5. Funkcje#
5.1. Definicja funkcji#
Narration
Niech \(X, Y\) będą zbiorami niepustymi.
Definicja 5.1
Funkcją odwzorowującą zbiór \(X\) w \(Y\) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru \(X\) dokładnie jednego elementu ze zbioru \(Y .\)
Narration
Jeśli funkcję oznaczymy symbolem \(f\), to zapis
czytamy jako \(f\) odwzorowuje zbiór \(X\) w zbiór \(Y\).
Przy tych oznaczeniach definicję funkcji możemy zapisać w następujący sposób:
Uwaga 5.1
Zamiast słowa funkcja możemy równoważnie używać słów odwzorowanie lub przekształcenie. Jeśli zatem \(f : X\to Y\), to powiemy, że \(f\) jest odwzorowaniem lub przekształceniem zbioru \(X\) w zbiór \(Y .\)
Narration
Ustalmy funkcję \(f: X \to Y .\)
Definicja 5.2
Dziedzina funkcji \(f\) to zbiór \(D_f = X .\)
Przeciwdziedzina funkcji \(f\) to zbiór \(Y .\)
Argumenty funkcji \(f\) to elementy dziedziny \(D_f .\)
Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x\in X\) to element \(y = f(x) .\) Mówimy wtedy, że \(x\) przechodzi na \(y\), lub \(x\) przechodzi na \(f(x)\), co zapisujemy jako
Zbiór wartości funkcji \(f\) to zbiór
tych elementów przeciwdzidziny \(y\in Y\), dla których istnieje (niekoniecznie jeden) argument \(x\in X\) taki, że \(y = f(x) .\)
Wykres funkcji \(f: X \to Y\) to zbiór
Uwaga 5.2
Jeśli zadamy wzorem funkcję o wartościach rzeczywistych (np. \(f(x) = \frac 1 x\)), nie podając między jakimi zbiorami ona działa, to zakładamy, że \(X=D_f\) jest maksymalnym zbiorem, na którym można ją określić (w przykładzie \(D_f = \rr\setminus\Set{0}\)), zaś \(Y = \rr .\)
Narration
Zbiór wszystkich funkcji \(f: X\to Y\) oznaczamy symbolem \(Y^X.\)
5.2. Przykłady funkcji#
5.2.1. Identyczność#
Narration
Niech \(X\neq \emptyset\) będzie zbiorem.
Identycznością na \(X\) nazywamy funkcję
Zbiorem wartości \(\id_X\) jest \(X .\)
5.2.2. Funkcja charakterystyczna#
Narration
Niech dodatkowo \(A\subseteq X .\)
Funkcją charakterystyczną lub indykatorową zbioru \(A\) nazywamy funkcję
Zbiorem wartości \(\mathbb{1}_X\) jest \(\{0,1\}.\)
Przykład 5.1
Wykresy funkcji \(\mathbb{1}_A : X \to \rr\) dla:
\(X = (-3, 3), \; A = (-1, 2]\) w GEOGEBRA
\(X = \rr, \; A = \nn\) w GEOGEBRA
\(X = \rr^2, \; A = [-1, 1]^2\) w GEOGEBRA3D.
5.2.3. Podłoga i sufit#
Narration
Część całkowita, cecha lub podłoga liczby to funkcja
czyli największa liczba całkowita nie większą niż \(x .\)
Zbiorem wartości jest \(\zz .\)
Narration
Cecha górna lub sufit liczby to funkcja
czyli najmniejsza liczba całkowita nie mniejszą niż \(x .\)
Zbiorem wartości jest \(\zz .\)
Przykład 5.2
5.3. Obraz zbioru wyznaczony przez funkcję#
Narration
Niech \(f:X\to Y\) i weźmy zbiór \(A\subseteq X .\)
Definicja 5.3
Obraz zbioru \(A\) wyznaczony przez funkcję \(f\) definiujemy jako zbiór
Innymi słowy
Przykład 5.3
Dla zbiorów jednoelementowych mamy \(f(\Set{a}) = \Set{f(a)}.\)
Analogicznie, dla zbiorów skończonych mamy
\[f(\Set{a_1, a_2, \ldots, a_k}) = \Set{f(a_1), f(a_2), \ldots, f(a_k)}.\]Zbiór wartości \(R_f = f(X)\) funkcji \(f:X\to Y\) jest obrazem \(X\) wyznaczonym przez \(f .\)
Stąd takie oznaczenie!
Definicja 5.4
Obcięcie funkcji \(f: X \to Y\) do zbioru \(A\) definiujemy jako funkcję \(f|_A : A\to Y\), zadaną wzorem
Innymi słowy, zmniejszamy jedynie dziedzinę tej funkcji nie zmieniając jej wartości na argumentach.
