Spis rzeczy

Definicja przestrzeni Sobolewa

Niech $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta $X=L^{2}\left( \Omega\right)$ z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością (10.9) i normą zdefiniowaną wzorem (10.10). W tej przestrzeni rozważamy podzbiór składający się z funkcji f, których pochodne cząstkowe w sensie dystrybucyjnym do rzędu m włącznie (patrz również wzory (8.1)-(8.3)) należą do$L^{2}\left(\Omega\right)$.

W podzbiorze takich funkcji wprowadzamy funkcjonał $\Vert f\Vert_{m,2}$ określony wzorem

$$\Vert f\Vert_{m,2}=\sqrt{<tex2html_comment_mark>1851 {\displaysty......its_{0\leq\left\vert \alpha\right\vert \leq m}} \Vert D^{\alpha}f\Vert_{2}^{2}}$$ (11.1)

Można pokazać, że $\Vert f\Vert_{m,2}$ spełnia wszystkie aksjomaty normy.

D e f i n i c j a

Przestrzenią Sobolewa $H^{m}\left( \Omega\right)$ nazywamy zbiór

$$H^{m}\left( \Omega\right) =\left\{ f\in L^{2}\left( \Omega\right)......ght) \text{ \ dla }0\leq\left\vert \alpha\right\vert \leq m\right\} \text{.}%%$$ (11.2)

T w i e r d z e n i e

Przestrzeń $H^{m}\left( \Omega\right)$ jest zupełna, jest zatem przestrzenią Hilberta. Funkcjonał $\Vert f\Vert_{m,2}$ określa normę w $H^{m}\left( \Omega\right)$, zaś iloczyn skalarny zadany jest wzorem

$$\left( f,g\right) =<tex2html_comment_mark>1857 {\displaystyle\sum......leq m}} {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} D^{\alpha}f\overline{D^{\alpha}g}dx$$ (11.3)

U w a g a

Powyższą definicję przestrzeni Sobolewa można rozszerzyć na przypadek przestrzeni $L^{p}\left( \Omega\right)$, w których norma zadana jest wzorem

$$\Vert f\Vert_{p}=\left( {\displaystyle\int\limits_{\Omega}} \left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{p}dx\right) ^{\frac{1}{p}} p>1$$ (11.4)