Algebra macierzy

Zawartość

9. Algebra macierzy#

9.1. Definicja macierzy#

Narration

Niech $\kk $ będzie ustalonym ciałem $\rr$ lub $\cc$, oraz $m,n\in \nn .$

Definicja 9.1

Macierz o wymiarach $m\times n$ (czytaj $m$ na $n$) nad ciałem $\kk$ definiujemy jako funkcję

\[\begin{aligned} A: \{1,2, \ldots, m\} \times \{1,2, \ldots, n \}\to \kk,\qquad (i,j)\mapsto a_{ij}\in\kk. \end{aligned}\]

Macierz najczęściej przedstawia się w postaci tablicy

\[\begin{split}\begin{aligned} A = [a_{ij}]_{m\times n} = [a_{ij}] = \Macierz{ a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} }. \end{aligned}\end{split}\]

Gdy chcemy użyć innych indeksów do zdefiniowania macierzy, możemy użyć rozleglejszego oznaczenia

\[{[a_{kl}]_{k = 1,}^m}_{l =1}^n.\]

Indeksami macierzy nazywamy elementy $ i,j .$

Wyrazami lub elementami macierzy nazywamy wartości funkcji $A$, czyli elementy $a_{ij}.$

$i$-tym wierszem macierzy $A$ nazywamy macierz o tablicy \quad $ \Macierz{a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in}}. $

$j$-tą kolumną macierzy $A$ nazywamy macierz o tablicy \quad $ \Macierz{a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}}. $

Narration

Zbiór macierzy o wymiarach $m\times n$ i elementach z ciała $\kk$ oznaczamy symbolem

\[\MSet{m}{n}{\kk}.\]

W literaturze występują również inne oznaczenia, np.:

\[\begin{aligned} M(m\times n, \kk),\qquad M(m, n, \kk), \qquad M_\kk(m, n),\qquad \kk_n^m, \qquad etc. \end{aligned}\]

Przykład 9.1

Oto kilka przykładów macierzy (przedstawionych w postaci tablicy):

\[\begin{split}\begin{aligned} A & = \Macierz{\pi}\in \MSet{1}{1}{\rr}, & B & = \Macierz{1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6}\in \MSet{1}{6}{\rr}, & C & = \Macierz{j & -1 & e \\ \frac 1 2 & 0 & 1-2j}\in \MSet{2}{3}{\cc}. \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} D & = \Macierz{1 \\ -2 \\ 3}\in \MSet{3}{1}{\rr}, & E & = \Macierz{0 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & -4 \\ -2 & -3 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & -5 & 0} \in \MSet{4}{4}{\cc}, & F & = \Macierz{0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & -4 & 0} \in \MSet{3}{4}{\cc}. \end{aligned}\end{split}\]

Ćwiczenie 9.1

Zapiszmy explicite tablicę macierzy $G = \left[i + j^2\right]_{4\times 4}.$

Odpowiedź

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} G = \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & 5 & 10 & 17 \\ 3 & 6 & 11 & 18 \\ 4 & 7 & 12 & 19 \\ 5 & 8 & 13 & 20 \end{array}\right] \end{aligned}\end{split}\]

9.2. Ważne przykłady macierzy#

Definicja 9.2

Macierzą zerową o wymiarach $m$ na $n$ nazywamy tą, której wszystkie wyrazy są równe 0 i oznaczamy symbolem

\[ \oo \qquad \text{lub dla większej jasności} \qquad \oo_{m\times n}. \]

Przykład 9.2

\[\begin{split} \oo_{3\times 4} = \Macierz{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0} % \in \MSet{3}{4}{\rr} \end{split}\]

Definicja 9.3

Macierzą kwadratową (stopnia $n$ lub wymiaru $n$) nazywamy macierz $A$ o wymiarach $n\times n .$

Przykład 9.3

\[\begin{split} \Macierz{1 & -1 & 0 \\ 2&\pi&1 \\ 0&30&-4} % \in \MSet{3}{3}{\rr} \end{split}\]

