Spis rzeczy

Wariacyjna definicja rozwiązań uogólnionych

Rozważamy równanie

$$Au=f%%$$ (14.1)

w pewnej przestrzeni Hilberta $H$. Zakładamy, że operator $A$ określony jest na pewnej podprzestrzeni liniowej $D_{A}\subset H$ i jego wartości leżą w $H$. Na mocy twierdzenia o minimum funkcjonału kwadratowego (13.39) wiemy, że jeśli równanie $Au=f$ jest spełnione dla $u_{0}\in D_{A}$, tzn. $Au_{0}=f$, to funkcjonał $F\left(u\right) =\left( Au,u\right) -2\left( f,u\right)$ osiąga swoją najmniejszą wartość w $D_{A}$ w punkcie $u=u_{0}$. Nie wiadomo jednak, czy taki element $u_{0}\in D_{A}$ istnieje.

Będziemy teraz usiłowali rozszerzyć $D_{A}$ do takiego zbioru, na którym funkcjonał $F\left( u\right)$ osiąga minimum.
Załóżmy, że $A$ jest dodatnio określony, tzn. symetryczny oraz dla pewnej stałej $C>0$ zachodzi nierówność

$$\left( Au,u\right) \geq C^{2}\Vert u\Vert^{2}%%$$ (14.2)

dla każdego $u\in D_{A}$.

W podprzestrzeni $D_{A}$ definiujemy nowy iloczyn skalarny określony wzorem

$$\left( u,v\right) _{A}=\left( Au,v\right)$$ (14.3)

Łatwo pokazać, że wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego są spełnione. Iloczyn ten zadaje normę w $D_{A}$ określoną jako

$$\Vert u\Vert_{A}=\sqrt{\left( u,u\right) _{A}}$$ (14.4)

Z założenia (14.2) wynika, że $\Vert u\Vert_{A}\geq C\Vertu\Vert$ zatem ciągi zbieżne w normie $\Vert\cdot\Vert_{A}$ są zbieżne także w normie standardowej $\Vert\cdot\Vert$.

Niech teraz $H_{A}$ oznacza uzupełnienie $D_{A}$ w normie $\Vert\cdot\Vert_{A}$. Przestrzeń liniową $H_{A}$ nazywamy przestrzenią Friedrichsa generowaną przez operator $A$. Można pokazać, że wzór (14.3) może być w naturalny sposób rozszerzony dla wszystkich$u,v\in H_{A}$. Podstawowe własności przestrzeni Friedrichsa opisuje następujące twierdzenie.

T w i e r d z e n i e

Przestrzeń $H_{A}$ jest przestrzenią Hilberta. Zbiór $D_{A}$ jest gęsty w $H_{A}$, tzn. dowolny element z$~$przestrzeni $H_{A}$ może być przybliżony przez elementy z $D_{A}$.

Rozważmy teraz funkcjonał $F\left(u\right) =\left( Au,u\right) -2\left( f,u\right)$. Na mocy (14.3) może on być zapisany jako

$$F\left( u\right) =\left( u,u\right) _{A}-2\left( f,u\right) u\in D_{A}$$ (14.5)

Z poprzednich uwag wynika, że wzór (14.5) jest w naturalny sposób określony na $H_{A}$.

T w i e r d z e n i e

Niech operator $A$ będzie dodatnio określony na gęstej podprzestrzeni liniowej $D_{A}$ przestrzeni Hilberta $H$. Niech $H_{A}$ będzie przestrzenią Friedrichsa generowaną przez operator $A$. Wówczas funkcjonał $F$ zdefiniowany na $H_{A}$ za pomocą wzoru (14.5) przyjmuje na $H_{A}$ swoją najmniejszą wartość. Element $u_{0}$, dla którego $F$ osiąga swoją najmniejszą wartość jest wyznaczony jednoznacznie.
 