Uwaga 5.3
Znajdowanie obrazu zbioru \(A\subseteq X\) przez funkcję \(f:X\to Y\) polega na znalezieniu zbioru wartości obcięcia \(f|_A:A\to Y.\)
Ćwiczenie 5.1
Dla funkcji \(f : \rr \to \rr\) danej wzorem \(f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x,\) znajdźmy:
\(f([-1,2)) \)
\(f([-3,4)) .\)
Rozwiązanie
Należy zbadać przebieg zmienności funkcji i wspomóc się wykresem. Ponieważ
to funkcja jest: rosnąca na \((-\infty, -2)\); \(\quad\) malejąca na \((-2, 2)\); \(\quad\) rosnąca na \((2, + \infty) .\)
Na przedziale \([-1,2)\) funkcja maleje, więc przyjmuje wartość największą w punkcie \(x=-1\) równą \(f(-1) = \frac {11} 3 ,\) i maleje do wartości \(f(2) = - \frac {16} 3 .\) Stąd
\[f([-1,2)) = \IntOC{- \frac {16} 3, \frac {11} 3}.\]Na przedziale \([-3,4)\) funkcja ma maksimum lokalne w punkcie \(x = -2\) (\(f(-2) = \frac {16} 3\)) i minimum lokalne w punkcie \(x = 2\) (\(f(2) = - \frac {16} 3\)). Ponadto musimy policzyć wartości na brzegu: \(f(-3) = 3,\ f(4) = \frac {16} 3.\) Zatem
\[f([-3,4)) = \Brack{- \frac {16} 3, \frac {16} 3}.\]
Ćwiczenie 5.2
Dla \(f : \rr^2 \to \rr\) danej wzorem \(f(x,y) = y\cdot \cos x,\) znajdźmy:
\( f\Paren{\IntCO{-\pi,\frac \pi 2}\times\Set{\frac \pi 3}} \)
\( f\left( \IntCO{-\frac \pi 3,\pi}^2 \right). \)
Rozwiązanie
Wartość \(y = \frac \pi 3\) jest ustalona, więc wprowadźmy funkcję
\[\begin{aligned} g: \rr \to \rr, \quad g(x) = f\Paren{x,\tfrac \pi 3} = \tfrac \pi 3 \cos x. \end{aligned}\]Ponieważ \(x \in \IntCO{-\pi,\tfrac \pi 2}\), to
\[\begin{aligned} f\Paren{\IntCO{-\pi,\tfrac \pi 2}\times\Set{\tfrac \pi 3}} = g\Paren{\IntCO{-\pi,\tfrac \pi 2}} = \Brack{-\tfrac \pi 3, \tfrac \pi 3}. \end{aligned}\]Ostatnia równość wynika z analizy przebiegu zmienności funkcji \(g\) na zbiorze \(\IntCO{-\pi,\tfrac \pi 2} .\)
Zauważmy, że \(f(x,y) = f_1(x)\cdot f_2 (y)\), gdzie
\[\begin{aligned} f_1(x) = \cos x, \quad f_2(y) = y. \end{aligned}\]Dla \(x\in \IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi}\) funkcja \(f_1\) przyjmuje wartości z przedziału \((-1,1] .\)
Dla \(y\in \IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi}\) funkcja \(f_2\) przyjmuje wartości z przedziału \(\IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi} .\)
Funkcja \(f\) na \(\IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi}^2\) będzie przyjmować wartości będące iloczynami liczb z tych przedziałów. Zatem
\[\begin{aligned} f\left( \IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi}^2 \right) = \Set{a \cdot b \in \rr : a \in (-1,1],\ b\in \IntCO{-\tfrac \pi 3,\pi}} = (-\pi, \pi). \end{aligned}\]
5.4. Przeciwobraz zbioru wyznaczony przez funkcję#
Narration
Niech \(f:X\to Y\) i weźmy zbiór \(B\subseteq Y .\)
Definicja 5.5
Przeciwobraz zbioru \(B\) wyznaczony przez funkcję \(f\) definiujemy jako zbiór
Innymi słowy
Ćwiczenie 5.3
Czy dla \(f: \rr \to \rr\), \(f(x) = 2x + \sin x \), zachodzi \(1 \in f^{-1}([1,2))?\)
Rozwiązanie
Ponieważ \(f(1) = 2 + \sin 1 \geq 2 + 0 =2,\) to \(f(1) \notin [1,2),\) więc \(1 \notin f^{-1}([1,2)).\)
Przykład 5.4
W poniższych przykładach rozpatrujemy funkcję \(f : X \to \rr .\)
Dla zbiorów jednoelementowych mamy poziomice funkcji
\[f^{-1}(\Set{b}) = \Set{x \in X : f(x) = b}.\]Dla zbiorów skończonych mamy
\[\begin{split}\begin{aligned} f^{-1}(\Set{b_1, b_2, \ldots, b_k}) & = \Set{x \in X : f(x) = b_1}\cup \cdots\cup \Set{x \in X : f(x) = b_k} \\ & = \Set{x \in X : f(x) = b_1\vee \cdots\vee f(x) = b_k}. \end{aligned}\end{split}\]Dla połprostych w \(\rr\) mamy:
\[\begin{split}\begin{aligned} f^{-1}((-\infty, b)) & = \Set{x \in X : f(x) < b},& f^{-1}((-\infty, b]) & = \Set{x \in X : f(x) \leq b},\\ f^{-1}((b, +\infty)) & = \Set{x \in X : f(x) > b},& f^{-1}([b, +\infty)) & = \Set{x \in X : f(x) \geq b}. \end{aligned}\end{split}\]Dla przedziałów w \(\rr\) mamy:
