Spis rzeczy

Subsections

• Funkcja Greena dla koła - metoda punktów symetrycznych

Metoda funkcji Greena

Skorzystamy teraz z podstawowego wzoru teorii funkcji harmonicznych (6.8)

$$u\left( P_{0}\right) =<tex2html_comment_mark>952 {\displaystyle\i......0 {\displaystyle\iint\limits_{D}} \Delta u\left( P\right) E\left( P\right) dxdy %%$$ (7.7)

gdzie, zgodnie z (6.7)

$$E\left( P\right) =\frac{1}{2\pi}\ln\left\vert PP_{0}\right\vert =-\frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{\left\vert PP_{0}\right\vert }\text{.}%%$$ Załóżmy, że $u$ jest funkcją harmoniczną, zatem $\Delta u=0$. Powyższy wzór przybiera wówczas postać

$$u\left( P_{0}\right) =-\frac{1}{2\pi}<tex2html_comment_mark>966 {...... PP_{0}\right\vert }\frac{\partial u\left( P\right) }{\partial n}\right] ds_{P} %%$$ (7.8)

W zagadnieniach Dirichleta i Neumanna dla równania Laplace'a wartości brzegowe funkcji $u$ lub jej pochodnej normalnej $\frac{\partial}{\partialn}u$ mogą być zadawane osobno lecz nie jednocześnie razem. W celu uzyskania rozwiązania zagadnienia Dirichleta (7.1)-(7.2) lub Neumanna (7.3)-(7.4) należy tak przekształcić wzór (7.8), aby wyeliminować z niego niewiadome wartości brzegowe. Można to zrobić przez wprowadzenie pojęcia funkcji Greena.

Załóżmy teraz, że $v$ jest pewną funkcją harmoniczną, tzn. $\Delta v=0$. Z drugiej tożsamości Greena (6.6) otrzymujemy

$$<tex2html_comment_mark>971 {\displaystyle\int\limits_{\partial D}......) ds-<tex2html_comment_mark>975 {\displaystyle\iint\limits_{D}} v\Delta udxdy=0 %%$$ (7.9)

Dodając stronami (7.7) i (7.9), po pogrupowaniu odpowiadających sobie wyrazów, otrzymujemy wzór

$$u\left( P_{0}\right) =<tex2html_comment_mark>980 {\displaystyle\i......splaystyle\iint\limits_{D}} G\left( P,P_{0}\right) \Delta u\left( P\right) dxdy %%$$ (7.10)

gdzie

$$G\left( P,P_{0}\right) =\frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{\left\vert PP_{0}\right\vert }+v %%$$ (7.11)

Funkcja $G$ spełnia równanie $\Delta u=0$ w$D$ za wyjątkiem punktu$P=P_{0}$. Funkcję $v$ występującą we wzorze (7.11) wybieramy w ten sposób, aby

$$v_{\vert\partial D}=-\frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{\left\vert PP_{0}\right\vert } P\in\partial D %%$$ (7.12)

a to oznacza, że $G_{\vert\partial D}=0$.

Funkcja $G$ dana wzorem (7.11) i spełniająca warunek brzegowy (7.12) nazywana jest funkcją Greena zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace'a.

Jeśli funkcja ta jest znana, to wzór (7.10) przedstawia rozwiązanie zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace'a (7.1)-(7.2) w postaci

$$u\left( P_{0}\right) =-<tex2html_comment_mark>991 {\displaystyle\......l D}} g\left( P\right) \frac{\partial}{\partial n}G\left( P,P_{0}\right) ds_{P} %%$$ (7.13)

Aby wyznaczyć funkcję Greena $G\left( P,P_{0}\right)$, należy rozwiązać szczególne zagadnienie Dirichleta z warunkiem brzegowym (7.12). Jest ono jednak znacznie łatwiejsze do rozwiązania niż rozważane zagadnienie wyjściowe, ponieważ w warunku brzegowym występuje konkretna funkcja.

