2020/2021
SEMESTR LETNI 2020/2021 platforma ZOOM, wtorki 12.15-13.30
15.06, A. Romanowska, Produkty Malceva rozmaitości (nowe wyniki)
Abstrakt: Produkt Malceva V o W dwóch rozmaitości V i W tego samego typu składa się z algebr A mających taką kongruencje r, że iloraz A/r należy do W, a każda klasa kongruencji r, która jest podalgebrą A, należy do V. Taki produkt na ogół jest quasirozmaitością , ale nie musi być rozmaitością. Przypomnę potrzebne definicje i fakty, a następnie przedstawię nowe warunki wystarczające na to, żeby produkt V o W był rozmaitością, i omówię kilka przykładów, gdy VoW rozmaitością nie jest.
01.06, A.V. Kravchenko (Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia), On the lattices of relative subvarieties and congruences
Abstract: In the first talk, the notion of a B-class was discussed. Existence of a B-class in a quasivariety was shown to be sufficient for a high degree of complexity (in several senses) of the lattice of subquasivarieties. In the second talk, quite surprising consequences of existence of B-classes will be presented. They concern representations of finite lattices and their ordinal sums and complexity results for the lattices of relative subvarieties and congruences. A series of applications will be also discussed (including the case of differential groupoids).
25.05, P. Jedlička (Czech University of Life Science, Prague), Homomorphic images of affine quandles
Abstract: We are interested in abstract conditions characterizing quandles that are homomorphic images of affine quandles. We are inspired by analogous results about subquandles of affine quandles: we characterize the quandles in terms of their displacement group and in terms of their affine meshes.
18.05, A.V. Kravchenko (Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia), On the structure of Q-lattices: general results and applications
Abstract: For some classical (quasi)varieties, the lattices of their subquasivarieties (Q-lattices) turned out to be "complicated" because it was difficult to find their explicit descriptions. During the half-century of studying such questions, several measures of complexity were suggested and, for a number of interesting cases, the corresponding Q-lattices were proven to be "highly complicated", i.e., to be of maximal possible cardinality, to satisfy no nontrivial lattice identity, to be universal in some sense.
In the talk, other measures of complexity will be discussed; namely, existence of large collections of subquasivarieties with "bad" properties (without convenient axiomatisation, with undecidable natural algorithmic problems, etc.). A variety of general results is based on the common basic notion of a B-class, which allows us to use similar methods in their proofs. Applications to well-studied classes of structures (for example, differential groupoids) will be presented and discussed.
11.05, S. Przybyło (Uniwersytet Pedagogiczny w Krakowie), Algebry wolne w pewnych rozmaitościach fregowskich
Abstrakt: Rozmaitość V algebr z wyróżnioną stałą 1 nazywamy fregowską, gdy każda algebra A w V jest kongruencyjnie porządkowalna oraz 1-regularna. W referacie omówię konstrukcję algebr wolnych w kilku rozmaitościach fregowskich, które są generowane przez trzyelementowe łańcuchy. W dwóch przypadkach będą to rozmaitości kongruencyjnie permutowalne, co w przypadku rozmaitości fregowskich sprowadza się do posiadania termu odpowiadającego działaniu równoważności. W trzecim zaś przykładzie badana rozmaitość będzie kongruencyjnie dystrybutywna. W każdym przypadku przedstawię twierdzenia o reprezentacji dla skończonych algebr z omawianych rozmaitości, a także podam wzory na wolne spektra. Przedstawione wyniki pochodzą z mojej pracy doktorskiej.
27.04, T. Brzeziński (Swansea University), Rozszerzenia pierścieni i wiązary
20.04, S. Solovjovs (Czech University of Life Science, Prague), Sierpinski object for affine topology
Abstract: The notion of Sierpinski space S plays a significant role in general topology. For example, a topological space is T0 if and only if it can be embedded into some power of S. Moreover, there exists an analogue of the Sierpinski space for concrete categories under the name of Sierpinski object introduced by E. G. Manes. Restated in the modern language of category theory, an object S of a concrete category C is said to be a Sierpinski object provided that for every C-object A, the hom-set C(A, S) is an initial source. In this talk, we will describe Sierpinski object in the categories of affine topological spaces and systems (making the setting of the so-called affine topology), which are based in the notion of affine set of Y. Diers. Affine topology provides a convenient framework for incorporating different approaches to lattice-valued topology.
