Spis rzeczy

Zadania

W zadaniach 1 -11 należy znaleźć funkcję holomorficzną  wiedząc, że:

1. $u=x^{3}-3xy^{2}$
2. $u=x^{2}-y^{2}+2x$
3. $u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$
4. $u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-2y$
5. $u=2xy+3x$
6. $v=-\frac{y}{\left( x+1\right) ^{2}+y^{2}}$
7. $v=\exp\left( x\right) \left( y\cos y+x\sin y\right) +x+y$
8. $v=\operatorname{arctg}\frac{y}{x}$, $x>0$
9. $u=\exp\left( x^{2}-y^{2}\right) \left( x\cos2xy-y\sin2xy\right)$
10. $u=\exp\left( x\right) \left[ \left( x^{2}-y^{2}+1\right) \cosy-2xy\sin y\right]$
11. $v=\ln\left( x^{2}+y^{2}\right)$
12. Znaleźć punkty, w których funkcja $u\left( x,y\right)$ osiąga swój kres górny i dolny w zbiorze $D$, jeżeli: a) $u\left( x,y\right) =x^{2}-y^{2}$, $D=\left\{ \left( x,y\right):x^{2}+y^{2}\leq1\right\}$, b) $u\left( x,y\right) =x+y$, $D=\left\{ \left( x,y\right):x\geq0\text{, }y\geq0\text{, }x+y\leq1\right\}$
13. Udowodnić wzór (6.15) wykorzystując twierdzenie Gaussa o wartości średniej w przypadku $n=2$.
14. Udowodnić, że funkcja harmoniczna o wartościach rzeczywistych, nie będąca stałą, nie może posiadać ekstremów lokalnych w żadnym punkcie obszaru, w którym jest określona.
15. Załóżmy, że funkcja $u\left( \xi,\eta\right)$ jest harmoniczna, a funkcja $f\left( x,y\right) =\xi\left( x,y\right)+i\eta\left( x,y\right)$ jest holomorficzna, tzn. spełniony jest układ równań Cauchy'ego-Riemanna $\xi_{x}=\eta_{y}$, $\xi_{y}=-\eta_{x}$. Pokazać, że złożenie $\left( u\circ f\right) \left(x,y\right) =u\left( \xi\left( x,y\right) ,\eta\left( x,y\right) \right)$ jest funkcją harmoniczną (zakładamy wykonalność złożenia).