Dla dowodu twierdzenia wystarczy zauważyć, że dla ustalonego $f\in H$ wyrażenie $\left( f,u\right)$ jest ciągłym funkcjonałem liniowym na $H_{A}$, ponieważ na mocy (14.2) zachodzi nierówność

$$\left\vert \left( f,u\right) \right\vert \leq\Vert f\Vert\Vert u\Vert\leq\frac{1}{C}\Vert f\Vert\Vert u\Vert_{A}$$. Z twierdzenia Riesza wynika istnienie takiego elementu $u_{0}\in H_{A}$, że dla każdego $u\in H_{A}$ zachodzi

$$\left( u_{0},u\right) _{A}=\left( f,u\right)$$ (14.6)

W takim razie

$$F\left( u\right) =\left( u,u\right) _{A}-2\left( u_{0},u\right) _{A}=\left( u-u_{0},u-u_{0}\right) _{A}-\left( u_{0},u_{0}\right) _{A}=$$

$$=\Vert u-u_{0}\Vert_{A}^{2}-\Vert u_{0}\Vert_{A}^{2}$$

tzn. $F\left( u_{0}\right) =-\Vert u_{0}\Vert_{A}^{2}$ i dla każdego$u\neq u_{0}$ spełniona jest nierówność $F\left( u\right)>F\left( u_{0}\right)$.

D e f i n i c j a

Element $u_{0}$ minimalizujący funkcjonał (14.5) nazywamy rozwiązaniem uogólnionym równania $Au=f$.

U w a g a  1

Równość $\left( u_{0},u\right) _{A}=\left( f,u\right)$ nie prowadzi do efektywnego algorytmu skonstruowania rozwiązania $u_{0}$. W celu znalezienia przybliżeń rozwiązania należy rozpatrzyć zagadnienie minimalizacji funkcjonału $F\left( u\right)$.

U w a g a  2

Łatwo zauważyć, że jeśli

$$\left\vert \left( u_{0},u\right) _{A}\right\vert =\left\vert \left( f,u\right)\right\vert \leq\frac{1}{C}\Vert f\Vert\Vert u\Vert_{A}$$, to dla $u=u_{0}$

$$\Vert u_{0}\Vert_{A}^{2}\leq\frac{1}{C}\Vert f\Vert\Vert u_{0}\Vert_{A} \Vert u_{0}\Vert_{A}\leq\frac{1}{C}\Vert f\Vert$$ (14.7)

Gdy $v_{0}$ jest rozwiązaniem zagadnienia $Av_{0}=g$, $u_{0}$ jest rozwiązaniem zagadnienia $Au_{0}=f$, to

$$\Vert u_{0}-v_{0}\Vert_{A}\leq\frac{1}{C}\Vert f-g\Vert%%$$ (14.8)

co oznacza ciągłą zależność rozwiązania od prawej strony równania. W szczególności, gdy dla pewnych $u_{n}\in D_{A}$ oznaczymy $Au_{n}=f_{n}$, to

$$\Vert u_{n}-u_{0}\Vert_{A}\leq\frac{1}{C}\Vert f_{n}-f\Vert=\frac{1}{C}\Vert Au_{n}-f\Vert$$ (14.9)

tzn. $\left( Au_{n}\rightarrow f\right) \Longrightarrow\left(u_{n}\rightarrow u_{0}\right)$.

U w a g a  3

Jeśli $u_{0}\in D_{A}$ minimalizuje $F\left( u\right)$ na $H_{A}$, to$u_{0}$ jest rozwiązaniem zagadnienia $Au=f$. Jeśli jednak$u_{0}\notin D_{A}$, to równanie $Au=f$ nie posiada rozwiązań w$D_{A}$.

Istotnie, gdyby $v\in D_{A}$ było rozwiązaniem równania $Au=f$ w$D_{A}$, to $F\left( v\right)$ byłoby najmniejszą wartością funkcjonału $F$ w $D_{A}$. Ponieważ jednak

$$F\left( v\right) =\Vert v-u_{0}\Vert_{A}^{2}-\Vert u_{0}\Vert_{A}%%^{2}>F\left( u_{0}\right)$$, więc z gęstości zbioru $D_{A}$ w $H_{A}$ wynika istnienie elementów $u_{n}\in D_{A}$ takich, że $$u_{n}\rightarrow u_{0},F\left( u_{n}\right) \rightarrow F\left(u_{0}\right) <F\left( v\right)$$, co na mocy przyjętego założenia nie jest jednak możliwe.