Spis rzeczy

Metoda odwzorowań konforemnych

Rozważmy zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace'a w półpłaszczyźnie

$$\Delta u=0 (x,y)\in D=\left\{ (x,y):y>0\right\}$$ (7.20)

Załóżmy, że szukana funkcja $u\left( x,y\right)$ jest ciągła dla $y\geq0$, ograniczona w nieskończoności i spełnia warunek brzegowy

$$u\left( x,0\right) =\alpha\left( x\right) x\in\mathbb{R} %%$$ (7.21)

gdzie $\alpha\left( x\right)$ jest daną funkcją ograniczoną w nieskończoności.

Z teorii funkcji zmiennych zespolonych wiadomo, że funkcja

$$w=f\left( z\right) =\frac{z-z_{0}}{z-\overline{z}_{0}}%%$$ jest odwzorowaniem konforemnym półpłaszczyzny $y>0$ w koło jednostkowe $\left\vert w\right\vert <1$, przy którym brzeg półpłaszczyzny (tzn. prosta $y=0$) przechodzi na okrąg $\left\vert w\right\vert =1$, a punkt $z_{0}$ w punkt $w=0$. Wówczas funkcja $U$ określona jako$U\left( w\right) =u\left( z\right)$, gdzie $z=x+iy$, jest funkcją harmoniczną w kole $\left\vert w\right\vert <1$ taką, że $$U_{\vert\left\vert w\right\vert =1}=u\left( x,0\right) =\alpha\left( x\right)=:A\left( \psi\right)$$,$$%%$$ gdzie $w=f\left( x\right)$, $x\in\mathbb{R}$ (patrz zadanie $5$ z poprzedniego wykładu).

Z twierdzenia Gaussa o wartości średniej dla funkcji harmonicznych wynika, że

$$U\left( 0\right) =u\left( z_{0}\right) =\frac{1}{2\pi}<tex2html_c......mment_mark>1035 {\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}} A\left( \psi\right) d\psi %%$$ (7.22)

Ponieważ

$$e^{i\psi}=\frac{x-z_{0}}{x-\overline{z}_{0}}$$, więc $$d\psi=\frac{2y_{0}}{\left( x-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}^{2}}dx$$.$$%%$$ Zamieniając zmienne w całce (7.22), otrzymujemy

$$u\left( x_{0},y_{0}\right) =\frac{1}{\pi}<tex2html_comment_mark>1......ty}} \frac{y_{0}}{\left( x-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}^{2}}\alpha\left( x\right) dx %%$$ (7.23)

Wzór (7.23) przedstawia rozwiązanie zagadnienia (7.20)-(7.21).