Spis rzeczy

Metoda Galerkina

Niech $A$ będzie operatorem określonym na $D_{A}$, $D_{A}$ gęsty w$H$, $H$ - ośrodkowa przestrzeń Hilberta. Rozważmy bazę$\left( \varphi_{k}\right)$ w $H_{A}$ taką, że $\varphi_{k}\inD_{A}$ dla $k=1,2,\ldots$. Nie zakładamy ortogonalności tego układu.
Poszukujemy przybliżenia rozwiązania uogólnionego równania$Au=f$ w postaci $$u_{n}=%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}}a_{k}\varphi_{k}$$, gdzie stałe $a_{k}$ wyznaczamy z układu równań

$$\left( Au_{n}-f,\varphi_{k}\right) =0 k=1,2,\ldots ,n$$ (14.16)

Z gęstości $D_{A}$ w $H$ wynika, że gdyby warunek (14.16) spełniony był dla wszystkich $k$, to $u_{n}$ byłoby rozwiązaniem równania $Au=f$. Ciąg $u_{n}$ nazywamy ciągiem przybliżeń Galerkina.

W przypadku, gdy operator $A$ jest liniowy warunek (14.16) prowadzi do układu równań

$$\left( a_{1}A\varphi_{1}+a_{2}A\varphi_{2}+\ldots+a_{n}A\varphi_{n}<tex2html_comment_mark>2891 -f,\varphi_{k}\right) =0 k=1,2,\ldots ,n$$ (14.17)

tzn. w postaci rozwiniętej

$$\left\{ \begin{array}[c]{ccccc}<tex2html_comment_mark>2893 \left(......\varphi _{n}\right) a_{n} & =\left( f,\varphi_{n}\right) \end{array} \right.%%$$ (14.18)

Jeśli dodatkowo założymy, że $A$ jest operatorem dodatnio określonym (a więc symetrycznym), to łatwo zauważyć, że układ (14.18) jest identyczny z układem równań (14.15) otrzymanym w wyniku stosowania metody Ritza. W tym przypadku otrzymane ciągi przybliżeń są identyczne.
 

T w i e r d z e n i e

Niech $A$ będzie operatorem dodatnio określonym na $D_{A}$, $D_{A}$ gęsty w $H$, $f\in H$, $H$ - ośrodkowa przestrzeń Hilberta. Niech$\left( \varphi_{k}\right)$ będzie bazą w $H_{A}$ (niekoniecznie ortogonalną) oraz $\varphi_{k}\inD_{A}$ dla $k=1,2,\ldots$. Wówczas ciąg przybliżeń Galerkina, gdzie stałe $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ są wyznaczone z układu równań (14.18) jest zbieżny w $H_{A}$ do rozwiązania uogólnionego równania $Au=f$.

U w a g a  1 (porównanie z metodą Ritza)

Zakres stosowania metody Galerkina jest o wiele szerszy niż metody Ritza. Dla zastosowania warunku (14.16) nie jest konieczne, aby operator $A$ był dodatnio określony, symetryczny ani nawet liniowy. W metodzie Galerkina punktem wyjścia jest równanie $Au=f$, zaś w metodzie Ritza - minimalizacja funkcjonału $F\left( u\right)$.

U w a g a  2

Można rozważać dwie różne bazy w przestrzeni $H_{A}$, tzn.$\left( \varphi_{k}\right)$ i $\left( \psi_{k}\right)$. Poszukujemy przybliżenia rozwiązania uogólnionego równania $Au=f$, podobnie jak poprzednio, w postaci

$$u_{n}=%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}}a_{k}\varphi_{k}$$, gdzie stałe $a_{k}$ wyznaczamy z warunku

$$\left( Au_{n}-f,\psi_{k}\right) =0 k=1,2,\ldots ,n$$ (14.19)

Metoda ta nosi nazwę metody Galerkina-Pietrowa.