Definicja 9.4

Główną przekątną lub diagonalą macierzy kwadratowej $A = [a_{ij}]_{n\times n}$ nazywamy uporządkowany układ

\[ \Brack{a_{11}, a_{22}, \ldots , a_{nn}}. \]

Przykład 9.4

\[\begin{split} \Macierz{\underline 1 & -1 & 0 \\ 2&\underline \pi &1 \\ 0&30&\underline{-4}} \end{split}\]

Definicja 9.5

Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie wyrazy poza diagonalą są zerowe. Przyjmujemy oznaczenie

\[\begin{split} \operatorname{diag}(a_{11}, a_{22}, \ldots , a_{nn}) = \Macierz{ a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} }. \end{split}\]

Przykład 9.5

\[\begin{split} \begin{aligned} \Macierz{-1 & 0 & 0 \\ 0& 2 j & 0 \\ 0&0& 3} \\ \diag(-1,2j,3) \end{aligned} \end{split}\]

Definicja 9.6

Macierzą jednostkową wymiaru $n$ nazywamy macierz diagonalną

\[\begin{split} I_n = \diag(1,1,\ldots, 1)=\Macierz{ 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 }. \end{split}\]

Przykład 9.6

\[\begin{split} I_3 = \Macierz{1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0&0& 1} % \in \MSet{3}{3}{\cc} \end{split}\]

Definicja 9.7

Macierzą górną trójkątną (odpowiednio dolną trójkątną ) nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie wyrazy poniżej diagonali (odpowiednio powyżej diagonali) są zerowe, czyli postaci

\[\begin{split} \begin{array}{cc} \Macierz{ a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ 0 & 0 & & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} }, & \Macierz{ a_{11} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} }. \\ \text{(górna trójkątna)} & \text{(dolna trójkątna)} \end{array} \end{split}\]

Przykład 9.7

\[\begin{split} \begin{array}{cc} \Macierz{-1 & 2 & 0 \\ 0& 1 & -2+j \\ 0&0& \pi} \\ \text{(górna trójkątna)} \\ \\ \Macierz{-1 & 0 & 0 \\ 1& 0 & 0 \\ -\pi & j& 4} \\ \text{(dolna trójkątna)} \end{array} \end{split}\]

Definicja 9.8

Macierzą blokową nazywamy macierz kwadratową wymiaru $n$, dla której istnieje $k\in\nn$, że wszystkie wyrazy poniżej $k$-tej kolumny i do $k$-tego wiersza są zerowe lub do $k$-tej kolumny i od $k$-tego wiersza są zerowe, czyli postaci

(9.1)#\[\begin{split}\Macierz{ B & C \\ \oo & E} \qquad\text{lub}\qquad \Macierz{ B & \oo \\ D & E},\end{split}\]

gdzie $B \in \MSet{k}{k}{\kk}$, $C \in \MSet{k}{(n-k)}{\kk}$, $D \in \MSet{(n-k)}{k}{\kk}$, $E \in \MSet{(n-k)}{(n-k)}{\kk} .$

Przykład 9.8

\[\begin{split} \begin{aligned} \Macierz{1 & 2 & | & 0 & 2 \\ 1 & 1 & | & 3 & 2 \\ \hline 0 & 0 & | & 1 & -2 \\ 0 & 0 &| & 2 & -2 } % \in \MSet{4}{4}{\rr} \\ \\ \Macierz{0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 2& 3& 1 & | & 0 \\ \hline 2 & -1 & 0 & | & -2 } \end{aligned} \end{split}\]

9.3. Dodawanie macierzy#

Narration

Rozważmy przestrzeń macierzy $\MSet{m}{n}{\kk}.$

Definicja 9.9

Dodawanie macierzy $+ : \MSet{m}{n}{\kk}\times \MSet{m}{n}{\kk} \to \MSet{m}{n}{\kk}$ zdefiniowane jest przez

\[\begin{aligned} [a_{ij}]_{m\times n} + [b_{ij}]_{m\times n} = [a_{ij} + b_{ij} ]_{m\times n}. \end{aligned}\]

