2018/2019
SEMESTR LETNI 2018/2019
11.06, J.D.H. Smith (Iowa State University, Ames, Iowa, USA), Homotopy, semisymmetry, and Mendelsohn triple systems
Abstract: Semisymmetric quasigroups are characterized by the equality of their right division with the opposite of multiplication. As such, semisymmetric quasigroups form one of the six varieties of quasigroups defined by invariance under the action of triality symmetry on quasigroup operations. Idempotent semisymmetric quasigroups are known as Mendelsohn quasigroups, since they are coexistent with Mendelsohn triple systems (directed Steiner triple systems).
Semisymmetric quasigroups are important in reducing homotopies to homomorphisms. Specifically, a homotopy between two quasigroups functorially induces a homomorphism between certain semisymmetric quasigroups, the respective semisymmetrizations of the domain and codomain of the homotopy. The semisymmetrization of a quasigroup is built on the cube of the underlying set of the quasigroup.
Recently, Krapež and Petrić introduced a new semisymmetrization built on the square of the underlying set of the quasigroup, which they regarded as being more "economical". In fact, their semisymmetrizations are actually idempotent, and thus form Mendelsohn quasigroups.
We will discuss these constructions, and some of their applications, in particular to the description of the web geometry coordinatized by a quasigroup.
04.06, T. Penza, Sumy półkratowe algebr należących do rozmaitości ściśle nieregularnej
Abstrakt: Moja prezentacja będzie kontynuacją prezentacji prof. Romanowskiej o sumach półkratowych. Omówię następujące uogólnienie wcześniejszego twierdzenia: Klasa sum półkratowych algebr należących do danej rozmaitości ściśle nieregularnej tworzy rozmaitość. Przedstawię kontekst oraz szkic dowodu.
28.05, W. Kubiś (Czech Academy of Sciences, UKSW), Generic structures
Abstract: A mathematical structure M could be called generic if it appears "most often" in the class of structures of the same type. The formal definition usually uses topology or measure theory, where "appearing most often" means that the isomorphic type of M is a residual set (its complement is meager or of measure zero). We propose studying generic structures through a very simple and natural infinite game, an abstract version of the Banach-Mazur game. We shall present a characterization of the existence of a winning strategy in this game, its relations with homogeneity and universality, and some relevant examples.
The material comes mainly from a joint work with A. Krawczyk (https://arxiv.org/abs/1701.05756).
21.05, A. Szczepański (Uniwersytet Gdański), Rozmaitości i grupy Hantzsche-Wendta
Abstrakt: Dyskretną i kozwartą podgrupę G, grupy izometrii przestrzeni Euklidesowej O(n) ltimes R^n nazywamy grupą krystalograficzną wymiaru n. Jeżeli G jest beztorsyjna to jest nazywana grupą Bieberbacha. W tym przypadku przestrzeń ilorazowa R^n/G jest zwartą rozmaitością Riemanna o krzywiźnie (sekcyjnej) zero. W 1912 roku Bieberbach udowodnił następujące twierdzenie: grupa G zawiera maksymalną, normalną, podgrupę abelową izomorficzną z Z^n (wolną grupą abelową rangi n) o skończonym indeksie. Grupę G/Z^n nazywamy grupą holonomii grupy G.
Grupą/rozmaitością HW (Hantzsche-Wendta) nazywamy grupę Bieberbacha rangi n o grupie holonomii (Z_2)^{n-1}. Wykład będzie o własnościach grup HW.
07.05, (WYJĄTKOWO godz. 9.30, sala 102), J. Hora (Czech University of Life Science, Prague), Trilinear alternating forms
Abstract: Trilinear alternating forms appear as an important invariant of doubly-even binary codes. In our talk we recall this connection and show current state of classification of such forms over the two element field. Invariants of forms used for the results will be explained.
06.05, (WYJĄTKOWO W PONIEDZIAŁEK, godz. 10.30, sala 212), T. Bice (UKSW), Generalised Stone Dualities
Abstract: Point-free topology traces its origins to Stone's classic duality between Boolean algebras and compact Hausdorff 0-dimensional spaces in the late 30's. From the 60's-70's, the focus shifted from lattices representing a mere basis of the space to frames, representing the entire open set lattice. In this talk we discuss new ways of using bases and even subbases to more faithfully extend Stone's original duality to general locally compact sober and T_1 spaces, following in the footsteps of other classic work by Wallman, Shirota and De Vries.