13.04, A. Bier (Politechnika Śląska, Gliwice), Grupy ze słabym zbiorem Sierpińskiego
Abstrakt: Podzbiór E grupy G nazywamy słabym zbiorem Sierpińskiego, jeśli istnieją elementy g, h w grupie G oraz różne elementy a i b w zbiorze E takie, że gE=E-{a} i hE=E-{b}. Podczas referatu będziemy rozważać własności podgrupy H generowanej przez elementy g i h w grupie G ze słabym zbiorem Sierpińskiego. Pokażemy, że w opisanym przypadku podgrupa H jest albo grupą wolną (z wolnymi generatorami g i h), albo ma szczególną prezentację z pojedynczą relacją. Dodatkowo w drugim przypadku scharakteryzujemy wszystkie słabe podzbiory Sierpińskiego w podgrupie H. Przedstawione wyniki pochodzą z pracy wspólnej z Yves Cornulier i Piotrem Słanina.
30.03, M. Piecyk, Problem (listowego) homomorfizmu dla grafów o ograniczonej szerokości cięciowej
Abstrakt: Homomorfizmem z grafu G w graf H nazywamy funkcję f: V(G) -> V(H), która zachowuje krawędzie. W problemie listowego homomorfizmu dodatkowo zakładamy, że każdy wierzchołek v grafu G ma przypisaną listę L(v) wierzchołków grafu H i pytamy, czy istnieje homomorfizm z G w H, który przestrzega list, tj. f(v) należy do L(v) dla każdego wierzchołka v. W trakcie referatu opowiem o złożoności obliczeniowej problemu (listowego) homomorfizmu w zależności od różnych parametrów grafu G, w szczególności skupię się na parametrze nazywanym szerokością cięciową G. Są to wyniki uzyskane wspólnie z Pawłem Rzążewskim.
23.03, M. Petrík (Czech University of Life Science, Prague), One-element Rees co-extensions of finite, negative, totally ordered monoids
Abstract: Our motivation to study the finite, negative, totally ordered monoids (shortly: f. n. tomonoids) comes from the area of non-classical logics. In such logics, the set of truth values is often represented by a lattice endowed with a binary operation which represents the conjunction and which makes this set into a lattice-ordered monoid. The algebraic semantics of the fuzzy logic MTL, introduced by Esteva and Godo in 2001, is the variety of MTL-algebras which are commutative residuated lattices where the top element, often denoted by the symbol 1, corresponds with the monoidal identity. Note that every MTL algebra is a subdirect product of totally ordered MTL algebras (MTL chains). This gives the motivation to study negative tomonoids which are, actually, monoidal reducts of MTL chains and we focus on finite structures which may be used, for instance, in a computer implementation of finitely-valued fuzzy logics. We present a method to describe all the one-element Rees co-extensions of a given f. n. tomonoid S, that is, all the f. n. tomonoids that are greater by one element such that S is their common Rees quotient. This way, starting from the trivial monoid, one can generate all the possible f. n. tomonoids up to a given finite size.
16.03, A. Pilitowska, Półkratowo uporządkowane algebry ze stałymi
Abstrakt: Algebrę (A,F,+) nazywamy półkratowo uporządkowaną, jeśli (A,F) jest algebrą ustalonego typu, (A,+) jest półkratą oraz operacje ze zbioru F są rozdzielne względem operacji +. Ważnymi przykładami algebr uporządkowanych półkratowo są nie tylko algebry Boole'a, algebry Heytinga, kratowo uporządkowane grupy czy MV-algebry, ale również quantale i addytywnie idempotentne półpierścienie. Podstawową rolę w teorii odgrywają tzw. rozszerzone algebry potęgowe oraz rozszerzone algebry podalgebr. Podczas referatu opowiem o algebrach wolnych w rozmaitości uporządkowanych algebr ze stałymi. Referat będzie w oparciu o wspólne wyniki uzyskane z A. Zamojską-Dzienio.
