Funkcje wymierne i ułamki proste

3. Funkcje wymierne i ułamki proste#

Niech \(\mathbb{K}\) oznacza zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) lub zespolonych \(\mathbb{C} .\)

3.1. Wielomiany#

Wielomianem (stopnia \(n\in\mathbb{N}\)) o współczynnikach ze zbioru \(\mathbb{K}\) będziemy nazywać każdą funkcję \(f:\mathbb{K}\rightarrow\mathbb{K}\) określoną wzorem:

\[ \begin{aligned} f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n, \end{aligned} \]

gdzie \(a_n\neq 0\), \(a_0,a_1,\ldots a_n\in\mathbb{K} .\)

Stopień wielomianu \(f\) oznaczamy \(stf .\) Wielomiany stopnia \(0\) (zerowego) to elementy zbioru \(\mathbb{K} .\) Wielomian zerowy definiujemy jako funkcję \(f(x)\equiv 0 .\)

\(\mathbb{K}[x]\) - zbiór wielomianów o współczynnikach z \(\mathbb{K} .\) W \(\mathbb{K}[x]\) definiujemy działania dodawania i mnożenia wielomianów (w zwykły sposób).

st\((f+g)=\max(\)st\(f\), st\(g)\) \ \(st (f\cdot g)=st f +st g\)

Wielomian \(f\in\mathbb{K}[x]\) jest rozkładalny w \(\mathbb{K}[x]\), jeśli istnieją wielomiany \(g,h\in\mathbb{K}[x]\), \(st g>0\) i \(st h>0\), takie że \(f=g\cdot h .\) Wielomian \(f\in\mathbb{K}[x]\) jest nierozkładalny w \(\mathbb{K}[x]\), jeśli

\[ \begin{aligned} \forall\; g,h \in\mathbb{K}[x]\;\; f=g\cdot h\;\Rightarrow \;\;st g=0\;\vee\; st h=0. \end{aligned} \]

W zbiorze \(\mathbb{K}[x]\) jest wykonalne dzielenie z resztą, tzn.

\[ \begin{aligned} \forall\;(f,g\in\mathbb{K}[x],\;st f\geq st g)\;\;\exists\;(p,r\in\mathbb{K}[x])\;\;f=p\cdot g+r,\; st r<st g\; {\rm lub}\; r=0. \end{aligned} \]

Uwaga 3.5

Dla wielomianów \(f\in\mathbb{K}[x]\) i \(g(x)=x-a\)

\[ \begin{aligned} f(x)=p(x)\cdot (x-a)+r,\;\; r\in\mathbb{K}. \end{aligned} \]

Stąd wynika \(f(a)=r\) (tw. B»{e}zouta).

\(a\in \mathbb{K}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(p\in \mathbb{K}[x]\), jeśli \(p(a) = 0 .\)

Twierdzenie 3.4

(Zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian \(f\in\mathbb{C}[x]\), \(st f\geq 1\) ma pierwiastek w \(\mathbb{C} .\)

Twierdzenie 3.5

Każdy wielomian \(f\in\mathbb{C}[x]\) można rozłożyć na iloczyn wielomianów pierwszego stopnia (niekoniecznie różnych):

\[ \begin{aligned} f(x)=a_n\cdot(x-x_1)^{k_1}\cdot \ldots\cdot (x-x_m)^{k_m}, \end{aligned} \]

gdzie \(x_i\neq x_j\) dla \(i\neq j\), \(k_i\in\mathbb{N}\), \(k_1+\ldots +k_m=n=st f .\) \(k_i\) nazywamy krotnością pierwiastka \(x_i .\)

Twierdzenie 3.6

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu \(f\in\mathbb{C}[x]\) są liczbami rzeczywistymi i \(f(z_0)=0\) dla pewnego \(z_0\in\mathbb{C}\), to \(f(\overline{z_0})=0 .\)

Przykład 3.9

\( (x-z_0)\cdot (x-\overline{z_0})=(x^2-2Rez_0\cdot x+ |z_0|^2) \in \mathbb{R}[x].\)

W \(\mathbb{C}[x]\) jedyne wielomiany nierozkładalne to wielomiany stopnia pierwszego. W \(\mathbb{R}[x]\) wielomiany nierozkładalne to wielomiany stopnia pierwszego oraz wielomiany stopnia drugiego, dla których \(\Delta<0 .\)

3.2. Funkcje wymierne i ułamki proste.#

Definicja 3.12

Funkcją wymierną względem \(\mathbb{K}\) nazywamy funkcję postaci \(\duze\frac{f(x)}{g(x)}\), gdzie \(f,g\in\mathbb{K}[x]\), \(st g>0 .\)

Funkcję wymierną nazywamy właściwą, jeśli \(st f<st g .\)

Uwaga 3.6

Dowolną funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:

\[ \begin{aligned} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{p(x)\cdot g(x)+r(x)}{g(x)}=p(x)+\frac{r(x)}{g(x)},\;\;\; st r<st g. \end{aligned} \]

