Spis rzeczy

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania niejednorodnego

Rozważmy teraz zagadnienie niejednorodne dla równania (2.1) z jednorodnymi warunkami początkowymi (2.2), tzn $\varphi\equiv0$,$\psi\equiv0$. Rozważmy funkcję $u\left( x,t\right)$ określoną wzorem

$$u\left( x,t\right) =\frac{1}{2}c\int\limits_{0}^{t}dr\int\limits_{x-c(t-r)}<tex2html_comment_mark>294 ^{x+c(t-r)}f(s,r)ds %%$$ (2.6)

Poprzez bezpośrednie różniczkowanie łatwo sprawdzić, że funkcja $u$ spełnia równanie (2.1) oraz, że $u\left(x,0\right) =0$. Ponieważ

$$u_{t}\left( x,t\right) =%%{\displaystyle\int\limits_{0}^{t}}v_{t}\left( x,t;r\right) dr$$, gdzie $$v\left( x,t;r\right) =\frac{1}{2}c\int\limits_{x-c(t-r)}^{x+c(t-r)}f(s,r)ds$$,$$%%$$ więc również $u_{t}\left( x,0\right) =0$.

Wynika stąd, że rozwiązanie zagadnienia początkowego (2.1)-(2.2) można zapisać jako sumę rozwiązania danego wzorem d'Alemberta (2.5) i funkcji $u$ określonej wzorem (2.6).

W ten sposób otrzymujemy wzór d'Alemberta dla równania niejednorodnego

$$u(x,t)=\frac{1}{2}\left( \varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\right) +\fra......0}^{t}<tex2html_comment_mark>302 dr\int\limits_{x-c(t-r)}^{x+c(t-r)}f(s,r)ds%%$$ (2.7)