09.03 (ZMIANA: o 18.00!), J. Harding (New Mexico State University, Las Cruces, USA), Canonical completions, an overview
Abstract: Canonical completions provide a method to complete a lattice, or lattice with additional operations. Their study originated with work of Jonsson and Tarski on relation algebras, and received further impetus from issues with Kripke semantics. This talk, which assumes no prior knowledge of the topic, presents the basics of canonical extensions, their connection to Kripke semantics, their place in the menagerie of completions, and several abstract characterizations.
02.03, G. Bajor, A. Cichocka, Algebry ścieżek Leavitta. Maksymalne podalgebry przemienne
Abstrakt: Algebry ścieżek Leavitta po raz pierwszy zdefiniowane zostały w latach 2005-2007. Z uwagi na elastyczność konstrukcji, są źródłem różnorakich przykładów algebr o ustalonych własnościach. Szczególną realizacją algebr ścieżek Leavitta są algebry macierzy $M_n(K)$. W trakcie referatu przedstawione zostaną algebry Leavitta oraz ich własności. Następnie przedstawimy konstrukcję pewnej jej maksymalnej podalgebry przemiennej, inspirowanej pewną znaną maksymalną podalgebrą przemienną algebry macierzy.
SEMESTR ZIMOWY 2020/2021 platforma ZOOM, wtorki 12.15-13.30
26.01, M. Malicki (Instytut Matematyczny PAN), Orbitalne relacje równoważności indukowane przez grupy polskie
Abstrakt: Od niemal trzydziestu lat otwarte pozostaje pytanie, czy dla każdej grupy polskiej, która nie jest lokalnie zwarta istnieje działanie ciągłe indukujące orbitalną relację równoważności, która nie jest borelowsko redukowalna do relacji o klasach przeliczalnych. W trakcie referatu przedstawię krótkie wprowadzenie do teorii borelowskiej redukowalności, pozwalającej porównywać stopień skomplikowania różnych pojęć izomorfizmu. W szczególności zdefiniuję quasi-porządek borelowskiej redukowalności relacji równoważności, omówię pewne występujące w nim dychotomie, oraz wyjaśnię, dlaczego relacje o klasach przeliczalnych pełnią w tym kontekście istotną rolę. Następnie udzielę częściowej odpowiedzi na sformułowane na początku pytanie: jest ona pozytywna m.in. dla grup automorfizmów modeli przeliczalnych. Dowód opiera się na dwuosobowych grach o pełnej informacji.
19.01, A. Horubała (Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW), Obliczenia kwantowe, albo wtóre słowo o algorytmie Shora
Abstrakt: Realna możliwość konstrukcji komputera kwantowego sprawia, że kwantowy model obliczeń cieszy się zainteresowaniem coraz szerszego grona badaczy. Podczas prezentacji przedstawię korzyści płynące z zastosowania kwantowego modelu obliczeń. Opowiem o jego szczególnych własnościach odróżniających go od modelu klasycznego oraz zaprezentuję algorytmy, które te własności wykorzystują. W szczególności przedstawię algorytm Shora rozwiązujący problem faktoryzacji, który w klasycznym modelu jest obliczeniowo trudny.
12.01, R. Lutowski (Uniwersytet Gdański), Grupy strukturalne multipermutacyjnych rozwiązań równania Yanga Baxtera
Abstrakt: Grupa strukturalna dowolnego niezdegenerowanego i inwolutywnego rozwiązania równania Yanga Baxtera jest grupą Bieberbacha. Omówimy własności tej grupy w przypadku, gdy rozwiązanie jest multipermutacyjne. Zbadamy własność jednoznacznego produktu tejże grupy, a w szczególności przedstawimy algorytm na znajdowanie podgrupy Promyslowa w każdej grupie Bieberbacha. Przedstawiane wyniki są uzyskane wspólnie z Leandro Vendraminem oraz Emiliano Acri.
