Liczby zespolone I

1. Liczby zespolone I#

Definicja 1.1

Liczbą zespoloną \(z\) nazywamy (uporządkowaną) parę \((a,b)\) liczb rzeczywistych \(a,b\in\mathbb{R} .\)

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczymy przez \(\C:=\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{R}\} .\)

Uwaga 1.1

Dwie liczby zespolone \(z_1=(a_1,b_1)\) i \(z_2=(a_2,b_2)\) są równe, gdy \(a_1=a_2\) oraz \(b_1=b_2 .\)

W zbiorze \(\C\) określamy działania dodawania oraz mnożenia:

\[\begin{split} \begin{aligned} &z_1+z_2=(a_1,b_1)+(a_2,b_2):=(a_1+a_2,b_1+b_2)\\ &z_1-z_2=(a_1,b_1)-(a_2,b_2):=(a_1-a_2,b_1-b_2)\\ &z_1\cdot z_2=(a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2):=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1) \end{aligned} \end{split}\]

Każdej liczbie rzeczywistej \(a\) można jednoznacznie przyporządkować liczbę zespoloną \((a,0) .\) Dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych traktowanych jak liczby zespolone jest zgodne z klasycznym dodawaniem i mnożeniem liczb rze-czy-wis-tych:

\[\begin{split} \begin{aligned} &(a_1,0)+(a_2,0)=(a_1+a_2,0)\\ &(a_1,0)\cdot(a_2,0)=(a_1a_2,0). \end{aligned} \end{split}\]

Będziemy zamiennie stosować zapis \(a\) oraz \((a,0)\), w obu przypadkach mając na myśli liczbę rzeczywistą \(a .\) Wtedy

\[ \begin{aligned} a\cdot (a_1,b_1)=(a,0)\cdot (a_1,b_1)=(aa_1,ab_1)=(a_1,b_1)\cdot a. \end{aligned} \]

Liczby postaci \((0,b)\) będziemy nazywać liczbami urojonymi. Zauważmy, że

\[ \begin{aligned} (0,1)\cdot (0,1)=(-1,0). \end{aligned} \]

W zbiorze liczb zespolonych \(\C\) rozwiązaniem równania \(x^2+1=0\) jest liczba urojona \((0,1) .\)

Wprowadzamy oznaczenie: \(i:=(0,1)\), gdzie \(i^2=-1 .\)

1.1. Postać algebraiczna liczby zespolonej#

Każdą liczbę zespoloną \(z=(a,b)\) można jednoznacznie zapisać w postaci algebraicznej:

\[ \begin{aligned} (a,b)=(a,0)+(0,b)=a\cdot (1,0)+b\cdot(0,1)= a+bi. \end{aligned} \]

\(Rez:=a\) - część rzeczywista liczby \(z\)\ \(Imz:=b\) - część urojona liczby \(z\)

Uwaga 1.2

Dwie liczby zespolone \(z_1=a_1+b_1i\) oraz \(z_2=a_2+b_2i\) są równe, gdy \(Rez_1=Rez_2\) oraz \(Imz_1=Imz_2 .\)

  • \(Re(z_1+z_2)=Rez_1+Rez_2\)

  • \(Im(z_1+z_2)=Imz_1+Imz_2\)

W przypadku, gdy liczby zespolone są zapisane w postaci algebraicznej, działania na nich można wykonywać tak jak dodawanie i mnożenie dwumianów o współczynnikach rzeczywistych zastępując \(i^2\) przez \(-1\):

\[\begin{split} \begin{aligned} &(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\ &(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\\ &(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \end{aligned} \end{split}\]

Definicja 1.2

Sprzężeniem liczby zespolonej \(z=a+bi\) nazywamy liczbę zespoloną \(\overline{z}:=a-bi .\)

Własności sprzężenia

  • \(\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\)

  • \(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)

  • dla \(z_2\neq 0\), \(\overline{\dfrac{z_1}{z_2}}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\)

  • \(\overline{\overline{z}}=z\)

  • \(\overline{z}=z\) \(\Leftrightarrow\) \(z\in \mathbb{R}\)

  • \(z+\overline{z}=2Rez\), \(z-\overline{z}=2Im(z)i\)

Definicja 1.3

Modułem liczby zespolonej \(z=a+bi\) nazywamy liczbę rzeczywistą \(\sqrt{a^2+b^2}\), którą oznaczamy \(|z| .\)

Jeżeli \(z=a\in \mathbb{R}\), to \(|z|=\sqrt{a^2}\) jest wartością bezwzględną liczby \(a .\)

