2017/2018
SEMESTR LETNI 2017/2018
Abstract: Quandles are idempotent left-distributive left-quasigroups and they have been studied in connection to knot theory, since they provide powerful knot invariants (as colorings of knot diagrams and the knot quandles). Many quandle-theoretical properties are determined by group-theoretical properties of the so-called displacement group. In particular a connected quandle can be represented as a coset quandle over its displacement group. It turns out that the properties of the displacement group and its subgroups determine also the properties of congruences, as Abelianness and centrality (in the sense of Freese-McKenzie). In this talk we show that there is a Galois correspondence between the congruence lattice of a quandle and the lattice of certain subgroups of its displacement group, which can be exploited in order to get information on the structure of the group and so on the properties of the quandle.
12. 06, M. Łazarz (Uniwersytet Wrocławski), O podkratach nasyconych
Abstrakt: Kratę K nazywamy podkratą nasyconą (ang. covering sublattice) kraty L, o ile istnieje kratowy homomorfizm z K w L zachowujący relację bezpośredniego następstwa. W referacie skupiam się na problemie charakteryzacji pojęć teorio-kratowych w terminach zabronionych podkrat nasyconych. Omówię kilka znanych twierdzeń, a następnie przedstawię własne wyniki w tej dziedzinie, na koniec zaś wskażę interesujące mnie problemy otwarte.
05. 06, A. Komorowski, Algebry nad interwałami i progowe algebry afiniczne
Abstrakt: Interwałami algebraicznymi nazywamy podzbiory pierścieni zamknięte na operację mnożenia, dualnego mnożenia (a o b=a+b-ab) oraz uzupełnienie x' = 1-x. W pierwszej części referatu zdefiniuję algebry nad interwałami i pokażę ich podstawowe własności. W drugiej części referatu zaprezentuję wyniki dotyczące progowych przestrzeni afinicznych, które powstają poprzez zamianę części operacji przestrzeni afinicznych na operacje lewo-zerowe lub prawo-zerowe. Klasa takich algebr jest naturalnym rozszerzeniem klasy progowych algebr barycentrycznych. Na związkach między tymi dwiema klasami chciałbym się skupić podczas drugiej części mojej prezentacji.
29. 05, M. Czaplicka, Quandle typu cyklicznego
Abstrakt: Pewne rozwiązania równania Yanga-Baxtera mają interpretację w postaci algebr zwanych quandlami. W pierwszej części referatu przedstawię podstawowe własności tych algebr oraz kilka przykładów. W drugiej części omówię klasę tzw. quandli typu cyklicznego oraz opowiem o wzajemnej odpowiedniości między nimi a permutacjami spełniającymi pewne warunki.
22. 05, T. Brengos, (Ko) algebraiczna charakteryzacja języków regularnych
Abstrakt: Jezyki regularne znane z teorii automatów i obliczeń mają dwie pozornie różne charakteryzacje: koalgebraiczna (jako języki akceptowane przez skończone automaty niedeterministyczne ) i algebraiczna. Przedstawię je obie i pokażę jak język teorii kategorii pozwala nakreślić fundamentalne związki między nimi.
15. 05, J.D.H. Smith (Iowa State University, Ames, Iowa, USA) Concept quasilattices
Abstract: Wille's formal concept analysis, MacNeille completions, and Birkhoff's mathematical theory of polarities provide essentially equivalent tools for the analysis of a static system functioning at a single level. We now show how quasilattices allow these tools to be extended to cover the analysis of complex systems involving multiple hierarchical levels indexed by a semilattice, including the case where a chain represents a time series governing the evolution of a single system.
08. 05, G. Bińczak, Wypukłość, dualność i algebry efektów
Abstrakt: Opowiem o dualności między kategorią zbiorów wypukłych i kategorią algebr efektów.
24. 04, J. Okniński (Uniwersytet Warszawski), Struktura półgrup skończonych i półgrup macierzy
Abstrakt: W pierwszej części referatu przedstawimy klasyczne rezultaty dotyczące struktury półgrup skończonych. A następnie, przykłady zastosowań do badania reprezentacji liniowych półgrup i do badania algebr półgrupowych. W części drugiej omówimy rozszerzenie tych wyników na przypadek dowolnych podpółgrup multiplikatywnej półgrupy macierzy kwadratowych nad ciałem.
17. 04, M. Ziembowski, Annihilator condition does not pass to polynomials and power series
Abstract: In the talk, I will present a construction of a ring A which has annihilator condition (a.c.) and I will show that neither the polynomial ring over A nor the power series over A has this property. This answers in negative a question asked by Hong, Kim, Lee, and Nielsen. I will also show that there is an algebra A which does not have annihilator condition while both the polynomial ring over A and the power series ring over A have this property.