Przykład 9.9

Dla przykładu

\[\begin{split}\begin{aligned} \Macierz{1 & -2 & j \\ 1 + 2j & 0 & \pi} + \Macierz{-2 + j & j & 1 \\ 0 & 7 & -2\pi} = \Macierz{-1 +j & -2+j & j+1 \\ 1+2j & 7 & -\pi}. \end{aligned}\end{split}\]

Uwaga 9.1

Dodawanie nie jest zdefiniowane dla macierzy o różnych wymiarach. Przykładowo nie możemy dodać do siebie żadnej pary spośród macierzy:

\[\begin{split}\begin{aligned} \Macierz{2 & 3},\, \Macierz{-1 \\ 2}, \, \Macierz{1 & -2 \\ 1 & 2}. \end{aligned}\end{split}\]

9.4. Mnożenie macierzy przez skalar#

Narration

Rozważmy przestrzeń macierzy $\MSet{m}{n}{\kk}.$

Definicja 9.10

Mnożenie macierzy przez skalar $\cdot : \kk \times \MSet{m}{n}{\kk} \to \MSet{m}{n}{\kk}$ zdefiniowane jest przez

\[\begin{aligned} \alpha \cdot [a_{ij}]_{m\times n} = [\alpha \cdot a_{ij} ]_{m\times n}. \end{aligned}\]

Przykład 9.10

Dla przykładu

\[\begin{split}\begin{aligned} -\frac 1 2 \cdot \Macierz{4 & -2 & 2j -1 \\ 3 + 2j & 0 & 2\pi} = \Macierz{-2 & 1 & \frac 1 2 - j \\ -\frac 3 2 - j & 0 & -\pi}. \end{aligned}\end{split}\]

Twierdzenie 9.1

Dla dowolnych macierzy $A,B\in \MSet{m}{n}{\kk}$ i dowolnych skalarów $\alpha, \beta\in\kk$ zachodzą następujące równości:

$A+ (B + C) = (A+B) + C$
$A+ B = B +A$
$\oo_{m\times n} + A = A + \oo_{m\times n} = A$
$A + (-1)\cdot A = (-1)\cdot A + A = \oo_{m\times n}$
$(\alpha + \beta) \cdot A = \alpha \cdot A + \beta \cdot A$
$\alpha \cdot (A+B) = \alpha \cdot A + \alpha \cdot B$
$\alpha\cdot (\beta\cdot A) = (\alpha\cdot\beta)\cdot A$
$1 \cdot A = A .$

Wniosek 9.2

Z powyższego twierdzenia otrzymujemy, że $((\MSet{m}{n}{\kk}, +), \kk, \cdot)$ jest przestrzenią liniową nad $\kk .$

9.5. Mnożenie macierzy#

Narration

Rozważmy przestrzenie macierzy $\MSet{m}{p}{\kk}$ i $\MSet{p}{n}{\kk}.$

Definicja 9.11

Iloczyn macierzy

\[\cdot : \MSet{m}{p}{\kk}\times \MSet{p}{n}{\kk} \to \MSet{m}{n}{\kk}\]

zdefiniowane jest przez

\[ [a_{ij}]_{m\times p} \cdot [b_{ij}]_{p\times n} = \left[c_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik}\cdot b_{kj} \right]_{m\times n}. \]

\[\begin{split} \begin{aligned} & \Macierz{ b_{11} & \ldots & \underline{b_{1j}} & \ldots & b_{1n} \\ {b_{21}} & \ldots & \underline{b_{2j}} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ b_{p1} & \ldots & \underline{b_{pj}} & \ldots & b_{pn} } \\ % \qquad \Macierz{ % a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \underline{a_{i1}} & \underline{a_{i2}} & \ldots & \underline{a_{ip}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ % a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mp} } % \cdot % = & \Macierz{ % c_{11} & \ldots & {c_{1j}} & \ldots & c_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ {c_{i1}} & \ldots & \underline{c_{ij}} & \ldots & c_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ % c_{m1} & \ldots & {c_{mj}} & \ldots & c_{mn} } \end{aligned} \end{split}\]

Ćwiczenie 9.2

Niech $\displaystyle A = \Macierz{2 & -1}$ i $\displaystyle B = \Macierz{1 \\ -2} .$ Obliczmy $A\cdot B$ i $B\cdot A .$

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 9.4, Ćw. 9.9.

