Spis rzeczy

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania jednorodnego

Równanie drgań struny jednowymiarowej zapisać można w postaci

$$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}<tex2html_comment_mark>262 u}{\partial x^{2}}=f(x,t)$$ (2.1)

gdzie $u(x,t)$ oznacza wychylenie struny z położenia równowagi w punkcie $x$, w chwili czasu$~t.$ Funkcja $f(x,t)$ przedstawia gęstość siły zewnętrznej, działającej na strunę. Postać ta jest równoważna postaci (1.2). Dla powyższego równania rozważać będziemy zagadnienie początkowe w przypadku jednorodnym (drgania swobodne) i niejednorodnym (drgania wymuszone).

Załóżmy, że mamy do czynienia z drganiami swobodnymi, tzn.$f\equiv0$. Rozważamy następujące zagadnienie.

Wyznaczyć funkcję $u$ spełniającą równanie (2.1) i warunki początkowe

$$u\left( x,0\right) =\varphi\left( x\right) u_{t}\left( x,0\right) =\psi\left( x\right) x\in\mathbb{R}$$ (2.2)

Zakładamy, że $\varphi$ jest klasy $C^{2}$, zaś $\psi$ jest klasy$C^{1}$.
Zagadnienie (2.1)-(2.2) rozwiążemy stosując metodę d'Alemberta.

Stosując w równaniu (2.1) zamianę zmiennych $\xi=x+ct$,$\eta=x-ct$ sprowadzamy je do postaci kanonicznej

$$u_{\xi\eta}=0$$ (porównaj (1.9)). Ogólne rozwiązanie tego równania wyraża się wzorem $$u=F\left( \xi\right) +G\left( \eta\right)$$,$$%%$$ gdzie $F$ i $G$ są dowolnymi funkcjami klasy $C^{2}$. Wracając do zmiennych $x$ i $t$ otrzymujemy

$$u\left( x,t\right) =F\left( x+ct\right) +G\left( x-ct\right) %%$$ (2.3)

Funkcje $F$ i $G$ należy dobrać w ten sposób, aby spełnione były warunki początkowe (2.2). Warunki (2.2) prowadzą do układu równań funkcyjnych

$$\left\{\begin{array}[c]{rcl}%%F\left( x\right) +G\left( x\......right) & = & \psi\left(x\right) \text{,}%%\end{array}\right.$$ z których łatwo wyznaczamy wzory na funkcje szukane

$$F\left( x\right) =\frac{1}{2}\varphi(x)+\frac{1}{2c}\int\limits_{0}^{x}<tex2html_comment_mark>272 \psi(s)ds G\left( x\right) =\frac{1}{2}\varphi(x)-\frac{1}{2c}<tex2html_comment_mark>273 \int\limits_{0}^{x}\psi(s)ds %%$$ (2.4)

Podstawiając wzory (2.4) do (2.3) otrzymujemy tzw. wzór d'Alemberta dla struny swobodnej

$$u(x,t)=\frac{1}{2}\left( \varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\right) +\frac{1}<tex2html_comment_mark>275 {2c}\int\limits_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)ds %%$$ (2.5)

Z powyższych wzorów wynika, że zaburzenie kształtu struny spowodowane przez przyjęte warunki początkowe rozchodzi się ze skończoną prędkością wzdłuż osi $Ox$. Funkcja$G(x-ct)$ występująca we wzorze (2.3) przedstawia falę rozchodzącą się z prędkością $c$ w dodatnim kierunku osi $Ox,$ zaś funkcja $F(x+ct)$ - falę rozchodzącą się z prędkością $c$ w ujemnym kierunku osi $Ox.$ Rozwiązanie$u(x,t)$ jest sumą tych dwóch fal.

P r z y k ł a d   1

Rozwiązać zagadnienie (2.1)-(2.2) przyjmując $c=1,$ oraz

$$\varphi(x)=\frac{3}{1+x^{2}},\,\ \ \psi(x)=\left\{\begin{ar......t{dla }\left\vert x\right\vert >1\text{.}%%\end{array}\right.$$ Poniższy rysunek przedstawia kształt struny w chwili początkowej wraz z rozkładem na funkcje $F$ (linia kropkowana) oraz $G$ (linia kreskowana).

Animacja w formacie avi (238 KB)
Animowany gif (19 KB)

P r z y k ł a d   2

Rozwiązać zagadnienie (2.1)-(2.2) przyjmując $c=1$,$\psi\equiv0$ oraz

$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}[c]{l}%%3\sin^{3}x\\0\en......\text{dla }x\notin\lbrack0,\pi]\text{.}%%\end{array}\right.$$ Następny rysunek przedstawia kształt struny w chwili początkowej wraz z rozkładem na funkcje $F$ i $G$. W tym przypadku funkcje te są identyczne.Rozdzielenie zaburzenia następuje w chwili $t=\frac{\pi}{2}.$ Animacja w formacie avi (203 KB)
Animowany gif (15 KB)