\[\begin{split}\begin{aligned} f^{-1}((b_1, b_2)) & = \Set{x \in X : b_1 < f(x) < b_2}, & f^{-1}((b_1, b_2]) & = \Set{x \in X : b_1 < f(x) \leq b_2}, \\ f^{-1}([b_1, b_2)) & = \Set{x \in X : b_1 \leq f(x) < b_2},& f^{-1}([b_1, b_2]) & = \Set{x \in X : b_1 \leq f(x) \leq b_2}. \end{aligned}\end{split}\]Dla każdej funkcji \(f:X\to Y\) widać, że \(f^{-1}(Y) = X .\)
Ćwiczenie 5.4
Dla funkcji \(f : \rr \to \rr\) danej wzorem \(f(x) = x^3-x^2-x+1,\) znajdźmy:
\(f^{-1}(\Set{0}) \)
\(f^{-1}(\Set{0,1})\)
\(f^{-1}((0,1]) .\)
Rozwiązanie
\( f^{-1}(\Set{0}) = \Set{x\in \rr : x^3-x^2-x+1 = 0 } = \Set{x\in \rr : (x+1) (x-1)^2 = 0 } = \Set{-1,1}. \)
\( f^{-1}(\Set{0,1}) = f^{-1}(\Set{0}) \cup f^{-1}(\Set{1}) = \Set{-1,1} \cup \Set{x\in \rr : x^3-x^2-x+1 = 1 }. \)
Rozwiązujemy równanie:
\[\begin{split}\begin{aligned} x^3-x^2-x+1 = 1 \qlq & x(x^2 - x -1) = 0, \\ \Delta & = 1 + 4 = 5 \Quad{\imply} x_\pm = \tfrac{1 \pm\sqrt 5} 2. \end{aligned}\end{split}\]Zatem \( f^{-1}(\Set{0,1}) = \Set{-1,1, 0, \tfrac{1-\sqrt 5} 2, \tfrac{1+\sqrt 5} 2}. \)
\( f^{-1}((0,1]) = \Set{x\in \rr : 0< x^3-x^2-x+1 \leq 1 }. \) Ponieważ
\[\begin{split}\begin{aligned} 0 < x^3-x^2-x+1 & \qlq x \in (-1, +\infty)\setminus\Set{1} , \\ x^3-x^2-x+1 \leq 1 & \qlq x \in \IntOC{-\infty, \tfrac{1-\sqrt 5} 2} \cup \Brack{0, \tfrac{1+\sqrt 5} 2} , \end{aligned}\end{split}\]to \( f^{-1}((0,1]) = \IntOC{-1, \tfrac{1-\sqrt 5} 2} \cup \IntCO{0, 1} \cup \IntOC{1, \tfrac{1+\sqrt 5} 2}. \)
Ćwiczenie 5.5
Dla funkcji \(f : \rr^2 \to \rr\) danej wzorem \(f(x,y) = |x+y|,\) znajdźmy:
\(f^{-1}(\Set{0}) \)
\(f^{-1}(\Set{-2,0,1}) \)
\(f^{-1}((-\infty,1]) .\)
Rozwiązanie
\(f^{-1}(\Set{0}) = \Set{(x,y)\in \rr^2 : |x+y| = 0} = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x+y = 0},\) czyli jest to prosta \(y=-x .\)
\( f^{-1}(\Set{-2,0,1}) = \Set{(x,y)\in \rr^2 : |x+y| = -2 \vee |x+y| = 0 \vee |x+y| = 1 } \)
Pierwsza równość nie ma rozwiązań, więc daje zbiór pusty. Druga to znaleziona już prosta \(y=-x .\) Trzecia równość daje
\[\begin{split}\begin{aligned} |x+y| = 1 & \qlq x+y = 1 \vee -x-y = 1 \\ & \qlq x+y = 1 \vee x+y = -1 . \end{aligned}\end{split}\]Ostatecznie
\[\begin{aligned} \Quad{f^{-1}(\Set{-2,0,1}) = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x+y \in \Set{-1,0,1} }} \end{aligned}\]jest sumą trzech prostych o równaniach: \( y = -x - 1, \quad y = -x, \quad y = -x + 1. \)
\( f^{-1}((-\infty,1]) = \Set{(x,y)\in \rr^2 : |x+y| \leq 1} .\) Ponieważ
\[\begin{aligned} |x+y| \leq 1 \qlq -1 \leq x+y \leq 1 \qlq -x-1 \leq y \leq -x + 1, \end{aligned}\]to \( f^{-1}((-\infty,1])\) jest obszarem między prostymi o równaniach: \( y = -x - 1, \quad y = -x + 1. \)
Ćwiczenie 5.6
Dla funkcji \(f : [-2,2)\times[-2,2) \to \rr\) danej wzorem \(f(x,y) = |x+y|,\) znajdźmy:
\(f^{-1}(\Set{0}) \)
\(f^{-1}(\Set{-2,0,1}) \)
\(f^{-1}((-\infty,1]) .\)
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie analogiczne do poprzedniego z dodaniem warunku \((x,y) \in [-2,2)\times[-2,2)\), czyli \(x,y \in [-2,2).\)
\(f^{-1}(\Set{0}) = \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 : |x+y| = 0} = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x+y = 0 \wedge x,y \in [-2,2) }.\)
Obliczamy
\[\begin{split}\begin{aligned} f^{-1}(\Set{-2,0,1}) & = \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 : |x+y| \in \Set{-2,0,1}} \\ & = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x+y \in \Set{-1,0,1} \wedge x,y \in [-2,2) }. \end{aligned}\end{split}\]Obliczamy
\[\begin{split}\begin{aligned} f^{-1}((-\infty,1]) & = \Set{(x,y)\in [-2,2)^2 : |x+y| \leq 1} \\ & = \Set{(x,y)\in \rr^2 : -x-1 \leq y \leq -x + 1 \wedge x,y \in [-2,2) }. \end{aligned}\end{split}\]
5.5. Własności obrazów i przeciwobrazów#
Twierdzenie 5.1
Niech \(f: X\to Y\) oraz \(A,B\subseteq X\) oraz \(C,D\subseteq Y .\) Wówczas:
\(f(\emptyset) = \emptyset\)
\(f(A\cup B) = f(A)\cup f(B)\)
\(f(A\cap B) \subseteq f(A)\cap f(B)\)
\(f(A)\setminus f(B) \subseteq f(A\setminus B)\)
\(A\subseteq f^{-1}(f(A))\)
\(f^{-1}(\emptyset) = \emptyset\)
