2015/2016
SEMESTR LETNI 2015/2016
14. 06, T. Kowalski (La Trobe University, Melbourne, Australia), Some open problems in and around the theory of relation algebras.
Abstract: By relation algebras I understand Tarski's relation algebras: algebras whose intended interpretations (known as "representations") are algebras of binary relations on a set. To distinguish them from any other kind of algebras of relations, I will bestow the honour of majuscule upon them: they are Relation Algebras (RAs). Not all RAs have a representation. These that do are called Representable Relation Algebras (RRAs). A particularly pleasant variety of RRAs is generated by complex algebras of groups: it is often called GRA. I will present two sets of open problems in the theory of RAs. Problems in the first set have to do with the structure of subvariety lattices (of RA, RRA, and GRA). Problems in the second set have to do with representations. My selection of the problems is completely unrepresentative of their importance in the theory and reflects mostly my fancy.
7. 06, M. Ziembowski, O podpierścieniach pierścieni macierzy
31. 05, M. Stronkowski, Universal freeness
17. 05, J. D. H. Smith (Iowa State Univesity, Ames, Iowa, USA), Fields, vector spaces, and quasigroups
Abstract: Using some ideas from the theory of quasigroups, we give a rigorous new definition of a field which admits precisely the "classical" fields and the field of order one. We then give a rigorous new definition of a linear combination which restricts appropriately to vector spaces over "classical" fields, and ensures that any set is a vector space over the field of order one. This particular approach to the field of order one is motivated both by the desire to integrate groups with Hopf algebras, and by enumeration questions in finite geometries.
10. 05, T. Brengos, W pogoni za niedeterminizmem
Abstrakt: Podczas referatu przedstawię prostą konstrukcję kategoryjną, w której opiszę jak zanurzyć dowolną kategorię wzbogaconą porządkiem o dodatkowych własnościach w kategorię, w której zachodzi lewa rozdzielność działania składania morfizmów względem operacji supremum zdefiniowanej na hom-setach.
26. 04, D. Jakubikova-Studenovska (P. J. Safarik University, Kosice, Slovakia), Formations of monounary algebras
Abstract: A class of fi nite monounary algebras is said to be a formation if it is closed under homomorphic images and finite subdirect products. Let us denote by F the collection of all formations of finite monounary algebras. Then F can be partially ordered by the class-theoretical inclusion and it forms a complete lattice. We will show that F is isomorphic to the lattice of all hereditary subsets of a certain poset.
19. 04, T. Brengos, O teoriach Lawvere'a (jeszcze raz) słów kilka
Abstrakt: W referacie wprowadzę pojęcie teorii Lawvere'a, przedstawię kilka ciekawych przykładów i przypomnę konstrukcję zanurzenia uporzadkowanych teorii Lawvere'a w tzw. teorie gajowe. Konstrukcja ta odgrywa kluczową rolę w badaniu słabych bisymulacji i iteracji.
12. 04, G. Dymek (Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Pawła II), Pseudo-BCI-logika i jej algebraizowalność
Abstrakt: Opowiem o pseudo-BCI-logice, niekomutatywnej wersji BCI-logiki. Okazuje się, że nie jest ona algebraizowalna, ale po jej rozszerzeniu o pewną dodatkową regułę wnioskowania ta rozszerzona logika - pseudo-BCI'-logika - będzie algebraizowalna. Pokażę ponadto, że modelem algebraicznym dla pseudo-BCI'-logiki są pseudo-BCI-algebry. Przedstawię wyniki pracy [1]. Algebraizowalność logik rozpatrzę w sensie Bloka i Pigozziego ([2]). Literatura:
- [1] G. Dymek, A. Kozanecka-Dymek, Pseudo-BCI-logika, Bull. Sect. Logic Univ. Łódź 42 (2013), 33-42.
- [2] W.J. Blok, D. Pigozzi, Algebraizable logics, Memoirs of the Am. Math. Soc. 396, Providence, 1989.
05. 04, Jan Krempa (Uniwersytet Warszawski), O radykale Jacobsona pierścieni i modułów (c.d.)
Abstrakt: Nadal będę rozpatrywał pierścienie łączne z jedynką i moduły nad nimi. Przypomnę wybrane własności radykału Jacobsona. Tym razem więcej uwagi poświęcę warunkowi maksymalności dla podmodułów i dla ideałów w pierścieniach przemiennych. Między innymi, zajmę się związkiem radykału Jacobsona przemiennych algebr skończenie generowanych ze zbiorami zer wielomianów.
22. 03, M. Stronkowski, The kite tale
15. 03, K. Matczak, Quasirozmaitości przemiennych modów binarnych
Abstrakt: We wcześniejszych referatach opisywałam częściowe wyniki dotyczące kraty podquasirozmaitości rozmaitości CBM-grupoidów (przemiennych, entropicznych i idempotentnych grupoidów), które uzyskałam wspólnie z A. Romanowską. W tym referacie opiszę całą kratę podquasirozmaitości . Jest to krata rozdzielna, a do jej konstrukcji wykorzystam pewną kratę opisaną przez D. W. Belkina.