09.04, A. Komorowski, Dalsze uogólnienia algebr barycentrycznych
Abstrakt: Celem referatu jest przypomnienie definicji barycentrycznych algebr t-progowych oraz wprowadzenie rozmaitości t-progowych przestrzeni afinicznych dla różnych t. Rodzina rozmaitości t-progowych przestrzeni afinicznych łączy rozmaitości modów przemiennych, algebr barycentrycznych i przestrzeni afinicznych. Podobną funkcję pełnią rozmaitości algebr q-barycentrycznych, które także zostaną wprowadzone podczas referatu.
02.04, M. Bujok, Zagadnienia interpretacji fizycznej hierarchicznej mechaniki statystycznej
Abstrakt: Podczas swojego wystąpienia przedstawię kwestie interpretacji fizycznej mechaniki statystycznej w języku algebr barycentrycznych, co jest podstawą sformułowania hierarchicznego rozszerzenia tej teorii. Wychodząc od postulatów przedstawię klasyczną mechanikę statystyczną jako teorię, którą można wyprowadzić w sposób ścisły. Następnie poprzez analogię postaram się pokazać podobieństwa z hierarchiczną wersją tej teorii.
19.03, M. Stronkowski, Rozstrzygalność proskończoności
Abstrakt: Niech dana będzie skończona algebra A w skończonym języku i niech V będzie rozmaitością generowaną przez A. Czy prawdą jest, że każda algebra topologiczna, której topologia jest zwarta, 0-wymiarowa i spełnia warunek Hausdorffa oraz której algebraiczny redukt znajduje się w V jest proskończona? Tak jest dla grup czy pierścieni, ale są znane przykłady, dla których odpowiedź jest negatywna. Wraz z Anvarem Nurakunovem, pokazaliśmy, że nie istnieje algorytm odpowiadający na to oraz na pokrewne pytania. W szczególności rozwiązaliśmy problem postawiony przez Clarka, Davey'ego, Freese'a i Jacksona w 2004 roku.
05.03, T. Brengos, kontynuacja
26.02, T. Brengos, Teorie Lawvere’a: podstawy, języki
Abstrakt: Celem referatu jest omówienie pojęcia teorii Lawvere’a oraz podstawowych jego własności. W pierwszej części referatu nakreślone zostaną związki teorii Lawvere’a z monadami. Druga cześć skupi się na językach regularnych i rozpoznawalnych omówionych w kontekście wyżej wspomnianych teorii.
SEMESTR ZIMOWY 2018/2019
15.01, D. Wedmann, Problem MQ i jego zastosowanie w kryptografii
Abstrakt: Problem MQ (Multivariate Quadratic) polega na rozwiązaniu układu równań składającego się z wielomianów stopnia drugiego wielu zmiennych. Problem ten jest problemem NP-trudnym. W trakcie referatu przedstawię sposób w jaki można uzyskać jednokierunkową funkcję zapadkową opartą na problemie MQ, tj. konstrukcję dwubiegunową oraz lifting idea. Opiszę schematy kryptograficzne z grupy small-field oraz big-field.
08.01, J.D.H. Smith (Iowa State University, Ames, Iowa, USA), Augmented quasigroups
Abstract: We will introduce new structures known as augmented quasigroups, which may be defined in any compact closed category. In the category of finitely generated free commutative monoids, augmented quasigroups provide an alternative to the so-called simplex zeroids of A.J.W. Hilton and J. Wojciechowski in the algebraization of the combinatorial structures known as weighted quasigroups. In the category of relations on sets, augmented quasigroups provide a unified treatment of both element-valued and set-valued structures. In particular, both quasigroups and Heyting algebras form such augmented quasigroups. Hitherto, the only known common feature of quasigroups and Heyting algebras was that both form Mal'tsev algebras.
11.12, M. Mączyński, Struktura nierówności Bella
Abstrakt: Nierównością Bella dla n zdarzeń nazywamy nierówność postaci 0 ≤ L ≤ 1, gdzie L jest kombinacja liniową z współczynnikami całkowitymi prawdopodobieństw tych zdarzeń i ich korelacji, zachodzącą w klasycznej teorii prawdopodobieństwa. Przykładem nierówności Bella dla n = 2 jest nierówność 0 ≤ p(A) + p(B) – p(A∩B) ≤ 1, dla n = 3 nierówność 0 ≤ p(A) - p(A∩B) – p(A∩C) + p(B∩C) ≤ 1. Nierówności te zostały wprowadzone w roku 1964 przez J.S. Bella dla testowania, czy układ prawdopodobieństw otrzymanych w pomiarach podlega prawom mechaniki klasycznej czy kwantowej. Jeżeli jakaś nierówność Bella nie zachodzi, układ nie jest klasyczny. Dla n zdarzeń liczba możliwych nierówności Bella rośnie podwójnie eksponencjalnie i wynosi 2^m – 1, gdzie m = 2^n – 1. W prezentowanej pracy zbadano strukturę nierówności Bella dla dowolnego n naturalnego, podano metodę ich generowania i weryfikacji. Dla każdego n znaleziono uniwersalną nierówność Bella która implikuje wszystkie nierówności Bella dla tego n.