\(f^{-1}(C\cup D) = f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)\)
\(f^{-1}(C\cap D) = f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)\)
\(f^{-1}(C\setminus D) = f^{-1}(C)\setminus f^{-1}(D)\)
\(f(f^{-1}(C))\subseteq C .\)
Ponadto, jeśli \((A_t)_{t\in T}\) jest indeksowaną rodziną zbiorów w \(X\) oraz \((C_t)_{t\in T}\) jest indeksowaną rodziną zbiorów w \(Y\), wówczas:
\(\displaystyle f\big(\bigcup_{t\in T} A_t\big) = \bigcup_{t\in T} f( A_t)\)
\(\displaystyle f\big(\bigcap_{t\in T} A_t\big) \subseteq \bigcap_{t\in T} f( A_t)\)
\(\displaystyle f^{-1}\big(\bigcup_{t\in T} C_t\big) = \bigcup_{t\in T} f^{-1}( C_t)\)
\(\displaystyle f^{-1}\big(\bigcap_{t\in T} C_t\big) = \bigcap_{t\in T} f^{-1}( C_t) .\)
Przykład 5.5
Z powyższego twierdzenia widzimy jak znaleźć przeciwobraz sumy dwóch przedziałów. Na przykład
\[f^{-1}([a,b)\cup(c,d)) = f^{-1}([a,b))\cup f^{-1}((c,d)).\]Punktu 3. nie można wzmocnić. Zobaczymy to biorąc funkcję \(f(x) = 0\) i dowolne dwa zbiory \(A, B\) takie, że \(A\cap B = \emptyset.\) Wówczas \(f(A\cap B) = \emptyset \nsupseteq \Set{0} = f(A) \cap f(B).\)
Ćwiczenie 5.7
Dla \(f : [-2,2)\times[-2,2) \to \rr\) danej wzorem \(f(x,y) = |x+y|,\) znajdźmy \(f^{-1}([2,3]\cup\Set{0}) .\)
Rozwiązanie
Korzystając z wyników poprzednich ćwiczeń otrzymamy
Ponieważ
to
5.6. Funkcje injektywne#
Definicja 5.6
Różnowartościową lub injektywną nazywamy funkcję \(f: X\to Y\) jeśli
Injekcją nazywamy funkcję, która jest injektywna.
Narration
Na mocy prawa kontrapozycji warunek ten jest równoważny warunkowi
Innymi słowy, funkcja \(f\) jest injektywna pod warunkiem, że każda wartość zbioru \(Y\) jest przyjmowana dla co najwyżej jednego argumentu ze zbioru \(X .\)
Uwaga 5.4
Graf funkcji injektywnej ma własność, że groty strzałek dochodzą do różnych punktów.
To jest graf injekcji.
To nie jest graf injekcji.
Przykład 5.6
Injekcjami są:
Funkcja \(\zz \to \rr,\; x\ \mapsto [x] .\)
Funkcja liniowa \(f(x) = ax + b\) pod warunkiem, że \(a\neq 0 .\)
Dla każdego zbioru \(X\), identyczność \(\id_X :X \to X .\)
Dla \(X \subseteq Y\), funkcja \(f: X \to Y\), \(f(x) = x .\)
Injekcjami nie są:
Część całkowita liczby \([\cdot] : \rr \to \rr .\)
Funkcja charakterystyczna podzbioru \(A\subseteq \rr\), \(\mathbb{1}_{A}: \rr \to \rr .\)
Ćwiczenie 5.8
Sprawdźmy z definicji, czy różnowartościowa jest funkcja
Rozwiązanie
Wykonujemy przekształcenia:
W szczególności to oznacza, że \(f(x_1) = f(x_2) \imply x_1 = x_2, \) czyli funkcja jest różnowartościowa.
Uwaga 5.5
Dla \(X, Y \subseteq \rr\) warto znać interpretację geometryczną:
wykres różnowartościowej funkcji \(f: X \to Y\) przecina dowolną prostą poziomą \(\Set{(x,y): y = constans}\) w co najwyżej jednym punkcie.
Ćwiczenie 5.9
Niech \(f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x.\) Posiłkując się powyższą uwagą sprawdźmy, które z funkcji są injektywne:
\(f: \rr \to \rr\)
\(f: [-3,4) \to \rr\)
\(f: (-1,2] \to \left[-\frac {16} 3, \frac {16} 3\right]\) ?
Rozwiązanie
Zapiszmy \(f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x = \frac 1 3 x\Paren{x^2 - 12}\) oraz \(f'(x) = x^2 - 4 = (x-2)(x+2) .\)
Funkcja \(f:\rr\to\rr\) nie jest injektywna, bo \(f(x) = 0 \qlq x\in\Set{-2\sqrt 3,\, 0,\, 2\sqrt 3}.\) Na przykład \(f(0) = f(2\sqrt 3) = 0,\) choć \(0 \neq 2\sqrt 3 .\) Inaczej: pozioma prosta \(y = 0\) przecina wykres w trzech punktach.
Funkcja \(f:[-3,4)\to\rr\) nie jest injektywna. Ponieważ \(2\sqrt 3 \approx 3{,}46 < 4,\) więc oba argumenty \(0\) i \(2\sqrt 3\) należą do dziedziny, a \(f(0) = f(2\sqrt 3) = 0 .\)
Funkcja \(f:(-1,2]\to\Brack{-\frac {16} 3, \frac {16} 3}\) jest injektywna. Dla \(x\in(-2,2)\) mamy \(f'(x) < 0,\) więc \(f\) jest ściśle malejąca na \([-2,2] \supseteq (-1,2] .\) Zatem dla \(x_1 < x_2\) z \((-1,2]\) mamy \(f(x_1) > f(x_2),\) czyli \(f(x_1)\neq f(x_2).\) Każda pozioma prosta przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie.
