Spis rzeczy

Subsections

• Struna z zamocowanym końcem
• Struna ze swobodnym poziomym końcem

Struna jednostronnie ograniczona

Rozważmy zagadnienie polegające na znalezieniu rozwiązania równania drgań półograniczonej struny swobodnej

$$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}<tex2html_comment_mark>313 u}{\partial x^{2}}=0 x\mathbb{>}0 t>0 %%$$ (2.10)

z warunkami początkowymi

$$u\left( x,0\right) =\varphi\left( x\right) u_{t}\left( x,0\right) =\psi\left( x\right) x>0 %%$$ (2.11)

Struna z zamocowanym końcem

W tym przypadku poszukujemy funkcji $u$ spełniającej dodatkowy warunek$u\left( 0,t\right) \equiv0$. O funkcjach danych $\varphi$ i $\psi$ założymy, że spełniają one tzw. warunki zgodności

$$\varphi\left( 0^{+}\right) =0 \psi\left( 0^{+}\right) =0 %%$$ (2.12)

Dodatkowo zakładamy, że $\varphi^{\prime}$, $\varphi^{\prime\prime}$,$\psi^{\prime}$ są ciągłe na półprostej $\left[0,+\infty\right)$.

W celu rozwiązania powyższego zagadnienia, funkcje $\varphi$ i $\psi$ przedłużamy do funkcji nieparzystych określonych na całej osi rzeczywistej. Warunki (2.12) gwarantują ciągłość otrzymanych przedłużeń. Następnie, dla tak określonych przedłużeń, stosujemy wzór d'Alemberta dla struny swobodnej (2.5)

$$u(x,t)=\frac{1}{2}\left( \varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\right) +\frac{1}<tex2html_comment_mark>317 {2c}\int\limits_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)ds %%$$ (2.13)

Podstawiając $x=0$ otrzymujemy

$$u(0,t)=\frac{1}{2}\left( \varphi(-ct)+\varphi(ct)\right) +\frac{1......mits_{-ct}^{ct}\psi(s)ds=\frac{1}{2}\left( -\varphi(ct)+\varphi(ct)\right) =0$$ na mocy nieparzystości funkcji danych $\varphi$ i $\psi$. Oznacza to, że $u$ jest rozwiązaniem zagadnienia drgań struny z zamocowanym końcem.

Struna ze swobodnym poziomym końcem

Rozważamy zagadnienie polegające na wyznaczeniu rozwiązania $u$, spełniającego dodatkowo warunek $u_{x}\left( 0,t\right) =0$ (koniec struny może poruszać się swobodnie w pionie, np. w prowadnicy dla$x=0$). O funkcjach danych $\varphi$ i $\psi$ założymy, że spełniają one tzw. warunki zgodności

$$\varphi^{\prime}\left( 0^{+}\right) =0 \psi^{\prime}\left( 0^{+}\right) =0 %%$$ (2.14)

Zakładamy również, że $\varphi^{\prime}$, $\varphi^{\prime\prime}$, $\psi^{\prime}$ są ciągłe na półprostej $\left[0,+\infty\right)$.

W celu rozwiązania powyższego zagadnienia, funkcje $\varphi$ i $\psi$ przedłużamy do funkcji parzystych określonych na całej osi rzeczywistej (wówczas pochodna $\varphi^{\prime}$ jest nieparzysta). Stosując podobnie jak poprzednio, wzór d'Alemberta (2.5) przedstawiamy rozwiązanie $u$ w postaci (2.13).

Wynika stąd, że

$$u_{x}\left( x,t\right) =\frac{1}{2}\left( \varphi^{\prime}(x-ct)+......ht) +\frac{1}{2c}\left( \psi\left( x+ct\right)-\psi\left( x-ct\right) \right)$$ oraz $$u_{x}\left( 0,t\right) =\frac{1}{2}\left( \varphi^{\prime}(-ct)+\......ht) +\frac{1}{2c}\left( \psi\left( ct\right) -\psi\left(-ct\right) \right) =0$$ na mocy nieparzystości funkcji $\varphi^{\prime}$ i parzystości funkcji $\psi$. Oznacza to, że $u$ jest rozwiązaniem rozważanego zagadnienia.