16. 04, (WYJĄTKOWO W PONIEDZIAŁEK, godz. 13.15, sala 211), T. Brzeziński (Swansea University), Wiązary. O ogólnych zasadach rozdzielności
Abstrakt: Analiza pojęcia klamry, a zwłaszcza porównanie praw rozdzielności dla dwóch (grupowych) działań klamry z prawami rozdzielności działań w pierścieniu sugeruje rozważenie uogólnionych praw rozdzielności. Jest pewnym zaskoczeniem, że — tak naprawdę — wszystkie “rozsądne” uogólnienia są sobie równoważne, a co więcej sprowadzają się do rozdzielności działania binarnego nad działaniem trzyargumentowym. Otrzymany w ten sposób obiekt algebraiczny nazywamy wiązarem. W ramach odczytu przedstawię niektóre podstawowe własności wiązarów oraz wykażę, że pojęcie klamry cechuje się pewną sztywnością: jedynym naturalnym sposobem związania dwóch działań grupowych są klamrowe reguły rozdzielności.
10. 04, Agata Smoktunowicz (Uniwersytet w Edynburgu), Alicja Smoktunowicz, Rozwiązania równania Yanga-Baxtera spełniające specjalne warunki
Abstrakt: W referacie rozpatrzymy rozwiązania równania Yanga-Baxtera (YBE) oraz klamerki (braces) spełniające specjalne warunki, takie jak :
- LRI, Raut, są to warunki dające tak zwane rozwiązania zbalansowane
- warunek 2-cykliczny, pozwalający na budowę nowych rozwiązań YBE oraz nowych R-macierzy
- Rozwiązania pochodzące od pierścieni nilpotentnych oraz radykalnych Jacobsona, na przykład przy użyciu rozkładu na ideały lewostronne lub przy użyciu wielomianów o współczynnikach z nil pierścieni.
27. 03, G. Bajor, Własność (A) w algebrach ścieżek Leavitta
Abstrakt: W trakcie referatu przedstawię podstawowe definicje z zakresu algebr ścieżek Leavitta. Następnie omówię uzyskane wyniki, mówiące o warunkach koniecznych i dostatecznych, jakie powinien spełniać graf, by algebra ścieżek Leavitta spełniała własność (A).
20. 03, M. Niebrzydowski (Uniwersytet Gdański), Homologie quasigrup ternarnych z zastosowaniami w topologii
Abstrakt: Zdefiniuję algebry ternarne spełniające dwa aksjomaty wynikające z trzeciego ruchu Reidemeistera używanego w teorii węzłów (lub alternatywnie ze schematu zderzania się cząsteczek). Następnie pokażę jak zbudować homologie dla tych algebr przy użyciu trzech modułów presymplicjalnych. Quasigrupy ternarne spełniające powyższe aksjomaty są szczególnie przydatne dla zastosowań, gdyż można wtedy zdefiniować dodatkowe podkompleksy i rozważać znormalizowane homologie. Dają one niezmienniki dla różnych kategorii węzłów oraz dla zawęźlonych powierzchni.
13. 03, M. Bujok, Entropia w fizyce a entropia w teorii informacji
Abstrakt: Wystąpienie poświęcone będzie pokazaniu związku pomiędzy pojęciem entropii w fizyce statystycznej oraz termodynamice a entropią informacyjną. Wychodząc od entropii w termodynamice fenomenologicznej poprzez definicje entropii Boltzmanna oraz Gibbsa po aksjomatyczną definicje informacji Ingardena, przedstawione zostanie ujęcie, dzięki któremu możliwe jest spojrzenie na entropię z szerszej perspektywy.
09. 03, (WYJĄTKOWO W PIĄTEK, godz. 13.00), P. Idziak (Uniwersytet Jagielloński), Wokół złożoności obliczeniowej spełnialności równań
Abstrakt: Wykład prezentuje ostatnie osiągnięcia w poszukiwaniu strukturalnych warunków algebraicznych jakie musi spełniać algebra A, by mieć wielomianowe algorytmy rozstrzygające, czy podane na wejściu równanie dwu wielomianów nad A ma rozwiązanie w A. W szczególności zaprezentowana zostanie dyskusja wokół następującego twierdzenia otrzymanego wspólnie z Jackiem Krzaczkowskim:
Twierdzenie. Niech A będzie skończoną algebrą (skończonego typu) z rozmaitości kongruencyjnie modularnej. Wtedy:
(1) jeśli algebra A nie ma obrazu homomorficznego z NP-trudnym problemem spełnialności równań, to A rozkłada się na produkt prosty dwu algebr N oraz D, gdzie N jest algebrą nilpotentną, a D jest podprostym produktem algebr, z których każda jest wielomianowo równoważna 2-elementowej kracie dystrybutywnej,
(2) jeśli A rozkłada się na produkt prosty dwu algebr N oraz D, gdzie N jest algebrą supernilpotentną, a D jest podprostym produktem algebr, z których każda jest wielomianowo równoważna 2-elementowej kracie dystrybutywnej, to problem spełnialności równań nad A jest rozstrzygalny w czasie wielomianowym.
