Optimal embeddings and extensions of Hajłasz-based Triebel-Lizorkin and Besov spaces

Analiza czasowo-częstotliwościowa, czyli kilka słów o rozkładach Wignera

Z punktu widzenia zastosowań analiza różnego rodzaju danych przeprowadzana w dziedzinie czasu/przestrzeni lub w dziedzinie częstotliwości nie wystarcza (widać to szczególnie w analizie dźwięku). Jednym z możliwych rozwiązań tego problemu jest wykorzystanie analizy czasowo-częstotliwościowej, która łączy te dwa podejścia w jedno. Sposobów na to jest wiele, ale ja podczas referatu skupię się na tzw. rozkładach Wignera. Opowiem o ich podstawowych własnościach, możliwościach wykorzystania oraz (niestety) ograniczeniach. Zasygnalizuję również, w jakim kierunku mogą zmierzać współczesne badania (nie tylko moje) w tej dziedzinie, wykorzystujące np. podejście hiperzespolone.

A semigroup approach to the space-fractional diffusion and the analysis of fractional Stefan models

O minimalnych rozwiązaniach równań eliptycznych

Za pomocą teorii jąder reprodukujących można udowodnić, że w zbiorze rozwiązań dowolnego równania różniczkowego eliptycznego, dla których wartość w ustalonym punkcie jest równa 1, istnieje dokładnie jedno rozwiązanie o minimalnej normie L^2. Co więcej, można wykazać, że tak rozumiane rozwiązanie minimalne zależy w sposób ciągły od obszaru całkowania, tzn. od dziedziny, na jakiej mają być określone nasze rozwiązania.

Morrey spaces and applications to PDE

Based on some of my results, I would like to present some applications of Morrey spaces to PDE. I also use Besov--Morrey spaces and Triebel--Lizorkin--Morrey spaces as well as their slight variants. 1. Sobolev embedding 2. Elliptic differential operators with non-smooth coefficients 3. Keller--Segel equations 4. Pseudo-differential operators

prezentacja

Characterization of the Nikolskii–Besov–Morrey spaces via real interpolation

In this talk, the Morrey spaces and the Sobolev–Morrey spaces are considered. In particular, the K-functional with respect to these spaces is estimated from above and below. As an application, we characterize the Nikol’skii–Besov–Morrey spaces via real interpolation.

prezentacja

Modelowanie propagacji fali pulsu człowieka

Modelowanie propagacji fali pulsu człowieka pomaga przewidywać ciśnienie i prędkość krwi w układzie krwionośnym. Ta nieinwazyjna metoda może również dać nam wiedzę na temat wielu parametrów (biomarkerów), które mogą być następnie wykorzystane w diagnostyce stanu układu sercowo-naczyniowego. Obecnie, z powodu ograniczonych mocy obliczeniowych oraz względnie małej złożoności, wiele modeli używa jednowymiarowej dziedziny. Podczas wystąpienia, omówię 1-wymiarowy model propagacji fali pulsu opisany odpowiednim układem równań różniczkowych cząstkowych i zwyczajnych. Przedstawię jak modelować pracę serca oraz jak określić warunki brzegowe na rozważanej dziedzinie. Na końcu pokażę przykładowe wyniki symulacji.

O strukturach bilagranżowskich

Wbrew temu, co zdaje się sugerować powyższy tytuł, przedmiotem referatu będzie pewien geometryczny fragment mechaniki *hamiltonowskiej*. Nie sposób mówić o nim bez korzystania z metod geometrii symplektycznej, które pozwalają sprawnie odczytywać symetrie układów mechanicznych napędzanych siłami zachowawczymi. Przed zagłębieniem się w temat postaram się wprowadzić potrzebne pojęcia w przystępny sposób, odnosząc się możliwie często do naszych fizycznych intuicji i konkretnych przykładów. Wtedy też stanie się jasne, skąd pochodzi nazwa rozważanych struktur: mowa tu o dwóch foliacjach F,G rozmaitości symplektycznej (M,ω) złożonych z liści lagranżowskich przecinających się transwersalnie. Pojęcie to zyskało na znaczeniu dzięki pracy H. Hessa (1980), w której przy pomocy zdefiniowanej tam koneksji liniowej ∇ naturalnie związanej z trójką (F,G,ω) uogólniono jednocześnie kilka znanych metod kwantyzacji ogólnych układów fizycznych. W dalszej części referatu skupię się na zaprezentowaniu najciekawszych własności tych struktur oraz na pewnej analogii między geometrią bilagranżowską a geometrią riemannowską, która umożliwiła mi scharakteryzowanie krzywizny związanej z ∇ wykorzystując pojęcie holonomii tkanin unimodularnych.