15.12 (ZMIANA: o 15.00!), J.D.H. Smith (Iowa State University, Ames, Iowa, USA), Cayley representations for Loday dialgebras
Abstract: Loday dialgebras split a semigroup multiplication into two directional parts, namely left and right multiplications. Each of these is associative, and the two commute mutually in the form of an internal associativity. Furthermore, only the last multiplication in a repeated product is critical, so earlier multiplications may be interchanged between left and right.
A.V. Zhuchok recently gave a rather complicated Cayley representation for dialgebras, while M.K. Kinyon and others have exhibited Cayley representations for digroups, dialgebras with an inversion, that do not connect with the dialgebra Cayley representations. In this talk, we will present a straightforward, unified approach to Cayley representations of these objects, including a discussion of how they act on sets with unary operations.
08.12, A. Komorowski, Dalsze uogólnienia zbiorów wypukłych
Abstrakt: Podczas prezentacji zostaną omówione pewne uogólnienia zbiorów wypukłych. W pierwszej części opisane zostaną podredukty rzeczywistych przestrzeni afinicznych ze względu na zbiór operacji indeksowany odcinkiem w R. W drugiej części prezentacji zostaną przedstawione algebry barycentryczne nad interwałami algebraicznymi w pierścieniach przemiennych z jedynką.
01.12, K. Okrasa, Produkty struktur relacyjnych a problem homomorfizmu grafów
Abstrakt: Podczas referatu opowiem o problemie homomorfizmu grafów z punktu
widzenia złożoności obliczeniowej. Homomorfizmy grafów są pewnym
uogólnieniem problemu kolorowania grafów. Pokażę w jaki sposób można
zredukować problem homomorfizmu do problemu kolorowania, uzyskując przy
okazji szereg interesujących (zwłaszcza z punktu widzenia teorii
złożoności) wniosków. Dowód opiera się na czysto algebraicznych
własnościach grafów (a w szczególności ich produktów), jako szczególnego
przypadku struktur relacyjnych. Wynik został uzyskany wspólnie z Pawłem
Rzążewskim.
24.11, A. Zamojska-Dzienio, Nierozkładalne inwolutywne rozwiązania YBE multipermutacyjne poziomu 2 o abelowej grupie permutacji
Abstrakt: Rozwiązania nierozkładalne pełnią rolę cegiełek w budowaniu innych rozwiązań YBE. Podczas referatu przedstawię konstrukcję skończonych rozwiązań z klasy wymienionej w tytule i opiszę pewne ich własności. Są to wyniki uzyskane wspólnie z P. Jedličką i A. Pilitowską.
17.11, T. Brengos, Izomorfizm Curry'ego-Howarda kontynuacja.
10.11, T. Brengos, Izomorfizm Curry'ego-Howarda
Abstrakt: W trakcie referatu opowiem o moście łączącym logikę i programowanie (funkcyjne), który wskazuje na jednoznaczną odpowiedniość między:
1. zdaniami logicznymi, a typami danych
2. dowodami, a programami
3. upraszczaniem dowodów, a obliczaniem programów.
03.11, T. Penza, Implikacje spełnione w produkcie Malceva dwóch prerozmaitości
Abstrakt: Produkt Malceva dwóch prerozmaitości (klas algebr domkniętych ze względu na podalgebry i produkty) również jest prerozmaitością. Każdą prerozmaitość można zdefiniować za pomocą klasy (niekoniecznie zbioru) implikacji, czyli tzw. bazy implikacyjnej. W trakcie referatu przedstawię konstrukcję bazy implikacyjnej produktu Malceva dwóch prerozmaitości w oparciu o implikacje spełnione w tych prerozmaitościach.
27.10, A. Komorowski, Kryptografia na kratach kontynuacja.
20.10, A. Komorowski, Kryptografia na kratach
Abstrakt: W ostatnich czasach coraz częściej mówi się, że komputer kwantowy nie jest tylko mrzonką, ale realnym zagrożeniem dla wielu kryptosystemów klucza publicznego. Podczas prezentacji zaprezentowane zostaną podstawowe informacje dotyczące kryptografii z użyciem krat. Zwrócona zostanie szczególna uwaga na problemy trudne obliczeniowo na kratach oraz przykłady kryptosystemów.
13.10, zebranie organizacyjne