Rozwiązanie

Wykonujemy działanie $A\cdot B$:

\[\begin{split}\begin{aligned} & \Macierz{ 1 \\ -2} \\ \Macierz{ 2 & -1} & \Macierz{ 2 \cdot 1 + (-1)\cdot (-2)} = \Macierz{4} = AB \end{aligned}\end{split}\]
Wykonujemy działanie $B\cdot A$:

\[\begin{split}\begin{aligned} & \Macierz{ 2 \ & -1} \\ \Macierz{ 1\\ -2} & \Macierz{ 1 \cdot 2 & 1 \cdot (-1) \\ -2\cdot 2 & -2\cdot(-1)} = \Macierz{2 & -1 \\ -4 & 2 } = BA \end{aligned}\end{split}\]

Uwaga 9.2

Iloczyn nie jest zdefiniowany dla macierzy $A$ i $B$, jeśli liczba kolumn $A$ jest różna od liczby wierszy $B .$

Ćwiczenie 9.3

Pomnóżmy (jeśli to możliwe) dowolną parę (w dowolnej kolejności) macierzy spośród: \quad

\[\begin{split}\begin{aligned} A= \Macierz{1 &2 & 3 },\quad B=\Macierz{-1 & 1\\ 2 & -1}, \quad C=\Macierz{1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 2}. \end{aligned}\end{split}\]

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 9.4, Ćw. 9.9.

Rozwiązanie

Nie można pomnożyć: $A B, \ A C, \ B A, \ C A, \ C B .$

\[\begin{split}\begin{aligned} & \Macierz{ 1 \ & -2 \ & 0 \\ 1 \ & 0 \ & 2} \\ \Macierz{-1 & 1 \\ 2 & -1} & \Macierz{ -1\cdot 1 + 1\cdot 1 & -1 \cdot(-2) + 1\cdot 0 & -1 \cdot 0 + 1\cdot 2 \\ 2\cdot 1 - 1\cdot 1 & 2 \cdot (-2) - 1\cdot 0 & 2\cdot 0 - 1\cdot 2 } = \Macierz{0 & 2 & 2 \\ 1 & -4 & -2} = BC \end{aligned}\end{split}\]

Twierdzenie 9.3

Dla dowolnych macierzy $A \in \MSet{m}{ n}{\kk}$, $B, B_1, B_2\in \MSet{n}{p}{\kk}$, $C\in \MSet{p}{r}{\kk}$ i dowolnego skalara $\alpha \in\kk$ zachodzą następujące równości:

$A\cdot (B \cdot C) = (A\cdot B )\cdot C$
$A\cdot (B_1 + B_2) = A\cdot B_1 + A\cdot B_2$
$(B_1 + B_2)\cdot C = B_1\cdot C + B_2\cdot C$
$A\cdot I_n = I_m\cdot A = A$
$\alpha\!\cdot\!(A\!\cdot\! B) = (\alpha\!\cdot\! A)\!\cdot\! B = A\!\cdot\!(\alpha\!\cdot\! B) .$

Uwaga 9.3

Dla $A, B\in\MSet{n}{n}{\kk}$ na ogół $ \quad A\cdot B \neq B\cdot A. $

Przykład 9.11

Dla $ A = \Macierz{1 & 1 \\ -1 & -1},\, B=\Macierz{1 & 2 \\ 3 & 4}$ mamy:

\[\begin{split}\begin{aligned} & \Macierz{ 1 & 2 \\ 3 & 4} \\ \Macierz{1 & 1 \\ -1 & -1} & \Macierz{4 & 6 \\ -4 & -6} = AB \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} & \Macierz{1 & 1 \\ -1 & -1} \\ \Macierz{1 & 2 \\ 3 & 4} & \Macierz{ -1 & -1 \\ -1 & -1} = BA \end{aligned}\end{split}\]