link do referatu

Geometryczne własności kaustyki Wignera oraz zbiorów afinicznie λ-równoodległych

Kaustyka Wignera jest przykładem zbioru afinicznie lambda-równoodległego. W przypadku krzywych na płaszczyźnie jest ona zbiorem środków odcinków łączących te pary różnych punktów na krzywej, w której poprowadzone do krzywej styczne są równoległe. Podczas wykładu poznamy własności geometryczne oraz zastosowania kaustyki Wignera oraz pozostałych zbiorów afinicznie lambda-równoodległych. Przykładowo, zorientowane pole kaustyki Wignera owalu poprawia klasyczną nierówność izoperymetryczną oraz daje dokładną zależność między długością krzywej o stałej szerokości, a polem ograniczonym tą krzywą. Ponadto, osobliwości kaustyki Wignera owali pojawiają się z tzw. par antypodycznych, które od początku XX wieku badane były w geometrii wypukłej. Konstrukcja kaustyki Wignera prowadzi również do jednej z dwóch konstrukcji parzystowymiarowych niewłaściwych sfer afinicznych, które to z kolei dają rozwiązania równania Monge'a-Ampere'a.

link do referatu

Analiza asymptotyczna, granica z małą liczbą Macha: od układu ściśliwego do nieściśliwego

Opowiem o asymptotycznej analizie układów hydrodynamicznych, na przykładzie układu Naviera-Stokesa-Fouriera, jako przydatnego narzędzia w sytuacji gdy pewne parametry w układzie - nazwane liczbami charakterystycznymi - znikają lub zbiegają do nieskończoności. Wybór odpowiedniego skalowania - czyli układu referencyjnego, układu odniesienia, parametrów determinujących zachowanie rozważanego systemu pozwala eliminować niechciane i/lub niepotrzebne składowe ruchu (przepływu). Głównym celem analizy asymptotycznej różnych układów fizycznych jest uzyskanie uproszczonego zbioru równań - prostrzego dla analizy matematycznej oraz numerycznej - ale nadal oddającego istotę rozpatrywanego zjawiska. Takie układy mogą być wyprowadzane w sposób bardzo formalny, my jednak skoncentrujemy się na rygorystycznej analizie matematycznej. Skupię się na tzw. reżimie małej liczby Macha i przedstawię wyniki dotyczące przejścia od modeli ściśliwych do nieściśliwych dla przepływu płynu, z naciskiem na trudności charakterystyczne dla tego typu problemów. Przedstawię raczej ogólny pomysł, a nie będę skupiać się na szczegółach technicznych.

link do referatu

Skompensowana zawartość na przykładzie jądra operatora niestałego rzędu

link do referatu

Model turbulencji Kołmogorowa: warunki dostateczne na przedłużanie rozwiązania

link do referatu

Inkluzje różniczkowe i nierówności wariacyjno-hemiwariacyjne z operatorem prawie zależnym od historii i ich zastosowanie w mechanice kontaktowej

link do referatu

O globalnych własnościach funkcji półciągłych z dołu minoryzowanych przez funkcje kwadratowe

link do referatu prezentacja

Ciągłość zanurzeń przestrzeni Słobodeckiego gdy alfa*p >= s

W trakcie referatu przedstawie wyniki wraz z dowodami dotyczące ciągłości zanurzeń przestrzeni Słobodeckiego zdefiniowanych na przestrzeni metrycznej z miarą, w przestrzeń funkcji Hölderowsko ciągłych (gdy alfa*p > s) i w przestrzeń Exp(1) (gdy alfa*p = s). Dowody oparte są o zmodyfikowaną metodę Campanato z operatorem mediany. Pod koniec, jeśli starczy czasu, powiem kilka słów o zwartości zanurzeń w przypadku alfa*p < s.

