2016/2017
SEMESTR LETNI 2016/2017
06. 06, M. Bujok, Równanie Yanga-Baxtera w fizyce
Abstrakt: W swoim wystąpieniu omówię krótko niektóre problemy fizyczne stojące za równaniem Yanga- Baxtera, znanego także jako transformacja gwiazda-trójkąt (ang. star-triangle). Zacznę od pierwszego problemu, w którym pojawił się ten formalizm, jakim jest analiza obwodów elektrycznych. Następnie przejdę do zagadnień z zakresu mechaniki statystycznej i przedstawię idee modeli spinowych. Na koniec przedstawię kondensację Bosego-Einsteina jako przykład powiązania równania Yanga-Baxtera z fizyką doświadczalną.
30. 05, J. D. H. Smith (Iowa State University, Ames, Iowa, USA) Higher homotopies (Joint work with Gavin Nop)
Abstract: Since Albert's algebraic investigation of isotopies in the 1940s, and earlier work on the relation between quasigroups and web geometry, homotopies have formed a fundamental staple of quasigroup theory, often playing a more important role than homomorphisms. In this talk, we introduce the dual notion of a higher homotopy, and explore various aspects of its impact on quasigroup theory. In particular, while the net of a quasigroup is given by its points in the homotopy category, the quasigroup is a loop iff its net is given by its points in the higher homotopy category.
23. 05, A. Romanowska, Reprezentacje quasikrat rozdzielnych, c. d.
16. 05, A. Pilitowska, Klasyfikacja podprosto-nierozkładalnych quandli medialnych
Abstrakt: Quandle medialne to inaczej idempotentne i entropiczne lewe quasigrupy. Ważnym przykładem są tzw. quandle Aleksandera (afiniczne), które są reduktem pewnego modułu. Dla dowolnego quandla medialnego Q na każdej orbicie tranzytywnego działania grupy lewych przesunięć na zbiorze Q, można zdefiniować strukturę grupy przemiennej i każda orbita (jako podquandel) jest właśnie quandlem afinicznym. Ten fakt pozwala w elegancki sposób określić binarną operację na rozłącznej sumie orbit i jednoznacznie reprezentować każdy quandel medialny. Uzyskana reprezentacja znalazła liczne zastosowania. M.in. stała się podstawą do otrzymania pełnej klasyfikacji wszystkich podprosto nierozkładalnych quandli medialnych, w której istotną rolę pełnią zarówno quasigrupy jak i tzw. quandle quasi-reduktywne. W trakcie referatu przedstawię szczegóły tej klasyfikacji. Rezultat jest wynikiem wspólnej pracy z P. Jedlicką oraz A. Zamojską-Dzienio.
09. 05, A. Romanowska, Reprezentacje quasikrat rozdzielnych
Abstrakt: Quasikraty rozdzielne są to systemy Birkhoffa będące sumami Płonki krat rozdzielnych. Algebry takie (zwykle z pewną dodatkową operacją unarną i stałymi) występują m. in. w logice i informatyce teoretycznej. Przedstawię kilka twierdzeń o reprezentacji takich algebr, prowadzących (w dalszej kolejności) do twierdzeń o dualności.
11. 04, A. Komorowski, Algebry progowe
Abstrakt: Omówimy konstrukcję kraty generowanej przez rozmaitości barycentrycznych algebr t-progowych dla t z przedziału [0,1/2]. Pokażemy, że każda rozmaitość algebr t-progowych jest równoważna rozmaitości tzw. "abstrakcyjnych" lub "rozszerzonych" algebr barycentrycznych. Uwypuklone zostaną różnice między rozmaitościami algebr t-progowych dla t = 0, t = 1/2 i 0 < t < 1/2.
04. 04, L. Vendramin (Departamento de Matematica, Universidad de Buenos Aires, Argentyna), Nichols algebras
Abstract: Nichols algebras appear in several branches of mathematics going from Hopf algebras and quantum groups, to Schubert calculus and conformal field theories. In this talk we review the main problems related to Nichols algebras and we discuss some classification theorems and some applications.
28. 03, G. Bińczak, Związki między MV-algebrami i algebrami efektów
Abstrakt: Opowiem o rownowaznosci miedzy MV algebrami a kratowymi algebrami efektów, w ktorych jest spełniona pewna równość.
21. 03, K. Matczak, Dualność dla trójkątów diadycznych, c.d.
14. 03, J. Grytczuk, Kombinatoryczne Twierdzenie o Zerach
Abstrakt: Tytułowe twierdzenie, udowodnione w 1999 przez Alona, podaje proste ograniczenie na liczbę pierwiastków wielomianu wielu zmiennych. Stanowi ono obecnie jedno z najważniejszych algebraicznych narzędzi w kombinatoryce. Przedstawię krótki, elementarny dowód tego twierdzenia, oraz kilka jego spektakularnych zastosowań.
07. 03, K. Matczak, Dualność dla trójkątów diadycznych
Abstrakt: Przypomnimy dualność dla kategorii przedziałów diadycznych. Następnie omówimy klasyfikację trójkątów diadycznych. Wykorzystamy ją do skonstruowania dualności dla kategorii trójkątów diadycznych. Dualność ta jest zbudowana przy pomocy obiektu schizofrenicznego, którym jest diadyczny odcinek jednostkowy. Opiszemy przestrzenie dualne do trójkątów diadycznych. Są one izomorficzne z pewnymi podgrupoidami kostki diadycznej z dodatkowymi operacjami stałymi. Grupoidy te są z kolei izomorficzne z pewnymi "wypukłymi" zbiorami diadycznymi.