Uwaga 5.6
Dla \(X \subseteq \rr^2\), \(Y \subseteq \rr\) warto znać interpretację geometryczną:
wykres różnowartościowej funkcji \(f: X \to Y\) przecina dowolną płaszczyznę poziomą \(\Set{(x,y,z): z = constans}\) w co najwyżej jednym punkcie.
Ćwiczenie 5.10
Niech \(f((x,y)) = |x+y|.\) Posiłkując się powyższą uwagą sprawdźmy, które z funkcji są injektywne:
\(f: \rr\times\rr \to \rr\)
\(f: [-2,2)^2 \to \rr\)
\(f: (0,4)\times\Set{0} \to \rr\) ?
Rozwiązanie
Funkcja \(f:\rr\times\rr \to \rr\) nie jest injektywna, bo \(f((1,0)) = f((0,1)) = 1,\) choć \((1,0)\neq(0,1) .\) Inaczej: pozioma płaszczyzna \(z = 0\) przecina wykres w całej prostej \(y = -x .\)
Funkcja \(f:[-2,2)^2 \to \rr\) nie jest injektywna, bo punkty \((1,0)\) i \((0,1)\) należą do \([-2,2)^2\) oraz \(f((1,0)) = f((0,1)) = 1 .\)
Funkcja \(f:(0,4)\times\Set{0} \to \rr\) jest injektywna. Mamy \(f((x,0)) = |x + 0| = x\) dla \(x\in(0,4),\) więc \(f((x_1,0)) = f((x_2,0)) \imply x_1 = x_2 ,\) czyli \((x_1,0) = (x_2,0) .\) Poziome płaszczyzny przecinają wykres (odcinek) w co najwyżej jednym punkcie.
Uwaga 5.7
Załóżmy, że zbiór \(Y\) jest skończony. Jeśli \(f: X \to Y\) jest różnowartościowa, to \(Y\) ma co najmniej tyle elementów co \(X .\)
Przykład 5.7
Istnieje injekcja \(f : (0,1)^2 \to (0,1) .\) Co prawda nie da się jej zapisać przy pomocy prostego wzoru analitycznego, ale można
parze liczb \((a,b)\) przyporządkować liczbę, której nieparzyste cyfry w rozwinięciu dwójkowym są cyframi rozwinięcia dwójkowego liczby \(a\), zaś parzyste – liczby \(b .\)
Na przykład:
Stwierdzenie 5.2
Niech \(f:X\to Y\) będzie injekcją. Wówczas to dla dowolnych \(A, B\subseteq X\)
5.7. Funkcje surjektywne#
Definicja 5.7
Funkcją „na” lub surjektywną nazywamy funkcję \(f: X\to Y\), jeśli
Surjekcją nazywamy funkcję, która jest surjektywna.
Narration
Innymi słowy funkcja \(f: X \to Y\) jest surjektywna jeśli jej zbiór wartości pokrywa się z przeciwdziedziną, czyli \(f(X) = Y\)
Uwaga 5.8
Graf funkcji surjektywnej ma własność, że do każdego punktu ze zbioru \(Y\) dochodzi jakaś strzałka.
To jest graf surjekcji.
To nie jest graf surjekcji.
Przykład 5.8
Surjekcjami są:
Funkcja \(\rr \to \zz,\; x\ \mapsto [x] .\)
Funkcja liniowa \(f(x) = ax + b\) pod warunkiem, że \(a\neq 0 .\)
Dla każdego zbioru \(X\), identyczność \(\id_X .\)
Surjekcjami nie są:
Część całkowita liczby \([\cdot] : \rr \to \rr .\)
Jeśli \(X \subsetneq Y\), funkcja \(f: X \to Y\), \(f(x) = x .\)
Uwaga 5.9
Dowolna funkcja \(f: X\to Y\) zadaje funkcję surjektywną \(f: X \to f(X)\) na swój zbiór wartości, zdefiniowaną tym samym przyporządkowaniem \(x \mapsto f(x) .\)
Ćwiczenie 5.11
Sprawdźmy z definicji, czy surjekcją jest funkcja
Rozwiązanie
Metoda 1.
Ponieważ jest to funkcja holograficzna, to w szczególności wiemy jak znaleźć asymptotę poziomą. Należy przekształcić funkcją do postaci kanonicznej:
Zatem asymptota pozioma to \(y = \frac 1 2 .\) Ta wartość nie jest przyjmowana przez funkcję, bo
co jest wykluczone. Stąd, nie istnieje \(x\in \rr \setminus \Set{\tfrac 1 2}\) takie, że \(f(x) = \tfrac 1 2,\) więc \(f\) nie jest surjekcją.
Metoda 2.
Sprawdźmy, czy dla każdego \(y\in \rr\) istnieje \(x\neq \tfrac 1 2\) takie, że \(y = \dfrac{x+1}{2x-1} .\) Wykonajmy przekształcenia:
Musieliśmy założyć \(y \neq \tfrac 1 2 .\) Nie istnieje \(x\in \rr \setminus \Set{\tfrac 1 2}\) takie, że \(f(x) = \tfrac 1 2,\) więc \(f\) nie jest surjekcją.
Uwaga 5.10
Dla \(X, Y \subseteq \rr\) warto znać interpretację geometryczną:
dla każdej liczby \(c\in Y\) wykres surjektywnej funkcji \(f: X \to Y\) przecina prostą poziomą \(\Set{(x,y): y = c}\) w co najmniej jednym punkcie.
