Spis rzeczy

Stabilność rozwiązania

Niech $u_{1}$ i $u_{2}$ będą rozwiązaniami zagadnienia (2.1)-(2.2) odpowiednio dla par funkcji danych $\left(\varphi_{1},\psi_{1}\right)$ i $\left( \varphi_{2},\psi_{2}\right)$. Załóżmy, że dla wszystkich $x\in\mathbb{R}$ zachodzą nierówności

$$\left\vert \varphi_{1}\left( x\right) -\varphi_{2}\left( x\right) \right\vert <\delta \left\vert \psi_{1}\left( x\right) -\psi_{2}\left( x\right) \right\vert <\delta %%$$ (2.8)

Na mocy wzoru d'Alemberta (2.7) można napisać, że

$$u_{i}(x,t)=\frac{1}{2}\left( \varphi_{i}(x-ct)+\varphi_{i}(x+ct)\......)ds+\frac{1}{2}c\int\limits_{0}^{t}dr\int\limits_{x-c(t-r)}^{x+c(t-r)}f(s,r)ds$$ dla$$i=1,2$$.$$%%$$ Jeśli rozważać będziemy ewolucję kształtu struny w przedziale czasowym $\left[ 0,T_{0}\right]$, to korzystając z (2.8) różnicę pomiędzy rozwiązaniami $u_{1}$ i$u_{2}$ możemy oszacować następująco $$\left\vert u_{1}\left( x,t\right) -u_{2}\left( x,t\right) \right\......rt \varphi_{2}\left( x-ct\right) -\varphi_{2}\left( x-ct\right) \right\vert +$$

$$+\frac{1}{2c}<tex2html_comment_mark>307 {\displaystyle\int\limits......}\delta+\frac{1}{2}\delta+\frac{1}{2c}2cT_{0}\delta=\delta\left( 1+T_{0}\right) %%$$ (2.9)

Ostatnia nierówność oznacza, że powyższe zagadnienie jest stabilne. O ile bowiem warunki początkowe zadania nie różnią się o więcej niż o $\delta$, to również rozwiązania w dowolnym zadanym lecz ustalonym przedziale czasowym nie różnią się o więcej niż o liczbę $\delta\left( 1+T_{0}\right)$. Oznacza to ciagłą zależność rozwiązania od warunków początkowych, ponieważ $\lim\limits_{\delta\rightarrow0^{+}}%%\delta\left( 1+T_{0}\right) =0$.

W takim razie zagadnienie Cauchy'ego dla równania struny jest poprawnie postawione.