4.12, T. Penza, Podkongruencje i uogólnienia twierdzeń o izomorfizmie
Abstrakt: Przedstawię pojęcie podkongruencji oraz pokażę w jaki sposób podkongruencje pozwalają uogólnić klasyczne twierdzenia o izomorfizmie.
27.11, P. Jedlička (Czech University of Life Science, Prague), Garside elements of the structure monoid of an involutive multipermutation solution
Abstract: The structure group of a set-theoretic solution of a Yang-Baxter equation is an example of a Garside group. In our talk we recall the definition and basic properties of Garside groups and we show applications of this theory in the theory of solutions of Yang-Baxter equation.
20.11, M. Uliński, Prawie strukturalna zupełność w tabularnych logikach modalnych
Abstrakt: W ramach referatu przypomnę problem sprawdzania strukturalnej SC oraz prawie strukturalnej ASC zupełności w logikach modalnych. Przedstawię najważniejsze algorytmy działające w semantyce relacyjnej oraz ich optymalizacje. Na koniec przedstawię uzyskane wyniki ilościowe w tabularnych (danych przez skończone framy Kripkego) logikach modalnych do rozmiaru 6 włącznie, oraz dla logik S4 do rozmiaru 8 włącznie (częściowe wyniki). Łącznie sprawdzonych logik było prawie 100 milionów.
13. 11, A. Romanowska, Sumy półkratowe algebr
Abstrakt: Algebra A jest sumą półkratową algebr należących do (ściśle) nieregularnej rozmaitości V, jeśli A ma kongruencję r taką, że iloraz A/r należy do rozmaitosci S równoważnej rozmaitości półkrat, a klasy abstrakcji a/r należą do rozmaitości V. Klasa wszystkich półkratowych sum algebr z rozmaitości V tworzy tzw. produkt Mal'tseva V o S, i jest quasi-rozmaitością. Wynik uzyskany ostatnio wspólnie z C. Bergmanem pokazuje, że (przy bardzo ogólnych założeniach) quasi-rozmaitość V o S jest rozmaitością. Omówię dowód tego twierdzenia i pewne jego konsekwencje.
6. 11, D. Wedmann, Bazy Groebnera
Abstrakt: W trakcie referatu przedstawione zostaną podstawowe fakty dotyczące baz Groebnera, takie jak porządki dopuszczalne na jednomianach, algorytm Buchbergera i jego możliwe optymalizacje oraz przykłady zastosowań (w tym rozwiązywanie układów równań).
30. 10, T. Brengos, kontynuacja
23. 10, T. Brengos, Omówienie pracy B. Jacobsa „Convexity, Duality and Effects”
Abstrakt: Podczas referatu omówione zostaną podstawowe rezultaty otrzymane w pracy B. Jacobsa o wyżej wspomnianym tytule.
16. 10, A. Zamojska-Dzienio, Relacja retrakcji dla biracków
Abstrakt: Podczas referatu omówię wyniki uzyskane wspólnie z P. Jedlicką i A. Pilitowską. W 1999 Etingof, Schedler i Soloviev wprowadzili relację retrakcji dla inwolutywnych niezdegenerowanych rozwiązań teorio-mnogościowego równania Yanga-Baxtera. Relacja ta pozwoliła na konstrukcję nowych klas rozwiązań inwolutywnych. Wiadomo, że istnieje wzajemna odpowiedniość między niezdegenerowanymi rozwiązaniami i birackami. Zdefiniowaliśmy uogólnioną relację retrakcji dla dowolnych biracków i pokazaliśmy, że jest to relacja kongruencji dla tych algebr. Dzięki temu można otrzymać klasy rozwiązań nieinwolutywnych. W przypadku inwolutywnym uzyskujemy nowe dowody wcześniejszych rezultatów.
09. 10, zebranie organizacyjne