2. Liczby zespolone II

2.1. Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkiem stopnia \(0<n\in\mathbb{N}\) z liczby zespolonej \(z\) nazywamy każdą liczbę zespoloną \(w\) spełniającą warunek:

\[ \begin{aligned} w^n=z. \end{aligned} \]

Twierdzenie 2.9

Niech \(1<n\in\mathbb{N} .\) Istnieje dokładnie \(n\) różnych pierwiastków zespolonych stopnia \(n\) z liczby zespolonej \(z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\neq 0 .\) Pierwiastki te są postaci:

\[ \begin{aligned} w_k=\sqrt[n]{|z|}(\cos\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{\varphi+2k\pi}{n}),\;\; k=0,1,\ldots,n-1. \end{aligned} \]

Liczbę \(w_0=\sqrt[n]{|z|}(\cos\dfrac{\varphi}{n}+i\sin\dfrac{\varphi}{n})\) nazywamy pierwiastkiem głównym z liczby \(z .\)

Wszystkie pierwiastki zespolone z liczby \(z\neq 0\) leżą na okręgu o środku w punkcie \((0,0)\) i promieniu \(\sqrt[n]{|z|}\) w wierzchołkach wielokąta foremnego wpisanego w ten okrąg. Zatem dzielą one łuk okręgu na \(n\) równych części.

Wniosek 2.10

Niech \(0<n\in\mathbb{N} .\) Pierwiastki stopnia \(n\) z 1 można zapisać następująco:

\[ \begin{aligned} (\sqrt[n]{1})_k=w_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}=(\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n})^k,\;\; k=0,1,\ldots,n-1. \end{aligned} \]

Każdy pierwiastek \(n\)-tego stopnia z jedynki jest potęgą liczby \(\varepsilon=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n} .\) \(\varepsilon\) nazywamy pierwiastkiem pierwotnym z 1.

2.2. Postać wykładnicza liczby zespolonej

Każdą liczbę zespoloną \(z\) można zapisać w postaci wykładniczej:

\[ \begin{aligned} z=|z|e^{i\varphi}, \end{aligned} \]

gdzie \(\varphi\in\mathbb{R}\) jest argumentem \(z .\) W szczególności, \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi .\)

Wzory Eulera:

• \(\cos\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}\),

• \(\sin\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i} .\)

Uwaga 2.3

Dwie liczby zespolone \(r_1e^{i\varphi_1}\) oraz \(r_2e^{i\varphi_2}\), gdzie \(0\leq r_1,r_2\in\mathbb{R}\), \(\varphi_1,\varphi_2\in \mathbb{R}\), sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy \(r_1=r_2=0\) albo \(r_1=r_2>0\;\; oraz\;\; \varphi_1=\varphi_2+2k\pi,\; k\in \zz .\)

2.3. Równania algebraiczne drugiego stopnia

Niech \(a,b,c\in\C .\) Równanie algebraiczne drugiego stopnia

\[ \begin{aligned} az^2+bz+c=0 \end{aligned} \]

o współczynnikach zespolonych rozwiązuje się w ten sam sposób co równanie o współczynnikach rzeczywistych. Równanie \eqref{row} ma pierwiastki:

\[ \begin{aligned} z_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \;\; {\rm dla}\;\; \Delta=b^2-4ac\in \C. \end{aligned} \]

2.4. Zadania na zajęcia

Ćwiczenie 2.2

Narysować na płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\) podane zbiory:

1. \(\sqrt{-2i}\)

2. \(\sqrt[8]{1}\)

3. \(\sqrt[3]{\dfrac{i^3}{(1-i)^{6}}}\)

4. \(\{z\in \mathbb{C} \mid \dfrac{\pi}{2}<arg(z^3)<\pi\}\)

Ćwiczenie 2.3

W zbiorze \(\mathbb{C}\) liczb zespolonych rozwiązać równania i rozwiązania podać w postaci algebraicznej:

1. \(z^2-3z+3+i=0\)

2. \(z^4-2z^2+4=0\)

3. \((\overline{z})^6=4|z^4|\)

4. \(z^{6}=\dfrac{(-\sqrt{3}-i)^3}{(1-i)^{6}}\)

Ćwiczenie 2.4

Jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego jest punkt \(z_0=1+2i .\) Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego trójkąta, jeżeli jego środkiem jest początek układu współrzędnych.

Ćwiczenie 2.5

Korzystając ze wzoru Moivre’a wyrazić \(\cos3x\) przez funkcję \(\cos x .\)

Ćwiczenie 2.6

Pokazać, że suma zespolonych pierwiastków \(n\)-tego stopnia z 1 równa jest 0. Ile wynosi iloczyn tych pierwiastków?

Informacja

Materiały na tej stronie przygotowała Agata Pilitowska.

Projekt „NERW 2 PW. Nauka - Edukacja - Rozwój - Współpraca” współfinansowany jest ze środków Unii Europejskich w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Zadanie 7 pn. „Pilotażowa realizacja innowacyjnej ścieżki kształcenia obejmującej znaczny komponent zespołowych zajęć projektowych we wczesnej fazie studiów” realizowane w ramach projektu „NERW 2 PW. Nauka - Edukacja - Rozwój - Współpraca” współfinansowany jest ze środków Unii Europejskich w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.