Uwaga 9.4

Jeśli $A\cdot B = \oo$, to nie możemy z tego wnioskować, że $A = \oo \vee B = \oo.$

Przykład 9.12

Dla $ A = \Macierz{-2 & 1 \\ 0 & 0},\ B = \Macierz{1 & 2 \\ 2 & 4}$ mamy

\[\begin{split}\begin{aligned} & \Macierz{ 1 & 2 \\ 2 & 4} \\ \Macierz{-2 & 1 \\ 0 & 0 } & \Macierz{-2 + 2 & -4 + 4 \\ 0 + 0 & 0 + 0} = \Macierz{0 & 0 \\ 0 & 0} = AB. \end{aligned}\end{split}\]

Zatem $A B = \oo$, ale nie jest prawdą, że $A = \oo \vee B = \oo.$

Definicja 9.12

Dla macierzy kwadratowej $A \in \MSet{n}{n}{\kk}$ oraz $\ell\in\nn_2$ przyjmujemy, że \qquad $\displaystyle A^\ell = \underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{\ell \text{ czynników}} .$

9.6. Transpozycja macierzy#

Narration

Definicja 9.13

Macierz transponowaną macierzy $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ definiujemy jako macierz $$A^T=[a_{ji}]_{n\times m}.$$

Innymi słowy kolumnami macierzy transponowanej $A^T$ są wiersze macierzy $A$ i równoważnie wierszami macierzy transponowanej $A^T$ są kolumny macierzy $A$

\[\begin{split} \begin{aligned} \Macierz{ a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \underline{a_{i1}} & \ldots & \underline{a_{in}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} }^T % \cdot = \Macierz{ a_{11} & \ldots & \underline{a_{i1}} & \ldots & a_{m1} \\ % \vdots & & \vdots & & \vdots \\ % {c_{i1}} & \ldots & \underline{c_{ij}} & \ldots & c_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \ldots & \underline{a_{in}} & \ldots & a_{mn} } \end{aligned} \end{split}\]

Przykład 9.13

Dla przykładu:

$ \Macierz{1 & 2 & 3}^T = \Macierz{1 \\ 2 \\ 3}$
$ \Macierz{1 \\ -1 \\ 4}^T = \Macierz{1 & -1 & 4}$
$ \Macierz{1 & 2 & -1 \\ -2 & j & 4}^T = \Macierz{1 & -2 \\ 2 & j \\ -1 & 4}$
$ \Macierz{0 & -1 & 2 \\ -3 & 4 & -5 \\ j & 2j & 3j}^T = \Macierz{0 & -3 & j \\ -1 & 4 & 2j \\ 2 & -5 & 3j } .$

Twierdzenie 9.4

Dla dowolnych macierzy $A, A_1, A_2 \in \MSet{m}{ n}{\kk}$, $B \in \MSet{n}{p}{\kk}$ i dowolnego skalara $\alpha \in\kk$ zachodzą następujące równości:

$(A_1 + A_2)^T = A_1^T+A_2^T$
$(A^T)^T = A$
$(\alpha A)^T = \alpha A^T$
$(A\cdot B)^T = B^T \cdot A^T .$

Przykład 9.14

Niech $\displaystyle \begin{aligned} A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] ,\ B = \left[ \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}$. Wówczas:

$\displaystyle \begin{aligned} A^T = \left[ \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} B^T = \left[ \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} A^T \cdot B^T = \left[ \begin{array}{rr} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} B^T \cdot A^T = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} A\cdot B = \left[ \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} (A \cdot B)^T = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}$ .

Widzimy, że $(A\cdot B)^T = B^T \cdot A^T \neq A^T \cdot B^T .$