Spis rzeczy

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania liniowego

Rozważmy liniowe r.r.cz. rzędu $m$ postaci

$$u_{x_{n}\ldots x_{n}}^{\left( m\right) }=<tex2html_comment_mark>1......_{2},\ldots,x_{n}\right) D^{\alpha}u+f\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)%%$$ (1.14)

w obszarze $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$, który ma niepuste przecięcie z płaszczyzną $x_{n}=0$.
 
 

Zagadnieniem Cauchy'ego (zagadnieniem początkowym) dla równania (1.14) nazywamy zagadnienie polegające na wyznaczeniu rozwiązania tego równania spełniającego jednocześnie następujące warunki początkowe

$$u_{x_{n}\ldots x_{n}}^{\left( k\right) }\left( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},0\right) =\varphi_{k}\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}\right) \left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},0\right) \in\Omega%%$$ (1.15)

i $k=0,1,\ldots,m-1$.

Następujące twierdzenie określa warunki wystarczające istnienia lokalnego rozwiązania powyższego zagadnienia początkowego.
 
 

T w i e r d z e n i e (Cauchy'ego-Kowalewskiej)

Jeżeli:

$1^{\circ}$

współczynniki $a_{\alpha}$ i wyraz wolny $f$ w równaniu (1.14) są funkcjami analitycznymi w obszarze $\Omega$,

$2^{\circ}$

funkcje $\varphi_{k}$ ($k=0,1,\ldots,m-1$) są analityczne w obszarze $\omega$ będącym przecięciem $\Omega$ i płaszczyzny $x_{n}=0$,

to zagadnienie Cauchy'ego (1.14)-(1.15) ma dokładnie jedno rozwiązanie analityczne, określone w pewnym otoczeniu $\Omega^{\prime}$ obszaru $\omega$. Obszar $\Omega^{\prime}$ zależy od obszaru analityczności danych funkcji.