Spis rzeczy

Metoda szeregów Fouriera dla koła

Rozważamy równanie Laplace'a (7.1) z funkcją niewiadomą$u=u(x,y)$

$$\Delta u=0 (x,y)\in D=\left\{ (x,y):x^{2}+y^{2}<a^{2}\right\}%%$$ (7.17)

z warunkiem brzegowym

$$u_{\vert\partial D}=\varphi(\alpha)$$ dla $$\alpha\in\lbrack0,2\pi]$$,$$%%$$ gdzie $\varphi$ jest daną funkcją ciągłą, która może być przedstawiona w postaci sumy trygonometrycznego szeregu Fouriera.

Jedna z metod rozwiązania oparta jest na przedstawieniu niewiadomej funkcji harmonicznej $u$ w postaci części rzeczywistej pewnej funkcji holomorficznej w kole $D$

$$u(r,\alpha)=\operatorname{Re}\left( \sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_......m\limits_{n=0}^{+\infty}r^{n}\left( a_{n}\cos n\alpha -b_{n}\sin n\alpha\right) %%$$ (7.18)

gdzie

$$z=re^{i\alpha},$$$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left\vert z\right\vert ,$$$$%%\alpha=\arg z$$, $$c_{n}=a_{n}+ib_{n}$$.$$%%$$ Z warunku brzegowego otrzymujemy, że dla $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ musi zachodzić równość $$\varphi(\alpha)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a^{n}\left( a_{n}\cosn\alpha-b_{n}\sin n\alpha\right)$$    dla $$\alpha\in\lbrack0,2\pi].$$ Z własności trygonometrycznych szeregów Fouriera wynika stąd, że

$$a_{n}=\frac{1}{2\pi a^{n}}\int\limits_{0}^{2\pi}\varphi(\alpha)\cos n\alpha d\alpha, b_{n}=-\frac{1}{2\pi a^{n}}\int\limits_{0}^{2\pi}<tex2html_comment_mark>1023 \varphi(\alpha)\sin n\alpha d\alpha%%$$ (7.19)

dla $n=0,1,2,...$

Otrzymane rozwiązanie należy ostatecznie zapisać w postaci jawnej$u=u\left( x,y\right)$.

P r z y k ł a d

Rozwiązać zagadnienie Dirichleta (7.17) dla $a=1,$$\varphi(x,y)=\varphi(\alpha)=0,6-0,5\cos4\alpha+0,5\sin\alpha.\bigskip$

Ze wzorów (7.19) wynika, że

$$a_{0}=\frac{6}{10},$$$$a_{4}=-\frac{1}{2},$$$$b_{2}=-\frac{1}{2}%%$$ zaś pozostałe współczynniki są równe zero.

W takim razie rozwiązanie zagadnienia wyraża się wzorem

$$u(x,y)=\frac{3}{5}-\frac{1}{4}r^{4}\cos4\alpha+\frac{1}{2}r^{2}\sin2\alpha=\frac{6}{10}-\frac{1}{2}\left( x^{4}+y^{4}\right) +3x^{2}y^{2}+xy.$$ Poniższy rysunek przedstawia wykres rozwiązania $u(x,y)$ oraz jego plan warstwicowy. Animacja przedstawia obrót rozwiązania dookoła osi pionowej.

Animacja w formacie avi (331 KB)

Animowany gif (134 KB)