08. 03, A. Pilitowska, Quandle abelowe
Abstrakt: Powiemy, że algebra A jest abelowa, jeśli jest diagonalnie normalna tzn. przekątna jest klasą kongruencji produktu AxA, lub równoważnie, A spełnia pewne quasirówności zwane warunkiem termowym. W czasie referatu przedstawię reprezentację abelowych quandli medialnych (lewych quasigrup entropicznych) jako sumę tzw. sieci afinicznych. Następnie pokażę, że wszystkie quandle abelowe są quasi-afiniczne tzn. są podreduktami modułów. Otrzymany rezultat jest kolejnym przykładem potwierdzającym hipotezę, że wszystkie abelowe algebry modowe zanurzają się w moduły. Referat będzie oparty na wspólnych wynikach uzyskanych przez. P. Jedlickę, A.Pilitowską, D. Stanovsky'ego i A. Zamojską-Dzienio.
01. 03. 1) Sprawy organizacyjne 2) A. Romanowska, Jedno-wymiarowe diadyczne zbiory wypukłe
Abstrakt: Przedstawię pewną charakteryzację jedno-wymiarowych skończenie generowanych diadycznych zbiorów wypukłych rozważanych jako grupoidy modowe. Opiszę równoważność dualną między klasą takich zbiorów i klasą pewnych podzbiorów kwadratu jednostkowego przedziału diadycznego. (Będzie to przypomnienie, uporządkowanie i rozszerzenie wyników przedstawionych w poprzednim referacie A. Mućki i K. Matczak.)
SEMESTR ZIMOWY 2015/2016
19. 01. 16, J. Krempa (Uniwersytet Warszawski), O radykale Jacobsona pierścieni i modułów (c.d.)
Abstrakt: Nadal będę rozpatrywał moduły nad pierścieniami łącznymi, często z jedynką. W pierwszej części referatu omówiłem własności modułów półprostych. Obecnie zajmę się modułami jednorodnymi oraz radykałem Jacobsona pierścieni i modułów. Omówię przydatność tego radykału w połączeniu z warunkami minimalności i maksymalności dla podmodułów. Jeśli zdążę, to przejdę do związków radykału Jacobsona ze zbiorami zer wielomianów skończonej liczby przemiennych zmiennych i do zbiorów algebraicznych w przestrzeniach liniowych nad ciałami.
12. 01. 16, M. Bujok, Wstęp do kwantowej transformaty Fouriera i jej zastosowań
Abstrakt: Podczas seminarium przestawię algorytm kwantowej transformaty Fouriera, który stanowi podstawę rozwiązywania wielu problemów przy pomocy obliczeń kwantowych. Najbardziej znany z nich to kwantowy algorytm faktoryzacji Shora.
08. 12, G. Bińczak, O pewnej klasie algebr efektów wyznaczonych przez całkowicie symetryczne quasigrupy
Abstrakt: W referacie opowiem o własnościach algebr efektów związanych z całkowicie symetrycznymi quasigrupami. W szczególności pokażę, że każda taka algebra posiada dokładnie jeden ,,state''.
01. 12, G. Dymek (Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Pawła II), O pewnych klasach pseudo-BCI-algebr
Abstrakt: Pseudo-BCI-algebry należą do szerokiej klasy algebr związanych z logiką; są one uogólnieniem zarówno BCI-algebr jak i pseudo-BCK-algebr. W referacie opowiem o czterech klasach pseudo-BCI-algebr: p-półprostych, gałęziowo komutatywnych, periodycznych i normalnych. Przedstawię wyniki uzyskane od 2011 roku.
24. 11, M. Bujok, Aspekty obliczeniowe zjawisk fizycznych
Abstrakt: Związek pomiędzy obliczeniami a fizyką znany jest od dawna. Także wykorzystanie własności obliczeniowych układów fizycznych stanowi ważny rozdział w historii nauki i techniki. Idea ta odżyła na nowo za sprawą idei komputerów kwantowych, a także prób zastosowania narzędzi informatyki teoretycznej do opisu zjawisk z domeny fizyki. W prezentacji postaram się przedstawić krótką perspektywę historyczną omawianych zagadnień. Następnie podam kilka przykładów zarówno na traktowanie wspomnianych już układów fizycznych jako urządzeń liczących, jak i zastosowania teorii złożoności do opisu zjawisk w różnej skali. Na koniec opierając się aparacie algebry linowej przedstawię idee algorytmu kwantowego na przykładzie algorytmu faktoryzacji Shora.
