6. Funkcje tworzące#
6.1. Zadania na zajęcia#
Ćwiczenie 6.3
Znaleźć wyraz ogólny ciągu, którego funkcją tworzącą jest \(f(x)=\dfrac{x}{6x^2-5x+1} .\)
Ćwiczenie 6.4
Znaleźć funkcję tworzącą ciągu \((b_n)\) określonego rekurencyjnie: \(b_0=4\), \(b_n=3b_{n-1}-2^{n-1}\), dla \(n\geq 1\) i na tej podstawie wyznaczyć wzór ogólny na wyraz \(b_n .\)
Ćwiczenie 6.5
Znaleźć wyraz ogólny ciągu, którego funkcją tworzącą jest \(\dfrac{1}{1-x^2} .\)
Ćwiczenie 6.6
Wyznaczyć funkcję tworzącą ciągu \(\left(b_n\right)\) opisanego rekurencyjnie:
\(b_0=1,\; b_1=2,\quad 32b_{n+2}+12b_{n+1}+b_n=2\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N}\),
\(b_0=1,\; b_1=2,\quad 2b_{n+2}-3b_{n+1}+b_n=\frac{1}{3^n}\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N}\),
\(b_0=1,\; b_1=2,\quad b_{n+2}-6b_{n+1}+b_n=0\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N} .\)
6.2. Zadania dodatkowe#
Ćwiczenie 6.7
Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu \((n^2) .\)
Ćwiczenie 6.8
Rozwiązać kombinację równań rekurencyjnych:
\(a_0=9,\quad a_1=1,\quad 5a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N}\);
\(a_0=1,\quad a_1=1,\quad a_{n+2}=4a_n\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N}\),
\(a_0=1,\quad a_1=2,\quad a_{n+2}+4a_n=0\quad\textrm{dla}\;n\in\mathbb{N} .\)
Ćwiczenie 6.9
\((*)\) Niech \(d_n\) oznacza liczbę wszystkich podziałów liczby \(n\), w których rozbicie składa się tylko z różnych liczb i niech \(r_n\) będzie liczbą podziałów liczby \(n\), w których występują tylko liczby nieparzyste. Znaleźć funkcje tworzące ciągów \(d_n\) i \(r_n\) oraz wywnioskować, że dla każdego \(n\), \(d_n=r_n .\)
Informacja
Materiały na tej stronie przygotowała Agata Pilitowska.
Projekt „NERW 2 PW. Nauka - Edukacja - Rozwój - Współpraca” współfinansowany jest ze środków Unii Europejskich w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Zadanie 7 pn. „Pilotażowa realizacja innowacyjnej ścieżki kształcenia obejmującej znaczny komponent zespołowych zajęć projektowych we wczesnej fazie studiów” realizowane w ramach projektu „NERW 2 PW. Nauka - Edukacja - Rozwój - Współpraca” współfinansowany jest ze środków Unii Europejskich w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