Analogicznie można wyprowadzić wzór przedstawiający rozwiązanie zagadnienia Neumanna.

Funkcja Greena dla koła - metoda punktów symetrycznych

Niech teraz $D$ będzie kołem o środku w $O\left( 0,0\right)$ i promieniu $a$, $\partial D$ jego brzegiem, tzn. okręgiem $x^{2}+y^{2}=1$. Niech $P_{0}\in D$ będzie dowolnym punktem. Z $O$ wyprowadzamy półprostą przechodzącą przez $P_{0}$. Na tej półprostej wybieramy punkt $P_{1}$ taki, że $$\rho_{0}\rho_{1}=a^{2}$$, $$\rho_{0}=\left\vert OP_{0}\right\vert$$   , $$\rho_{1}=\left\vert OP_{1}\right\vert$$   .$$%%$$ Punkt $P_{1}$ nazywamy punktem symetrycznym (harmonicznie sprzężonym) do $P$ względem okręgu $\partial D:\,x^{2}%%+y^{2}=a^{2}$. Rozważmy funkcję $$v\left( P\right) =-\frac{1}{2\pi}\ln\left( \frac{a}{\rho_{0}}\frac{1}{\left\vert PP_{1}\right\vert }\right)$$.$$%%$$ Łatwo sprawdzić, że jest ona harmoniczna w kole .

Gdy $P\in\partial D$, to z podobieństwa trójkątów$\bigtriangleup OPP_{0}$ i $\bigtriangleup OPP_{1}$ (jeden kąt wspólny oraz
$\left\vert OP_{0}\right\vert :\left\vert OP\right\vert =\left\vert OP\right\vert:\left\vert OP_{1}\right\vert$) wynika, że

$$\frac{a}{\rho_{0}}\frac{1}{\left\vert PP_{1}\right\vert }=\frac{1}{\left\vertPP_{0}\right\vert }\text{,}%%$$ zatem $$v_{\vert\partial D}=-\frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{\left\vert PP_{0}\right\vert }$$,$$%%$$ a to oznacza, że spełniony jest warunek (7.12) z definicji funkcji Greena.

Zatem funkcja Greena zagadnienia Dirichleta dla koła dana jest wzorem

$$G\left( P,P_{0}\right) =\frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{\left\vert PP_{......2\pi}\ln\left( \frac{a}{\rho_{0}}\frac{1}{\left\vert PP_{1}\right\vert }\right) %%$$ (7.14)

Dowodzi się, że pochodna $\frac{\partial}{\partial n}G$ dla$P\in\partial D$ może być obliczona ze wzoru

$$\frac{\partial G}{\partial n}_{\vert\partial D}=-\frac{1}{2\pi a}\frac{a^{2}%%-\rho_{0}^{2}}{\left\vert PP_{0}\right\vert ^{2}}\text{.}%%$$ W takim razie rozwiązaniem zagadnienia Dirichleta (7.1)-(7.2) na podstawie wzoru (7.13) jest funkcja

$$u\left( P_{0}\right) =\frac{1}{2\pi a}<tex2html_comment_mark>1004......o_{0}^{2}}{\left\vert PP_{0}\right\vert ^{2}<tex2html_comment_mark>1008 }ds_{P} %%$$ (7.15)

Wzór (7.15) we współrzędnych biegunowych można zapisać jako

$$u\left( r,\theta\right) =\frac{1}{2\pi}<tex2html_comment_mark>101......t) \frac{a^{2}-r^{2}}{a^{2}-2ar\cos\left( \varphi-\theta\right) +r^{2}}d\varphi %%$$ (7.16)

gdzie współrzędne biegunowe punktu $P_{0}$ oznaczone są przez$\left( r,\theta\right)$ a współrzędne punktu $P$ na okręgu przez $\left( a,\varphi\right)$. Wzór (7.16) nosi nazwę wzoru całkowego Poissona dla funkcji harmonicznej w kole.