Ćwiczenie 5.12
Niech \(f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x.\) Posiłkując się powyższą uwagą sprawdźmy, które z funkcji są surjektywne:
\(f: \rr \to \rr\)
\(f: [-3,4) \to \rr\)
\(f: [-3,4) \to \left[-\frac {16} 3, \frac {16} 3\right]\) ?
Rozwiązanie
Wartości w punktach charakterystycznych: \(f(-3) = 3,\) \(f(-2) = \frac {16} 3,\) \(f(2) = -\frac {16} 3,\) \(f(4) = \frac {16} 3 .\) Ponieważ \(f'(x) = (x-2)(x+2),\) funkcja jest rosnąca na \((-\infty,-2],\) malejąca na \([-2,2]\) i rosnąca na \([2,+\infty) .\)
Funkcja \(f:\rr\to\rr\) jest surjektywna. Dla dowolnego \(c\in\rr\) równanie \(\frac 1 3 x^3 - 4x = c\) jest równaniem wielomianowym stopnia nieparzystego, więc ma rozwiązanie rzeczywiste. Inaczej: każda pozioma prosta przecina wykres w co najmniej jednym punkcie.
Funkcja \(f:[-3,4)\to\rr\) nie jest surjektywna. Z monotoniczności \(f\) na przedziałach \([-3,-2],\) \([-2,2],\) \([2,4)\) wynika, że dla \(x\in[-3,4)\) mamy \(-\frac {16} 3 \leq f(x) \leq \frac {16} 3 ,\) więc na przykład \(10\) nie jest przyjmowana.
Funkcja \(f:[-3,4)\to\Brack{-\frac {16} 3, \frac {16} 3}\) jest surjektywna. Jak wyżej, wszystkie wartości \(f\) leżą w \(\Brack{-\frac {16} 3, \frac {16} 3}.\) Ponadto \(f\) jest ciągła i malejąca na \([-2,2] \subseteq [-3,4)\) od wartości \(\frac {16} 3\) do \(-\frac {16} 3,\) więc przyjmuje na nim każdą wartość pośrednią.
Uwaga 5.11
Dla \(X \subseteq \rr^2\), \(Y \subseteq \rr\) warto znać interpretację geometryczną:
dla każdej liczby \(c\in Y\) wykres surjektywnej funkcji \(f: X \to Y\) przecina płaszczyznę poziomą \(\Set{(x,y,z): z = c}\) w co najmniej jednym punkcie.
Ćwiczenie 5.13
Niech \(f(x,y) = |x+y|.\) Posiłkując się powyższą uwagą sprawdźmy, które z funkcji są surjektywne:
\(f: \rr\times\rr \to [0,+\infty)\)
\(f: [-2,2)^2 \to [0,+\infty)\)
\(f: (0,4)\times\Set{0} \to (0,4)\) ?
Rozwiązanie
Funkcja \(f:\rr\times\rr \to [0,+\infty)\) jest surjektywna. Dla \(c\in[0,+\infty)\) mamy \((c,0)\in\rr\times\rr\) oraz \(f(c,0) = |c| = c .\) Inaczej: każda pozioma płaszczyzna \(z = c\geq 0\) przecina wykres.
Funkcja \(f:[-2,2)^2 \to [0,+\infty)\) nie jest surjektywna. Dla \((x,y)\in[-2,2)^2\) mamy \(-4 \leq x + y < 4,\) więc \(f(x,y) = |x+y| \leq 4 .\) Na przykład wartość \(5\) nie jest przyjmowana.
Funkcja \(f:(0,4)\times\Set{0} \to (0,4)\) jest surjektywna. Dla \(c\in(0,4)\) mamy \((c,0)\in(0,4)\times\Set{0}\) oraz \(f(c,0) = |c| = c .\)
Uwaga 5.12
Załóżmy, że zbiór \(X\) jest skończony. Jeśli \(f: X \to Y\) jest „na”, to \(Y\) ma co najwyżej tyle elementów co \(X .\)
Przykład 5.9
Istnieje surjekcja \(f : (0,1) \to (0,1)^2 .\) Co prawda nie da się jej zapisać przy pomocy prostego wzoru analitycznego, ale można odwrócić rozumowanie z Prz. 5.7:
liczbie \(a\) przyporządkować parę liczb \((b,c)\) w ten sposób, że cyfry \(b\) w rozwinięciu dwójkowym są cyframi nieparzystymi rozwinięcia dwójkowego liczby \(a\), zaś cyfry \(c\) – parzystymi liczby \(a .\)
Na przykład:
Stwierdzenie 5.3
Niech \(f:X\to Y\) będzie surjektywna. Wówczas dla dowolnego zbioru \(C\subseteq Y\)
5.8. Funkcje bijektywne#
Definicja 5.8
Wzajemnie jednoznaczną lub bijektywną nazywamy funkcję \(f: X \to Y\), jeśli jest injekcją i surjekcją.
Bijekcją nazywamy funkcję, która jest bijektywna.
Bijekcją zbioru \(X\) nazywamy każdą bijekcję \(f:X \to X .\)
Uwaga 5.13
Graf funkcji bijektywnej ma własność, że z każdego punktu zbioru \(X\) wychodzi dokładnie jedna strzałka i do każdego punku zbioru \(Y\) dochodzi dokładnie jedna strzałka.
To jest graf bijekcji.
To nie jest graf bijekcji.
To nie jest graf bijekcji.
Przykład 5.10
Bijekcjami są:
Funkcja \(\zz \to \zz,\; x\ \mapsto [x] .\)
Funkcja liniowa \(f(x) = ax + b\) pod warunkiem, że \(a\neq 0 .\)
Dla każdego zbioru \(X\), identyczność \(\id_X :X \to X .\)
Uwaga 5.14
Sprawdzenie, czy dana funkcja jest bijekcją sprowadza się do sprawdzenia, czy jest injekcją i surjekcją.
