Spis rzeczy

Metoda gradientów

Metoda ta dotyczy operatorów ograniczonych, dodatnio określonych na pewnym gęstym podzbiorze $D_{A}\subset H$ (nie nadaje się więc do operatorów różniczkowych).
Niech $u_{0}$ będzie rozwiązaniem uogólnionym równania $Au=f$ w $H$. Wówczas $u_{0}$ minimalizuje funkcjonał $$F\left( u\right) =\left( Au,u\right) -2\left( f,u\right)$$. Funkcjonał ten, jako funkcjonał ograniczony, określony na podzbiorze gęstym w $H$ może być przedłużony na całą przestrzeń $H$ z zachowaniem ograniczoności.

Niech $u_{1}$ będzie dowolnym elementem przestrzeni $H$. Załóżmy, że $Au_{1}-f\neq0$ (w przeciwnym razie $u_{1}=u_{0}$ i procedura jest zakończona). Wówczas poszukujemy takiego elementu$v_{1}$, że

$$\Vert v_{1}\Vert=\Vert Au_{1}-f\Vert \frac{d}{dt}F\left( u_{1}+tv_{1}\right) _{\vert t=0}=\underset{v}{\max}\frac{d}{dt}F\left( u_{1}+tv\right) _{\vert t=0}$$ (14.23)

Ponieważ

$$F\left( u_{1}+tv_{1}\right) =\left( A\left( u_{1}+tv_{1}\right) ,u_{1}+tv_{1}\right) -2\left( f,u_{1}+tv_{1}\right) =$$

$$=F\left( u_{1}\right) +2t\left( Au_{1}-f,v_{1}\right) +t^{2}\left( Av_{1},v_{1}\right)$$

zatem $$\frac{d}{dt}F\left( u_{1}+tv_{1}\right) _{\vert t=0}=2\left( Au_{1}%%-f,v_{1}\right)$$. Wyrażenie to osiąga wartość największą gdy$v_{1}=Au_{1}-f$. Dla wyznaczonego $v_{1}$ wyrażenie $F\left(u_{1}+tv_{1}\right)$ osiąga wartość najmniejszą gdy

$$t=t_{1}=-\frac{\left( Au_{1}-f,v_{1}\right) }{\left( Av_{1},v_{1}\right) }=-\frac{\left( v_{1},v_{1}\right) }{\left( Av_{1},v_{1}\right) }%%$$ (14.24)

Niech teraz $u_{2}=u_{1}+t_{1}v_{1}$. Powtarzamy powyższe rozumowanie dla elementu wyjściowego $u_{2}$ i otrzymujemy $$v_{2}=Au_{2}-f$$, $$t_{2}=-\frac{\left( v_{2},v_{2}\right) }{\left(Av_{2},v_{2}\right) }\text{, \ }u_{3}=u_{2}+t_{2}v_{2}\text{.}%%$$ W ten sam sposób można skonstruować rekurencyjnie kolejne elementy ciągu $u_{n}$ takie, że

$$v_{n}=Au_{n}-f t_{n}=-\frac{\left( v_{n},v_{n}\right) }{\left( Av_{n},v_{n}\right) } u_{n+1}=u_{n}+t_{n}v_{n}$$ (14.25)

T w i e r d z e n i e

Jeśli istnieją takie stałe dodatnie $m$ i $M$, że dla każdego$u\in H$ spełniona jest nierówność

$$m\Vert u\Vert^{2}\leq\left( Au,u\right) \leq M\Vert u\Vert^{2}$$, to otrzymany powyżej ciąg $\left(u_{n}\right)$ zbiega do rozwiązania uogólnionego $u_{0}$ równania $Au=f$ w $H_{A}$ (więc i w $H$), przy czym zachodzi nierówność $$\Vert u_{n+1}-u_{0}\Vert_{A}\leq\Vert u_{1}-u_{0}\Vert_{A}\left( \frac{M-m}{M+m}\right) ^{n}$$ dla $$n=1,2,\ldots$$.