Spis rzeczy

Jednoznaczność zagadnienia Dirichleta i Neumanna

Niech $u_{1}$ i $u_{2}$ będą dwoma rozwiązaniami zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace'a (Poissona). Wówczas różnica$u=u_{1}-u_{2}$ jest rozwiązaniem zagadnienia $$\Delta u=0$$, dla $$x\in D$$, $$u_{\vert\partial D}=0$$.$$%%$$ Z własności $3$ funkcji harmonicznych wynika, że $u\equiv0$, zatem$u_{1}\equiv u_{2}$ w $D$.
 
 

W przypadku zagadnienia Neumanna różnica $u=u_{1}-u_{2}$ dwóch rozwiązań tego zagadnienia jest rozwiązaniem problemu

$$\Delta u=0$$, dla $$x\in D$$, $$\frac{\partial u}{\partialn}_{\vert\partial D}=0\text{.}%%$$ Na mocy własności $3$ funkcji harmonicznych wnioskujemy, że$u=Const$. O ile więc nie przyjmiemy jakiegoś dodatkowego założenia, to nie możemy twierdzić, że rozwiązanie zagadnienia Neumanna, o ile istnieje, jest jedyne. Zwykle takim dodatkowym założeniem gwarantującym jednoznaczność rozwiązania jest podanie wartości $u$ w jakimś punkcie obszaru $D$.

U w a g a

Z pierwszej tożsamości Greena (6.5) dla $u=1$, $v=u$ wynika, że

$$%%{\displaystyle\iint\limits_{D}}\Delta u\left( x,y\right) dxdy=%%{\displaystyle\int\limits_{\partial D}}\frac{\partial u}{\partial n}ds$$.$$%%$$ Oznacza to, że w zagadnieniu Neumanna nie można zadać wartości pochodnej $\frac{\partial u}{\partial n}$ na brzegu $\partial D$ w sposób dowolny. W szczególności funkcje dane muszą spełniać warunek

$$<tex2html_comment_mark>1058 {\displaystyle\iint\limits_{D}} f\lef......l_comment_mark>1062 {\displaystyle\int\limits_{\partial D}} g\left( s\right) ds %%$$ (7.24)

Jest to warunek konieczny rozwiązalności tego zagadnienia.