17. 11, P. Jedlicka (Czech University of Life Science, Prague), Free entropic quandles
Abstract: A groupoid (Q,*) is called an entropic quandle if it satisfies the following identities: x * x = x and (x * u) * (y * z) = (x * y) * (u * z), and moreover for all y, z in Q, there exists a unique x in Q such that y * x = z. We construct free n-generated entropic quandles using free Z[x, x-1]-modules of rank n-1. We call a quandle m-symmetric, if it satisfies the identity (x * (x *...(x * y)...) = y, where m is repeated m times. We construct free n-generated m-symmetric entropic quandles using free Z[x]/(t)-modules of rank n-1, where t = (x^m-1)/(x-1). (Coauthors: Agata Pilitowska, David Stanovsky, Anna Zamojska-Dzienio)
10. 11, T. Brengos, Lax funktory, koalgebry z niemymi krokami i słaba bisymulacja
Abstrakt: W referacie przedstawię pojęcie lax funktora i wprowadzę dla niego definicję słabej bisymulacji. Pokażę również, w jaki sposób lax funktory uogólniają koalgebry z niemymi krokami i przedstawię dwa najważniejsze ich przykłady: jednorodne łańcuchy Markowa z czasem ciągłym i automaty z czasem ciągłym.
03. 11, J. Krempa (Uniwersytet Warszawski), O radykale Jacobsona pierscieni i modulow
Abstrakt: Pierwszym celem referatu będzie uzasadnienie potrzeby wprowadzenia radykału, znanego powszechnie jako radykał Jacobsona. Zacznę więc od przypomnienia pewnych faktów o strukturach algebraicznych, o algebrach skończenie wymiarowych nad ciałami i o zbiorach wspólnych zer rodzin wielomianów skończonej liczby zmiennych. Po ustaleniu terminologii związanej z radykałem będę bardziej szczegółowo mówił o modulach i pierścieniach półprostych zdefiniowanych przy pomocy radykału Jacobsona.
20. 10, M. Ziembowski, On some classes of modules and decomposition of modules into direct sums
Abstract: During my talk I will clarify some interesting results in the literature by investigating, and ultimately characterizing, the relationships between the finite (internal) exchange property, the (C3) property, and generalizations of square-free modules. Moreover, if time permits, I will provide some examples delimiting these connections.
20. 10, K. Matczak, A. Mućka, Przedziały rzeczywiste i diadyczne jako algebry, i dualność dla nich
Abstrakt: Przedziały rzeczywiste mają strukturę algebr barycentrycznych. (Są reduktami jednowymiarowej rzeczywistej przestrzeni afinicznej R.) W podpierścieniu D pierścienia R, (wymiernych) liczb diadycznych, ich odpowiednikami są przedziały diadyczne. Strukturę barycentryczną takich przedziałów można sprowadzić do równoważnej struktury grupoidu. (Operacja grupoidowa jest operacją średniej arytmetycznej). Domknięte i ograniczone przedziały nazywamy odcinkami. Podczas, gdy każde dwa odcinki rzeczywiste są (jako algebry) izomorficzne, istnieje nieskończenie wiele parami nieizomorficznych odcinków diadycznych. W referacie przypomnimy podstawowe fakty dotyczące odcinków diadycznych oraz podstawowe fakty dotyczące dualności (równoważności dualnej) między klasą algebr i klasą przestrzeni reprezentacji. Omówimy dualność daną przez tzw. obiekt schizofreniczny. Następnie przejdziemy do glównego tematu, którym będzie opisanie dualności między klasą odcinków diadycznych i klasą pewnych podgrupoidów drugiej potęgi jednostkowego odcinka diadycznego. Obiektem schizofrenicznm jest tu diadyczny odcinek jednostkowy. Wynik ten należy do pierwszego etapu szerszego programu badań nad dualnością dla skończenie generowanych diadycznych zbiorów wypuklych.
13. 10, A. Zamojska-Dzienio, O złożoności krat podklas II
Abstrakt: Wiadomo, że kraty podquasirozmaitości mogą być bardzo skomplikowane. Dobrze odzwierciedla ten fakt własność Q-uniwersalności wprowadzona przez M.Sapira w 1985 r. W 2012 r. A.Nurakunov pokazał, że nie istnieje algorytm pozwalający zdecydować, czy dana skończona krata zanurza się w kratę podquasirozmaitości (dla algebr unarnych). To także pokazuje, że takie kraty mogą być bardzo złożone. Razem z M.Semenovą badamy związki między obiema własnościami. W referacie przedstawię nasze rezultaty uzyskane od 2012 r.
06. 10, 1. Sprawy organizacyjne 2. B. Madill (University of Waterloo, Kanada), On rings graded by semigroups with a unique product property
Abstract: In this talk we discuss rings graded by semigroups with certain unique product properties. We focus our attention on the homogeneity of some important radicals of these rings. Namely, given a t.u.p.-semigroup (two unique product semigroup) X, we show that if R is an X-graded ring, then both its upper nilradical and Jacobson radical are homogeneous. This partially answers questions of Smoktunowicz and Jespers.