27. 02, K. Matczak, A. Mućka, A. Romanowska, Dualność dla wypukłych wielościanów diadycznych
Abstrakt: W poprzednich referatach zostały omówione dualności dla klasy odcinków diadycznych i klasy trójkątów diadycznych rozważanych jako przemienne grupoidy modowe. W tym referacie rozszerzymy te dualności do dualności dla klasy dowolnych wypukłych wielościanów diadycznych o n+1-wierzchołkach w przestrzeniach n wymiarowych. Następnie, wykorzystamy ten wynik do pokazania, jak uzyskać dualność dla klasy dowolnych diadycznych wielościanów wypukłych. Dualność ta zadana jest przez obiekt schizofreniczny, którym jest jednostkowy odcinek diadyczny.
20. 02, zebranie organizacyjne
SEMESTR ZIMOWY 2017/2018
09. 02, (WYJĄTKOWO W PIĄTEK, godz. 13.00) J. H. Przytycki (George Washington University), Homologie niełącznych struktur: podobieństwa i różnice z homologiami półgrup
Abstrakt: Pierwsza część wykładu to łagodne wprowadzenie do homologii niełącznych struktur, poprzez porównanie ich z homologiami półgrup (w klasycznej i cyklicznej wersji). W drugiej części pokażę jak rozszerzenia magm (np. przez afiniczną strukturę) prowadzą (lub co najmniej dają wskazówkę) do homologii struktur. Zakończę spekulacjami jak budować homologie dla systemów entropijnych i pętli Moufang.
16. 01, P. Jedlicka (Czech University of Life Science, Prague), Thompson's group, Tamari lattices and associativity
Abstract: In 1951, Dov Tamari introduced in his PhD thesis lattices of different parenthesized expressions of the same associative term. In 1965, Richard Thompson presented a group of continuous mappings that had only two generators and an unsolvable word problem. It turned out soon that these two notions are closely related and the structure that relates them is so called geometry monoid of the associativity. In our talk, we introduce the concept and we present basic properties of the monoid.
02. 01, J.D.H. Smith (Iowa State University, Ames, Iowa, USA) Relaxation of finite combinatorial and geometric structures
Abstract: There are various hard open problems involving combinatorial and geometric structures based on quasigroups, such as mutually orthogonal Latin squares and finite projective planes. Using the recently introduced notions of approximate quasigroups and Latin squares, we will discuss two potential new approaches to these combinatorial problems. One approach is based on real projective geometry, while the other is based on convex geometry and entropy minimization.
12. 12, M. Stronkowski, Prawie strukturalnie zupełne skończenie generowane rozmaitości są rezydualnie bardzo skończone
05. 12, D. Wedmann, Półgrupy potęgowe i ich związki z teorią języków
Abstrakt: Referat będzie traktował o półgrupach potęgowych, pseudorozmaitościach przez nie generowanych i ich związkach z *-rozmaitościami języków. Pokażę, że pseudorozmaitości generowane przez półgrupy potęgowe można opisywać za pomocą *-rozmaitości języków i odwrotnie, *-rozmaitości języków mogą być opisane przy pomocy pseudorozmaitości generowanych przez półgrupy potęgowe. Referat będzie kontynuacją poprzedniego, o *-rozmaitościach języków i pseudorozmaitościach półgrup, jednak obecność na pierwszym referacie nie jest wymagana do zrozumienia zagadnień przedstawionych w tym.
28. 11, T. Brengos, Języki regularne i omega regularne w ujęciu koalgebraicznym
Abstrakt: Przedstawię podstawowe definicje z teorii języków regularnych i omega regularnych dla automatów niedeterministycznych oraz pokażę w jaki sposób definiować te pojęcia kategoryjnie.
21. 11, S. Kost (Uniwersytet Opolski) Projektywna unifikacja w tranzytywnych logikach modalnych
Abstrakt: Logika modalna jest rozszerzeniem logiki klasycznej o operatory modalne, dzięki którym możemy wyrazić możliwość, konieczność, wiedzę, wiarę i wiele innych. W logice klasycznej każda formuła spełnialna jest unifikowalna, to znaczy istnieje podstawienie przekształcające formułę w tautologię. Takie podstawienie nazwiemy unifikatorem rozważanej formuły. Sytuacja w logice modalnej jest podobna. Należy jednak pamiętać, że ilość stałych logicznych nie jest taka sama w każdej logice modalnej. Istnieją nawet takie logiki modalne, które posiadają nieskończenie wiele stałych. Unifikator formuły A nazwiemy projektywnym w logice L, gdy konsekwencją formuły A jest równoważność naszego unifikatora i identyczności. Własności tych specjalnych unifikatorów posłużą nam do udowodnienia fundamentalnych rezultatów w tranzytywnych logikach modalnych.