Interpretacja geometryczna bijekcji w przypadku gdy \(f:X \to Y\), \(X\subseteq \rr\) lub \(X\subseteq \rr^2\) oraz \(Y\subseteq \rr\) wynika z interpretacji geometrycznych injekcji i surjekcji. Słowa co najwyżej i co najmniej trzeba zamienić na dokładnie.
Ćwiczenie 5.14
Które funkcje z wcześniejszych ćwiczeń tego wykładu są bijekcjami?
Rozwiązanie
Funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest injekcją i surjekcją. Przeglądamy ćwiczenia:
Ćwiczenie 1. \(f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x\) na \(\rr\) nie jest injekcją, bo \(f(0) = f(2\sqrt 3) = 0\) (zob. ćwiczenie 9).
Ćwiczenie 2. \(f(x,y) = y\cos x\) nie jest injekcją, bo \(f(0,1) = f(2\pi,1) = 1 .\)
Ćwiczenie 3. \(f(x) = 2x + \sin x\) jest bijekcją \(\rr\to\rr .\) Jest injekcją, bo \(f'(x) = 2 + \cos x \geq 1 > 0,\) więc \(f\) jest ściśle rosnąca. Jest surjekcją, bo jest ciągła oraz \(2x - 1 \leq f(x) \leq 2x + 1,\) więc \(f(x)\to\pm\infty\) przy \(x\to\pm\infty\) i \(f\) przyjmuje każdą wartość rzeczywistą.
Ćwiczenie 4. \(f(x) = x^3 - x^2 - x + 1\) nie jest injekcją, bo \(f(-1) = f(1) = 0 .\)
Ćwiczenia 5, 6, 7. \(f(x,y) = |x+y|\) nie jest injekcją, bo \(f(1,0) = f(0,1) = 1\) (punkty te leżą w obu dziedzinach).
Ćwiczenia 8 i 11. \(f(x) = \frac{x+1}{2x-1}\) jest injekcją, ale nie surjekcją, więc nie jest bijekcją.
Ćwiczenie 9. Tylko \(f:(-1,2]\to\Brack{-\frac {16} 3, \frac {16} 3}\) jest injekcją, ale nie jest surjekcją (jej wartości leżą w \(\IntCO{-\frac {16} 3, \frac {11} 3},\) więc np. \(4\) nie jest przyjmowana), więc nie jest bijekcją. Pozostałe nie są injekcjami.
Ćwiczenie 10. Tylko \(f:(0,4)\times\Set{0}\to\rr\) jest injekcją, ale nie jest surjekcją (np. \(-1\) nie jest przyjmowana). Pozostałe nie są injekcjami.
Ćwiczenie 12. Funkcje 1 i 3 są surjekcjami, ale nie injekcjami (bo \(f(0) = f(2\sqrt 3) = 0\)); funkcja 2 nie jest surjekcją.
Ćwiczenie 13. Funkcje 1 i 2 nie są injekcjami (\(f(1,0) = f(0,1)\)). Funkcja 3, \(f:(0,4)\times\Set{0}\to(0,4),\) jest injekcją i surjekcją (ćwiczenia 10 i 13), więc jest bijekcją.
Zatem bijekcjami są: \(f(x) = 2x + \sin x\) z ćwiczenia 3 oraz \(f(x,y) = |x+y|\) na \((0,4)\times\Set{0}\to(0,4)\) z ćwiczenia 13.
Uwaga 5.15
Zbiory \(X\) i \(Y\) nazywamy równolicznymi jeśli istnieje bijekcja \(f: X \to Y .\) W ogólnym przypadku, gdy \(X\) lub \(Y\) ma nieskończoną liczbę elementów, istnieją injekcje, które nie są surjekcjami i vice versa.
Jeśli zbiory \(X\) i \(Y\) są skończone oraz mają tę samą liczbę elementów, to \(f: X \to Y\)
jest injekcją \(\qqlqq\) jest surjekcją \(\qqlqq\) jest bijekcją.
Dla \(n\)-elementowych zbiorów \(X\) i \(Y\) istnieje \(n!\) różnych injekcji/ surjekcji/ bijekcji \(X\to Y .\)
Przykład 5.11
Bijekcje zbioru skończonego \(X=\Set{1,2,\ldots,n}\) nazywamy permutacjami. Permutację \(f:X\rightarrow X\) zapisujemy:
Na przykład dla \(X=\Set{1,2,3}\) mamy \(6\) różnych permutacji:
5.9. Superpozycja funkcji#
Definicja 5.9
Superpozycję lub złożenie funkcji \(f:X\to Y\) i \(g:Y\to Z\) definiujemy jako funkcję
Funkcję \(g\) nazywamy zewnętrzną, zaś \(f\) – wewnętrzną.
Uwaga 5.16
W przypadku funkcji \(f: X\to Y\) i \(g: W \to Z\), superpozycję \(g\circ f\) definiujemy jedynie pod warunkiem, że \(Y=W .\)
Jeśli w powyższej definicji \(X=Z\), to możemy rozważać superpozycję \(f\circ g : W \to Y .\) Jeśli dodatkowo \(X=Y\), to \(f\circ g, g\circ f : X \to X .\) Należy wyraźnie podkreślić, że w takiej sytuacji superpozycja funkcji nie jest (na ogół) operacją przemienną, tzn.