Własności modułu

  1. \(|z|\geq 0\), \(|z|=0\) \(\Leftrightarrow\) \(z=0\)

  2. \(|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\)

  3. dla \(z_2\neq 0\), \(|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}\)

  4. \(|z|^2=z\cdot\overline{z}\)

  5. \(|z|=|\overline{z}|\)

  6. \(Rez\leq |Rez|\leq|z|\), \(Imz\leq |Imz|\leq|z|\)

  7. \(|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|\) (tzw. nierówność trójkąta)

  8. \(||z_1|-|z_2||\leq|z_1-z_2|\)

Dzielenie liczb zespolonych można wyrazić, dla \(z_2\neq 0\):

\[ \begin{aligned} \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{z_1\cdot \overline{z_2}}{z_2\cdot \overline{z_2}}=\dfrac{z_1\cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2}. \end{aligned} \]

1.1.1. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej \(z=a+bi\)#

Liczbę zespoloną \(z=a+bi\) można traktować jako wektor na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\), którego początek pokrywa się się z początkiem układu współrzędnych, a koniec znajduje się w punkcie \(z=(a,b) .\) Wtedy dodawanie i odejmowanie liczb ze-spo-lo-nych jest dodawaniem i odejmowaniem wektorów.

Moduł \(|z|\) liczby zespolonej \(z=a+bi\) jest długością wektora o początku w początku układu współrzędnych i końcu w punkcie \((a,b)\), czyli jest odległością punktu \(z\) od początku ukladu. Wtedy \(|z_1-z_2|\) to odległość punktów \(z_1\) i \(z_2 .\)

1.2. Postać trygonometryczna liczby zespolonej#

Twierdzenie 1.1

Dla każdej liczby zespolonej \(0\neq z=a+bi\) istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista \(0\leq\varphi<2\pi\) taka, że \(\cos\varphi=\dfrac{a}{|z|}\) oraz \(\sin\varphi=\dfrac{b}{|z|} .\)

Liczbę \(\varphi\) nazywamy argumentem głównym liczby \(z\) i oznaczamy \(argz .\) Przyjmujemy, że \(arg0=0 .\)

Każdą liczbę zespoloną \(z\) można przedstawić w postaci trygonometrycznej

\[ \begin{aligned} z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha), \end{aligned} \]

gdzie \(\alpha\in \mathbb{R} .\) Jeżeli \(\varphi=argz\), to \(\alpha=\varphi+2k\pi\), dla \(k\in \zz .\) Liczbę \(\alpha\) nazywamy argumentem liczby \(z\) i oznaczamy symbolem \(Argz .\)

Uwaga 1.3

Dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe moduły, a ich argumenty różnią się o całkowitą wielokrotność kąta pełnego.

Jeżeli \(z=|z|(\cos\varphi+\sin\varphi)\), \(z_1=|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\) oraz \(z_2=|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\), to

  • \(\overline{z}=|z|(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))\)

  • \(z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))\)

  • dla \(z_2\neq 0\), \(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))\)

  • \(z^n=|z|^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)\) Wzór Moivre’a: \((\cos\varphi+i\sin\varphi)^n=\cos n\varphi+i\sin n\varphi .\)

1.3. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 1.1

Zaznaczyć na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) wszystkie liczby zespolone takie, że

  1. \(Re((z-i)^2)= 0\)

  2. \(|\overline{z}-1+3i| \leq 5 .\)

  3. \(z+i=\overline{z+i} .\)

Ćwiczenie 1.2

Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:

  1. \(z_1=1-i\)

  2. \(z_2=1+\sqrt{3}i .\)

Ćwiczenie 1.3

Korzystając z postaci trygonometrycznej obliczyć następujące wyrażenia a wynik podać w postaci algebraicznej:

  1. \(\left(\dfrac{(1+\sqrt{3}i)}{(1-i)}\right)^{20}\)

  2. \((1+i)^{2018}\)

Informacja

Materiały na tej stronie przygotowała Agata Pilitowska.

Projekt „NERW 2 PW. Nauka - Edukacja - Rozwój - Współpraca” współfinansowany jest ze środków Unii Europejskich w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Zadanie 7 pn. „Pilotażowa realizacja innowacyjnej ścieżki kształcenia obejmującej znaczny komponent zespołowych zajęć projektowych we wczesnej fazie studiów” realizowane w ramach projektu „NERW 2 PW. Nauka - Edukacja - Rozwój - Współpraca” współfinansowany jest ze środków Unii Europejskich w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

logo_zestaw_kolor