28. 02, Zebranie organizacyjne
SEMESTR ZIMOWY 2016/2017
17. 01, A. Romanowska, Plonka sums and semilattice sums of algebras
Abstract: First, basic properties of Plonka sums and more general semilattice sums of algebras in a given irregular variety V will be recalled, as well as their role in the regularization reg(V) of V. It is known that the regularization reg(V) of a strongly irregular variety V consists precisely of Plonka sums of V-algebras. We will show that certain generalization of the axioms of reg(V) defines a variety of algebras consisting precisely of semilattice sums of V-algebras.
10. 01, A. Pilitowska, Algebras with a central semilattice operation
Abstract: We present algebras of the form (A,F,+), where (A,F) is an algebra of a given type and + is a join-semilattice operation which commutes with all basic operations of (A,F). Examples of such algebras are given by semilattice modes (idempotent and entropic algebras), which play an essential role in the classification of finite modes and were investigated by K. Kearnes. We show that (similarly as for semilattice modes) to each variety of idempotent algebras with a central semilattice operation one can associate a semiring whose structure determines some properties of the variety.
03. 01. 2017, J. D. H. Smith (Iowa State University, Ames, Iowa, USA), Approximate Latin squares
Abstract: Approximate Latin squares provide the next step along a natural progression that starts with probability distributions and proceeds through doubly stochastic matrices. Let be a positive integer. The space (simplex) of probability distributions on an n-element set forms a convex polytope of dimension (n - 1), while the space of doubly stochastic (n x n)-matrices forms a convex polytope of dimension (n - 1)2. Then the space of approximate Latin squares of order n forms a convex polytope of dimension (n - 1)3. Permutation matrices are (the only) extreme points of the convex polytope of doubly stochastic matrices, and (exact) Latin squares are extreme points of the convex polytope of approximate Latin squares. Parastrophes of Latin squares arise simply from symmetries of the polytope of approximate Latin squares. To this extent, they are higher-dimensional analogues of transposes of permutation matrices.
13. 12, M. Stronkowski, Twierdzenie Birkhoffa
06. 12. T. Brengos, A uniform framework for timed automata
Abstract: Timed automata, and machines alike, currently lack a general mathematical characterisation. In this talk we provide a uniform coalgebraic understanding of these devices. This framework encompasses known behavioural equivalences for timed automata and paves the way for the extension of these notions to new timed behaviours and for the instantiation of established results from the coalgebraic theory as well.
29. 11, M. Ziembowski, Podalgebry algebry macierzy spełniające wybrane tożsamości wielomianowe
Abstrakt: W czasie referatu rozważać będziemy strukturalne algebry macierzy i pokażemy, że każda taka algebra będąc rozwiązalną stopnia 2 spełnia tożsamość wielomianową [x_1, y_1][x_2, y_2] = 0.
22. 11, P. Jedlicka (Czech University of Life Science, Prague), Examples to Birkhoff's quasigroup axioms
Abstract: The equational variety of quasigroups is defined by six identities, called Birkhoff's identities. It is known, that only four of them suffice to define the variety; actually, there are nine different combinations of four Birkhoff's identities defining quasigroups, other four combinations define larger varieties and it was open whether the remaining two cases define quasigroups or larger classes. We solve the question here constructing examples of algebras that are not quasigroups and satisfy the open cases of Birkhoff's identities.
15. 11, A. Komorowski, Algebry progowe i problem Keimela
Abstrakt: Podczas referatu pokażę, jak przy pomocy tzw. algebr progowych rozwiązać problem Keimela: czy w definicji algebr barycentrycznych aksjomat skośnej łączności można zastąpić aksjomatem entropiczności? Rozpocznę od przypomnienia informacji na temat algebr barycentrycznych. Następnie podam definicję algebr progowych i przejdę do problemu Keimela. Następnie pokażę, że przy pomocy operacji algebr progowych można wygenerować dowolny zbiór wypukły skończenie generowany przy pomocy jego punktów ekstremalnych.
08. 11, M. Uliński, Przykład rekurencyjnej rodziny skończonych frame'ów Kripkego, która charakteryzuje logikę nierekurencyjną
Abstrakt: W książce Modal Logic A. Chagrova, M. Zakharyascheva pojawia się przykład ww. logiki. Postaram się wyjaśnić ideę tego przykładu, zademonstruje go i uzasadnię czemu nie działa. Następnie narysuję własny i opowiem, jak działa. W przykładzie będę się posługiwał faktem, że istnieją rekurencyjne zbiory liczb naturalnych X,Y takie, że zbiór wartości bezwzględnych ich różnic nie jest zbiorem rekurencyjnym.
25. 10, G. Bińczak, Finite homogeneous effect algebras with trivial sharp elements
Abstract: In this talk I will describe finite homogeneous effect algebras whose sharp elements are only 0 and 1. Link to Arxiv: https://arxiv.org/pdf/1609.06180.pdf
18. 10, Leon van Wyk (Department of Mathematics, University of Stellenbosch, South Africa), The maximum dimension of a Lie nilpotent matrix algebra
Abstract: The main result presentes during the talk the following: if F is any field and R any F-subalgebra of the algebra Mn(F) of n × n
matrices over F with Lie nilpotence index m, then dim(R) is less or
equal to M(m + 1, n). This answers in the affirmative a conjecture by Shigeti and van Wyk. The case m = 1 reduces to a classical theorem of Schur (1905), later generalized by Jacobson (1944) to all fields. Examples constructed from block upper triangular matrices show that the upper bound of M(m + 1, n) cannot be lowered for any choice of m and n. An explicit formula for M(m + 1, n) is also derived.
11. 10, Sprawy organizacyjne