14. 11, T. Penza, Odwracanie pewnego przekształcenia
Abstrakt: Prezentacja będzie dotyczyć rozwiązania problemu, który pojawił się w pewnym projekcie uczenia maszynowego. W tym projekcie dane należące do przestrzeni h-wymiarowej były przenoszone za pomocą pewnego przekształcenia M do przestrzeni c-wymiarowej. Tam przeprowadzane były obliczenia, w wyniku których dostawaliśmy c-wymiarowy wektor w odpowiadający obrazowi poprzez przekształcenie M poszukiwanego wyniku x, który jest h-wymiarowym wektorem (tj. zachodziło M(x)=w). Problem polegał na "odwróceniu" przekształcenia M, aby dla danego wektora w uzyskać ostateczny wynik x. Przekształcenie M nie zawsze jest różnowartościowe. Pierwszym krokiem ku rozwiązaniu było opisanie przeciwobrazu poprzez M danego wektora w oraz scharakteryzowanie, kiedy M jest różnowartościowe. W przypadku, kiedy M nie jest różnowartościowe należało wybrać jakieś przekształcenie G idące w przeciwną stronę, tj. z przestrzeni c-wymiarowej do przestrzeni h-wymiarowej, które w jakiś sposób najlepiej odkodowywałoby c-wymiarowe wektory. W prezentowanym rozwiązaniu przyjęte zostało następujące podejście: oryginalnemu zbiorowi danych w przestrzeni h-wymiarowej przypisujemy gęstość prawdopodobieństwa f opisującą gęstość danych w przestrzeni i szukamy przekształcenia G, które minimalizuje błąd średniokwadratowy (liczony względem gęstości f) popełniany przy operacji x -> G(M(x)). Uzyskany został wzór na takie minimalizujące przekształcenie G.
07. 11, G. Bińczak, Równoważność skończonych algebr efektów i pewnych rodzin multizbiorów
Abstrakt: Pokażę, żę skończone algebry efektów o ustalonej liczbie atomów są równoważne pewnym rodzinom multizbiorów.
31. 10, D. Wedmann, Odpowiedniość Eilenberga
Abstrakt: W trakcie referatu wprowadzę podstawowe pojęcia związane z teorią języków oraz pseudorozmaitościami. Następnie omówię *-rozmaitości języków opisane po raz pierwszy przez Eilenberga oraz odpowiedniość Eilenberga pomiędzy *-rozmaitościami języków a pseudorozmaitościami półgrup.
24. 10, S. Bonzio (Czeska Akademia Nauk, Praga) , The regularization of a propositional logic
Abstract: A variety of algebras is called (strongly) irregular whenever an identity of the kind f(x,y) = x, where f(x,y) is any term of the language in which x and y really occur. A variety is regular, when it is not irregular. Examples of irregular varieties abound in logic, since every variety of algebras with lattice reducts is irregular as witnesses by the term f(x,y) = x(x+y). On the other hand, an identity is said to be regular provided exactly the same variables occur on its both sides. The algebraic study of regular varieties traces back to the pioneering work of Płonka, who proved that all members of certain regular varieties can be represented as the Płonka sums over a suitable direct system of members of a strongly irregular variety. Over the years, regular varieties have been studied in depth from purely algebraic and categorical perspectives. However, the recent discovery that the regularization of the variety of Boolean algebras is the algebraic semantics of Paraconsistent Weak Kleene logic (i.e. a particular three-valued Kleene-like logic) showed that the notion of regularization could find an interesting application in logic as well.
17. 10, A. Zamojska-Dzienio, O quandlach afinicznych i quasi-afinicznych
Abstrakt: Podczas referatu omówię wyniki uzyskane wspólnie z P. Jedlicką, A. Pilitowską i D. Stanovskym. Przedstawię nasze twierdzenia o charakteryzacji dla quandli afinicznych (quandli Alexandera) oraz dla quandli quasi-afinicznych (zanurzalnych w quandle Alexandera). W tym celu opiszę własności grup przesunięć obu typów quandli, a także bezpośrednią konstrukcję takich quandli. Omówię również pewne ich własności charakteryzujące, które są istotne z punktu widzenia algebry uniwersalnej. Dzięki uzyskanym rezultatom skonstruowaliśmy efektywne algorytmy pozwalające rozpoznawać quandle afiniczne i quasi-afiniczne oraz policzyliśmy quandle quasi-afiniczne niskich rzędów (z dokładnością do izomorfizmu).
10. 10, Zebranie organizacyjne