Spis rzeczy

Metoda Ritza

Niech $A$ będzie operatorem dodatnio określonym na $D_{A}$, $D_{A}$ gęsty w $H$, $H$ - ośrodkowa przestrzeń Hilberta. Rozważmy bazę $\left( \varphi_{k}\right)$ w $H_{A}$ (tzn. układ przeliczalny elementów liniowo niezależnych, zupełny). Nie zakładamy ortogonalności tego układu.

Niech $F\left( u\right) =\left( u,u\right) _{A}-2\left( f,u\right)$. Rozwiązaniem uogólnionym zagadnienia $Au=f$ jest taki punkt $u_{0}\in H_{A}$, że

$$F\left( u_{0}\right) =\underset{u\in H_{A}}{\min}F\left( u\right)$$. Ustalmy $n$ naturalne i rozważmy zbiór elementów postaci $u_{n}=%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}}a_{k}\varphi_{k}$.
Współczynniki $a_{k}$ wyznaczamy żądając, aby $$F\left( u_{n}\right) =\min F\left( v_{n}\right)$$, gdzie $$v_{n}%%\in\operatorname*{lin}\left( \varphi_{1},\varphi_{2},\ldots,\varphi_{n}\right)$$, tzn. $$v_{n}=%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}}b_{k}\varphi_{k}$$. $F\left( v_{n}\right)$ jest formą kwadratową zmiennych $b_{1}%%,b_{2},\ldots,b_{n}$ postaci

$$F\left( v_{n}\right) =\left( {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}}......_comment_mark>2860 {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} b_{k}\varphi_{k}\right)$$ (14.12)

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum wyrażenia (14.12) jest, aby $$\frac{\partial F}{\partial b_{1}}=0,\,\frac{\partial F}{\partial b_{2}%%}=0,\ldots,\frac{\partial F}{\partial b_{n}}=0\text{.}%%$$ Warunek ten prowadzi do następującego układu równań liniowych względem $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$

$$\left\{ \begin{array}[c]{ccccc}<tex2html_comment_mark>2868 \left(......rphi_{n}\right) _{A}b_{n} & =\left( f,\varphi_{n}\right) \end{array} \right.%%$$ (14.13)

Wyznacznik układu (14.13) jest różny od zera, ponieważ elementy $\varphi_{k}$ są liniowo niezależne (jest to tzw. wyznacznik Grama układu $\left( \varphi_{k}\right)$), a więc wartości$b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$ są jednoznacznie określone. W przypadku, gdy $\left( \varphi_{k}\right)$ jest układem ortonormalnym otrzymujemy natychmiast, że

$$b_{k}=\left( f,\varphi_{k}\right) ,$$ dla$$\,k=1,2,\ldots,n$$. Tak określony ciąg $u_{n}=%%{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}}b_{k}\varphi_{k}$ nazywamy ciągiem Ritza.

T w i e r d z e n i e

Niech $A$ będzie operatorem dodatnio określonym na $D_{A}\subset H$,$D_{A}$ gęste w $H$, $f\in H$, $H$ - ośrodkowa przestrzeń Hilberta. Niech $\left( \varphi_{k}\right)$ będzie bazą w $H_{A}$ (niekoniecznie ortogonalną). Wówczas ciąg Ritza $\left(u_{n}\right)$ ze współczynnikami $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$ określonymi jednoznacznie przez układ równań (14.13) zbiega w $H_{A}$ (a więc i w $H$) do uogólnionego rozwiązania$u_{0}$ równania $Au=f$.

U w a g a  1

Chociaż dla ciągu Ritza $u_{n}\rightarrow u_{0}$, to nie musi zachodzić $Au_{n}\rightarrow f$.

U w a g a  2

Korzystając z nierówności (10.20) i własności przestrzeni Hilberta, można pokazać, że dla $m>n$ zachodzi zawsze nierówność

$$\Vert u_{m}-u_{0}\Vert_{A}\leq\Vert u_{n}-u_{0}\Vert_{A}$$ (14.14)

U w a g a  3

Jeśli elementy bazy $\left( \varphi_{k}\right)$ należą do$D_{A}$, to układ równań (14.13) można zapisać w postaci

$$\left\{ \begin{array}[c]{ccccc}<tex2html_comment_mark>2883 \left(......\varphi _{n}\right) b_{n} & =\left( f,\varphi_{n}\right) \end{array} \right.%%$$ (14.15)