiem brzegowym $u_{\vert\partial\Omega}=\varphi$.

W tym przypadku

$$F\left( x,y,u,u_{x},u_{y}\right) =\left( \frac{\partial u}{\partialx}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) ^{2}+2uf\text{,}%%$$ zatem równanie Eulera (13.25) przybiera postać

$$u_{\vert\partial\Omega}=\varphi$$ (13.29)

Jest to zagadnienie Dirichleta dla równania Poissona.

P r z y k ł a d  3

Zagadnienie znajdowania powierzchni o minimalnym polu przechodzącej przez daną krzywą w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$ prowadzi do poszukiwania minimum funkcjonału

$$S=<tex2html_comment_mark>2637 {\displaystyle\iint\limits_{\Omega}......partial x}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) ^{2}}dxdy%%$$ (13.30)

z warunkiem $u_{\vert\partial\Omega}=\varphi$.

W tym przypadku równanie Eulera (13.25) przybiera postać

$$\left[ 1+\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) ^{2}\right] ......artial u}{\partial x}\right) ^{2}\right] \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0$$ (13.31)

Fizycznie powierzchnię o minimalnym polu realizuje powierzchnia bańki mydlanej przechodzącej przez zadaną krzywą w przestrzeni.
 

Funkcjonały zależne od funkcji wielu zmiennych i pochodnych wyższych rzędów

Dla funkcjonału

$$J\left( u\right) =<tex2html_comment_mark>2644 {\displaystyle\idot......( x_{1},\ldots,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots,u_{x_{n}}\right) dx_{1}\ldots dx_{n}%%$$ (13.32)

równanie Eulera przybiera postać

$$F_{u}-\frac{\partial}{\partial x_{1}}F_{u_{x_{1}}}-\ldots-\frac{\partial }{\partial x_{n}}F_{u_{x_{n}}}=0$$ (13.33)

Podobnie dla funkcjonału

$$J\left( u\right) =<tex2html_comment_mark>2650 {\displaystyle\iint\limits_{\Omega}} F\left( x,y,u,u_{x},u_{y},u_{xx},u_{xy},u_{yy}\right) dxdy%%$$ (13.34)

można wyprowadzić następujące równanie Eulera

$$F_{u}-\frac{\partial}{\partial x}F_{u_{x}}-\frac{\partial}{\parti......y}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}<tex2html_comment_mark>2657 F_{u_{yy}}=0$$ (13.35)

Przykładowo dla funkcjonału

$$J\left( u\right) =%%{\displaystyle\iint\limits_{\Omega}}\left[ ......ial^{2}u}{\partial x\partial y}\right) ^{2}-2uf\left( x,y\right) \right] dxdy$$ równanie Eulera (13.35) ma postać $$\Delta^{2}u=f$$. Dla  jest to równanie biharmoniczne.