link do referatu prezentacja

Regularność pochodnych słabych rozwiązań równań Naviera-Stokesa z ułamkowym Laplasjanem

Skupimy się na słabych rozwiązaniach trójwymiarowych równań Naviera-Stokesa z ułamkową dyssypacją (HNSE), $\partial_t u + (- \Delta )^s u + (u\cdot \nabla )u +\nabla p =0$, $\mathrm{div}\, u=0$, gdzie $(-\Delta )^s$ jest mnożnikiem fourierowskim zdefiniowanym przez symbol $|\xi |^{2s}$ i $s\in (3/4,1)$. Omówimy nową iterację regularności która pozwala analizować odpowiednie słabe rozwiązania (``suitable weak solutions'') lokalnie w czasoprzestrzeni. Pokażemy jak może być ona zastosowana do udowodnienia, że $\nabla^k u \in L^{p,\infty }_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3\times(0,\infty))$ dla każdego takiego rozwiązania $u$, gdzie $p=\frac{2(3s-1)}{k+2s-1}$, $k=1,2$, do poprawienia wyniku Tang \& Yu (2015) o częściowej regularności rozwiązań, oraz do otrzymania nowego ograniczenia na wymiar Minkowskiego (lub ``box-counting'') zbioru osobliwego $S$, $d_B(S\cap \{t\geq t_0 \} )\leq \frac13 (15-2s-8s^2) $ dla każdego $t_0>0$. Praca wspólna z Hyunju Kwon (Institute for Advanced Study, Princeton).

UWAGA: Seminarium wyjątkowo rozpocznie się o godzinie 17:15.

link do referatu prezentacja

Izometrie w metryce Hausdorffa

Na seminarium zamierzam przedstawić nowe rezultaty dotyczące izometrii w metryce Hausdorffa. Omówię wynik w pełni charakteryzujący izometrie rodziny zwartych podzbiorów (między innymi) ściśle wypukłych przestrzeni unormowanych. Podane zostaną również przykłady przestrzeni, w których wspomniana charakteryzacja nie zachodzi.

Jeśli starczy czasu, to skomentuję, jak można uzyskać charakteryzację izometrii między rodzinami zwartych podzbiorów "różnych" przestrzeni, a także przedstawię hipotezę dotyczącą podobnego wyniku, tym razem w rodzinie podzbiorów zwartowypukłych. (Propozycja dowodu jest w trakcie sprawdzania.)

link do referatu prezentacja

Jądro Bergmana, jądro Szego

Na seminarium chciałem opisać jądro Bergmana oraz jądro Szego danego obszaru w przestrzeni C^n a także metryki biholomorficznie niezmienniczne generowane przez te jądra : metrykę Bergmana, metrykę Szego, metrykę Skwarczyńskiego. Jeśli wystarczy mi czasu, to powiem o pewnej nowej metryce, którą wprowadziłem wspólnie z prof. Stevenem Krantzem, która także jest biholomorficznie niezmiennicza i co najważniejsze daje połączenie metryki Bergmana z metryką Szego. Chcę także powiedzieć o relacji pomiędzy tą metryką a metryką Skwarczyńskiego.

link do referatu prezentacja

Półgrupowe podejście do nielokalnego w przestrzeni zagadnienia dyfuzji

link do referatu prezentacja

Przestrzenie polskie krzywych przyczynowych

Jednym z najważniejszych pojęć fizyki relatywistycznej jest tzw. linia świata, czyli czasoprzestrzenna trajektoria cząstki punktowej. W geometrii lorentzowskiej modeluje się ją jako tzw. krzywą przyczynową. Einsteinowski zakaz przekraczania prędkości światła tłumaczy się na pewien warunek nakładany na wektory styczne do takich krzywych. W referacie opowiem o pewnej nowej topologii, w jaką można wyposażyć zbiór krzywych przyczynowych w "dostatecznie dobrej" czasoprzestrzeni i o tym, co z tego wynika dla fizyki.

link do referatu prezentacja

Regularność funkcji asymptotycznie harmonicznych

link do referatu prezentacja