Spis rzeczy

Uwagi o klasyfikacji liniowych r.r.cz. II rzędu dla n$>$2

Dla prostoty rozważmy przypadek równania liniowego o współczynnikach rzeczywistych postaci

$$<tex2html_comment_mark>74 {\displaystyle\sum\limits_{i,j=1}^{n}} ......html_comment_mark>78 {\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}} b_{i}u_{x_{i}}+cu+f=0 a_{i,j}=a_{j,i} %%$$ (1.12)

gdzie współczynniki $a$, $b$, $c$, $f$ zależą od $x_{1}%%,x_{2},\ldots,x_{n}$.
 
 

Z równaniem tym związana jest forma kwadratowa zmiennych $y_{1}%%,y_{2},\ldots,y_{n}$

$$<tex2html_comment_mark>86 {\displaystyle\sum\limits_{i,j=1}^{n}} \overset{\circ}{a}_{i,j}y_{i}y_{j} %%$$ (1.13)

gdzie $\overset{\circ}{a}_{i,j}$oznacza wartość współczynnika$a_{i,j}$ w pewnym punkcie $P\left( \overset{\circ}{x}_{1},\overset{\circ}%%{x}_{2},\ldots,\overset{\circ}{x}_{n}\right)$. Macierz $\left[\overset{\circ}{a}_{i,j}\right]$ formy (1.13) możemy sprowadzić do postaci kanonicznej, w której na przekątnej mogą znajdować się tylko liczby $1$, $-1$ lub 0, zaś wszystkie elementy poza przekątną są równe zero. Zgodnie z twierdzeniem o bezwładności form kwadratowych liczba współczynników dodatnich, ujemnych i równych zeru jest niezmiennicza względem przekształcenia liniowego sprowadzającego formę (1.13) do postaci kanonicznej (zauważmy, że postać kanoniczna formy kwadratowej nie jest jednoznacznie wyznaczona).

Niech $\overline{a}_{i,j}$ oznaczają współczynniki formy (1.13) w postaci kanonicznej. W zależności od zachowania się współczynników $\overline{a}_{i,i}$ wprowadzamy definicję typu równania (1.12).

D e f i n i c j a

Mówimy, że równanie (1.12) jest w punkcie $P\left(\overset{\circ}{x}_{1},\overset{\circ}{x}_{2},\ldots,\overset{\circ}{x}%%_{n}\right)$ typu

- eliptycznego, jeżeli wszystkie współczynniki$\overline{a}_{i,i}$ dla $i=1,2,\ldots,n$ mają ten sam znak;

- hiperbolicznego, jeżeli $n-1$ współczynników$\overline{a}_{i,i}$ ma ten sam znak, zaś pozostały współczynnik ma znak przeciwny;

- ultrahiperbolicznego, jeżeli wśród współczynników $\overline{a}_{i,i}$ jest $m$ współczynników jednego znaku ($m>1$), a $n-m$ współczynników ma znak przeciwny;

- parabolicznego, jeżeli chociaż jeden ze współczynników $\overline{a}_{i,i}$ jest równy zeru.

T w i e r d z e n i e

W zależności od typu równania w punkcie $P\left( \overset{\circ}{x}_{1},\overset{\circ}{x}_{2},\ldots,\overset{\circ}{x}_{n}\right)$ można je sprowadzić w tym punkcie do jednej z następujących postaci kanonicznych:

$u_{x_{1}x_{1}}+u_{x_{2}x_{2}}+\ldots+u_{x_{n}x_{n}}+\Phi=0$;            (typ eliptyczny)

$u_{x_{1}x_{1}}=%%{\displaystyle\sum\limits_{i=2}^{n}}u_{x_{i}x_{i}}+\Phi=0$;                                (typ hiperboliczny)

$%%{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{m}}u_{x_{i}x_{i}}=%%{\displaystyle\sum\limits_{i=m+1}^{n}}u_{x_{i}x_{i}}+\Phi=0$ ($m>1$);      (typ ultrahiperboliczny)

$%%{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n-m}}\left( \pm u_{x_{i}x_{i}}\right) +\Phi=0$ ($m\geq1$).                      (typ paraboliczny)