Spis rzeczy

Metoda szeregów ortonormalnych

Rozważamy równanie (14.1) w pewnej przestrzeni Hilberta $H$. Zakładamy, że operator $A$ jest dodatnio określony na pewnej gęstej podprzestrzeni liniowej $D_{A}\subset H$ i jego wartości leżą w $H$. Na mocy twierdzenia o minimum funkcjonału kwadratowego (13.39) wiemy, że jeśli równanie $Au=f$ jest spełnione dla$u_{0}\in H_{A}$, tzn. $Au_{0}=f$, to funkcjonał $F\left(u\right) =\left( Au,u\right) -2\left( f,u\right)$ osiąga swoją najmniejszą wartość w $H_{A}$ w punkcie $u=u_{0}$.
Zakładamy również, że przestrzeń $H_{A}$ jest ośrodkowa (wystarczy żądać by $H$ była ośrodkowa, np. $H=L^{2}\left(\Omega\right)$).

Niech $\left( \varphi_{k}\right)$ będzie układem ortonormalnym zupełnym w $H_{A}$. Wówczas zgodnie z teorią szeregów Fouriera w przestrzeniach Hilberta i równością (10.17), $u_{0}$ można przedstawić jako

$$u_{0}=<tex2html_comment_mark>2822 {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}} a_{k}\varphi_{k} a_{k}=\left( u_{0},\varphi_{k}\right) _{A}$$ (14.10)

Z definicji iloczynu skalarnego $\left( \cdot,\cdot\right) _{A}$ wynika, że

$$a_{k}=\left( u_{0},\varphi_{k}\right) _{A}=\left( Au_{0},\varphi _{k}\right) =\left( f,\varphi_{k}\right) k=1,2,\ldots%%$$ (14.11)

Ze zbieżności szeregu (14.10) w $H_{A}$ wynika jego zbieżność w $H$, ponieważ

$$\Vert u_{0}-%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}}a_{k}\varphi_......\varphi_{k}\Vert_{A}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\text{.}%%$$ Powyższe rozważania można sformułować w postaci następującego twierdzenia.
 

T w i e r d z e n i e

Niech $A$ będzie operatorem dodatnio określonym na podprzestrzeni liniowej, gęstej $D_{A}\subset H$, $f\in H$. Niech $\left( \varphi_{k}\right)$ będzie układem ortonormalnym zupełnym w $H_{A}$. Wówczas rozwiązanie uogólnione $u_{0}$ równania $Au=f$ jest dane jako szereg (14.10) ze współczynnikami określonymi wzorami (14.11).

Niedogodnością metody szeregów ortonormalnych jest jest trudność efektywnego uzyskania układów ortonormalnych zupełnych (tzw. baz ortonormalnych) w $H_{A}$.