Spis rzeczy

Subsections

• Przypadek funkcji dwóch zmiennych niezależnych
• Przypadek dowolnej liczby zmiennych niezależnych

Tożsamości Greena, wzór podstawowy teorii funkcji harmonicznych

Przypadek funkcji dwóch zmiennych niezależnych

Rozważmy teraz przypadek $n=2$. Niech $D\subset\mathbb{R}^{2}$ będzie obszarem ograniczonym krzywą gładką$~\partial D$.

Rozważmy znany wzór Greena w postaci

$$<tex2html_comment_mark>796 {\displaystyle\iint\limits_{D}} \left(......y=<tex2html_comment_mark>800 {\displaystyle\int\limits_{\partial D}} Pdx+Qdy%%$$ (6.3)

dla funkcji $P$ i $Q$ klasy $C^{2}$. Podstawiając $u\equiv Q$, $v\equiv-P$ otrzymujemy

$$<tex2html_comment_mark>805 {\displaystyle\iint\limits_{D}} \left(......_{\partial D}} \left[ u\cos\left( x,n\right) +v\cos\left( y,n\right) \right] ds %%$$ (6.4)

gdzie $n$ oznacza wektor normalny zewnętrzny do $\partial D$.

Zastępując we wzorze (6.4) $u$ przez $u\frac{\partialv}{\partial x}$ i $v$ przez $u\frac{\partial v}{\partial y}$, dostajemy tzw. pierwszą tożsamość Greena

$$<tex2html_comment_mark>814 {\displaystyle\iint\limits_{D}} \left(......rk>818 {\displaystyle\int\limits_{\partial D}} u\frac{\partial v}{\partial n}ds %%$$ (6.5)

Zamieniając rolami $u$ i $v$ we wzorze (6.5) i odejmując otrzymany wzór od (6.5) otrzymujemy tzw. drugą tożsamość Greena

$$<tex2html_comment_mark>823 {\displaystyle\iint\limits_{D}} \left(...... \left( u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right) ds %%$$ (6.6)

Niech teraz $P_{0}\left( x_{0},y_{0}\right)$ będzie ustalonym punktem, zaś $P\left( x,y\right)$ zmiennym. Wprowadzając funkcję

$$E\left( P\right) =\frac{1}{2\pi}\ln\left\vert PP_{0}\right\vert%%$$ (6.7)

można pokazać, że zachodzi równość

$$u\left( P_{0}\right) =<tex2html_comment_mark>833 {\displaystyle\i......1 {\displaystyle\iint\limits_{D}} \Delta u\left( P\right) E\left( P\right) dxdy %%$$ (6.8)

Równość (6.8) zwana jest trzecią tożsamością Greena lub wzorem podstawowym teorii funkcji harmonicznych. Funkcję$E\left( P\right)$ określoną wzorem (6.7) nazywamy rozwiązaniem podstawowym równania Laplace'a.

Przypadek dowolnej liczby zmiennych niezależnych

W przypadku $n>2$ można wyprowadzić odpowiednik wzoru (6.8). Wprowadzając rozwiązanie podstawowe równania Laplace'a wzorem

$$E\left( P\right) =-\frac{1}{\left( n-2\right) \theta_{n}\left\vert PP_{0}\right\vert ^{n-2}} n>2 %%$$ (6.9)

gdzie $P$, $P_{0}\in\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$, $\theta_{n}$ oznacza miarę powierzchni kuli jednostkowej w $\mathbb{R}^{n}$

$$\theta_{n}=\left\{ \begin{array}[c]{ll}<tex2html_comment_mark>849......t{dla }n\text{ nieparzystych,}<tex2html_comment_mark>850 \end{array} \right.%%$$ (6.10)

można wyprowadzić wzór podstawowy dla $n>2$, postaci

$$u\left( P_{0}\right) =<tex2html_comment_mark>852 {\displaystyle\i......\displaystyle\iint\limits_{\Omega}} \Delta u\left( P\right) E\left( P\right) dP %%$$ (6.11)

Jest to odpowiednik wzoru (6.8).