Definicja 3.13

Funkcję wymierną właściwą względem \(\mathbb{K}\) nazywamy ułamkiem prostym względem \(\mathbb{K}\), gdy jest postaci:

\[ \begin{aligned} \frac{f(x)}{(h(x))^k},\;\;\; st f<st h,\;\;\; k\in\mathbb{N},\;\;\; h(x)\;\text{- wielomian nierozkładalny w }\mathbb{K}[x]. \end{aligned} \]

Ułamki proste względem \(\mathbb{C}\): \(\duze\frac{A}{(x-z_0)^k}\), \(A,z_0\in\mathbb{C}\)

Ułamki proste względem \(\mathbb{R}\):

  1. pierwszego rodzaju: \(\duze\frac{A}{(x-a)^k}\),; \(A,a\in\mathbb{R}\)

  2. drugiego rodzaju: \(\duze\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k}\),; \(A,B,p,q\in\mathbb{R}\),; \(p^2-4q<0 .\)

Twierdzenie 3.7

Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić jako sumę ułamków prostych i rozkład ten jest jednoznaczny.

Jeżeli w mianowniku funkcji wymiernej występuje czynnik \((x-a)^k\), \(k>1\), to w poszukiwanym rozkładzie odpowiada mu suma składników: $\( \begin{aligned} \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots +\frac{A_k}{(x-a)^k}. \end{aligned} \)$

Jeżeli w mianowniku funkcji wymiernej występuje czynnik \((x^2+px+q)^k\), \(k>1\), to w poszukiwanym rozkładzie odpowiada mu suma składników: $\( \begin{aligned} \frac{A_1x+B_1}{x^2+px+q}+\frac{A_2x+B_2}{(x^2+px+q)^2}+\cdots +\frac{A_kx+B_k}{(x^2+px+q)^k}. \end{aligned} \)$

Metoda współczynników nieoznaczonych

  1. Piszemy rozkład na sumę ułamków prostych przy czym liczniki ułamków są nieoznaczone (nieznane współczynniki, niewiadome).

  2. Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy je.

  3. Licznik powstałego w ten sposób ułamka (z niewiadomymi współczynnikami) przyrównujemy do licznika rozkładanego ułamka \(\Rightarrow\) współczynniki przy odpowiednich potęgach muszą być równe.

  4. Rozwiązujemy powstały układ równań.

Uwaga. W szczególnym przypadku, gdy mamy rozkład

\[ \begin{aligned} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\cdots+\frac{A_k}{x-a_k}, \end{aligned} \]

to \(f(x)=A_1(x-a_2)\cdots(x-a_k)+A_2(x-a_1)(x-a_3)\cdots(x-a_k)+\cdots+A_k(x-a_1)\cdots(x-a_{k-1}) .\) Wstawiając do \(f(x)\) kolejne wartości \(a_i\) otrzymujemy \(A_1,\ldots,A_k .\)

3.3. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 3.2

Rozłożyć podane wielomiany na czynniki nierozkładalne w \(\mathbb{R}[x]\):

  1. \(p(x)=x^4+x^2+1\in \mathbb{R}[x]\)

  2. \(p(x)=x^7-x\in \mathbb{R}[x]\)

Ćwiczenie 3.3

Podać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste nad \(\mathbb{R}\) (bez wyznaczania wartości współczynników).

  1. \(\dfrac{2x^2-5}{(x-3)^3 (x^2 + 4)^2}\)

  2. \(\dfrac{3x^2-5}{x^4 - 2x^3 + 2x -1}\)

  3. \(\dfrac{x+1}{(x^4 + 4)^2}\)

Ćwiczenie 3.4

Wyznaczyć rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste nad \(\mathbb{R} .\)

  1. \(\dfrac{x+5}{(x+3)(x-9)}\)

  2. \(\dfrac{2x^2+3x-1}{x^3-x}\)

  3. \(\dfrac{2x^3+5x^2 +3x +1}{x^2(x^2+1)^2}\)

  4. \(\dfrac{2x^3 +6x^2 +3x}{(x+1)^4}\)

3.4. Zadania dodatkowe#

Ćwiczenie 3.5

Obliczyć iloraz oraz resztę z dzielenia wielomianu \(p(x)=2x^4-5x^3+2x\in\mathbb{R}[x]\) przez wielomian \(q(x)=x^2-1\in\mathbb{R}[x] .\)

Ćwiczenie 3.6

Podać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste nad \(\mathbb{C}\) (bez wyznaczania wartości współczynników).

  1. \(\dfrac{4z}{z^2-2iz +3}\)

  2. \(\dfrac{z^2+3}{z^2(z^2+9)(z+3i)^2}\)

  3. \(\dfrac{z+1}{(z^4 + 4)^2}\)

Informacja

Materiały na tej stronie przygotowała Agata Pilitowska.

Projekt „NERW 2 PW. Nauka - Edukacja - Rozwój - Współpraca” współfinansowany jest ze środków Unii Europejskich w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Zadanie 7 pn. „Pilotażowa realizacja innowacyjnej ścieżki kształcenia obejmującej znaczny komponent zespołowych zajęć projektowych we wczesnej fazie studiów” realizowane w ramach projektu „NERW 2 PW. Nauka - Edukacja - Rozwój - Współpraca” współfinansowany jest ze środków Unii Europejskich w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

logo_zestaw_kolor