Stwierdzenie 5.4
Superpozycja funkcji jest operacją łączną, tzn. dla dowolnych funkcji \(f:X\to Y\), \(g:Y\to Z\), \(h:Z\to W\) zachodzi
Przykład 5.12
Weźmy funkcje \(f,g : \rr \to \rr\) i \(h: \rr_+ \to \rr\) dane wzorami
\(f\circ g :\rr \to \rr \to \rr\) jest dana wzorem \(f \circ g(x) = f\Paren{\sqrt[3] x} = \Paren{\sqrt[3] x}^3 =x \)
\(g\circ h :\rr_+ \to \rr \to \rr\) jest dana wzorem \(g \circ h(x) = g\Paren{\ln x} = \sqrt[3]{\ln x} \)
Nie można złożyć \(h\circ g\), gdyż \(R_g = \rr \neq \rr_+ = D_h \)
\(f\circ f\circ f :\rr \to \rr\) jest dana wzorem \(f \circ f \circ f(x) = f\circ f \Paren{x^3} = f\Paren{\Paren{x^3}^3} = f\Paren{x^9} = \Paren{x^9}^3 = x^{27} .\)
Przykład 5.13
Funkcję \(f(x) = \ln^5(\sin(e^{2x+1}))\) można przedstawić jako złożenie funkcji \(f = f_5\circ f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1\), gdzie funkcje:
należy określić na odpowiednich dziedzinach.
Stwierdzenie 5.5
Niech \(f: X \to Y\), \(g: Y \to Z\) będą funkcjami. Wówczas:
jeśli \(f, g\) są injektywne, to \(g\circ f\) jest injektywna;
jeśli \(f, g\) są surjektywne, to \(g\circ f\) jest surjektywna.
5.10. Funkcja odwrotna#
Definicja 5.10
Funkcją odwrotną do funkcji \(f:X\to Y\) nazywamy funkcję \(g:Y\to X\) jeśli
Narration
Innymi słowy, funkcja \(g:Y\to X\) jest odwrotna do funkcji \(f:X\to Y\) jeśli
Jeśli funkcja odwrotna do funkcji \(f\) istnieje, to oznaczamy ją symbolem
Definicja 5.11
Odwracalną nazywamy funkcję, do której istnieje funkcja odwrotna.
Uwaga 5.17
Jeśli \(f\) jest odwracalna, to \(f^{-1}\) jest również odwracalna i co więcej \(f\) jest funkcją odwrotną do \(f^{-1} .\) Stąd mówimy, że funkcje \(f\) i \(f^{-1}\) są wzajemnie (do siebie) odwrotne.
Uwaga 5.18
Grafy funkcji wzajemnie odwrotnych różnią się jedynie kierunkami strzałek.
To jest graf funkcji \(f .\)
To jest graf funkcji \(f^{-1} .\)
Przykład 5.14
Jak już pokazaliśmy funkcje \(x \mapsto x^3\) i \(y\mapsto \sqrt[3] y\) są wzajemnie do siebie odwrotne.
Analogicznie pokazujemy, że dla dowolnej ustalonej liczby \(k\in \nn,\) funkcje
\[f: \rr \to \rr,\; x \mapsto x^{2k-1} \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr \to \rr,\; y \mapsto \sqrt[2k-1] y\]są wzajemnie odwrotne. Podobnie po zawężeniu dziedzin i przeciwdziedzin dla każdego \(\alpha \neq 0\) funkcje
\[f: \rr_+ \to \rr_+,\; x \mapsto x^{\alpha} \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr_+ \to \rr_+,\; y \mapsto y^{1/\alpha}\]są wzajemnie odwrotne.
Inną parą funkcji wzajemnie odwrotnych jest
\[f: \rr \to \rr_+,\; x \mapsto e^x \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr_+ \to \rr,\; x \mapsto \ln x\]Funkcje cyklometryczne są odwrotne do funkcji trygonometrycznych; pary funkcji wzajemnie odwrotnych to:
\[\begin{split}\begin{aligned} f : \left[-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right] \to [-1,1],\; x \mapsto \sin x \qquad & \text{oraz} \qquad f^{-1}: [-1,1] \to \left[-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right],\; x \mapsto \arcsin x \\ f: \left[0, \pi \right] \to [-1,1],\; x \mapsto \cos x \qquad & \text{oraz} \qquad f^{-1}: [-1,1] \to \left[0, \pi \right],\; x \mapsto \arccos x \\ f: \left(-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right) \to \rr,\; x \mapsto \tg x \qquad & \text{oraz} \qquad f^{-1}: \rr \to \left(-\frac\pi 2, \frac \pi 2\right),\; x \mapsto \arctan x \end{aligned}\end{split}\]
Uwaga 5.19
Należy podkreślić, że dla \(f: \rr \to \rr\) zazwyczaj zachodzi \(\displaystyle f^{-1}(x) \neq \frac 1 {f(x)}.\)
Ćwiczenie 5.15
Pokażmy z definicji, że funkcja \(f : \rr\setminus\Set{\frac 1 2}\to \rr\setminus\Set{\frac 1 2}\), \(f(x) = \dfrac{x+1}{2x-1}\), jest wzajemnie odwrotna do siebie samej, czyli \(f \circ f = \id.\)
Rozwiązanie
Wystarczy pokazać, że \(f \circ f = \id\), czyli:
Zatem \(f\) jest odwrotna do siebie samej.
Twierdzenie 5.6
Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijektywna.
Ponadto w takim przypadku funkcja odwrotna jest wyznaczona jednoznacznie.
Uwaga 5.20
Dla \(X, Y \subseteq \rr\) warto znać interpretację geometryczną:
wykres funkcji \(f^{-1}: Y \to X\) jest odbiciem wykresu \(f: X \to Y\) względem prostej \(y=x .\)
Przykład 5.15
Niech \(f : \rr \to \rr,\; f(x) = 2x-2 .\) Szkicujemy jej wykres i odbijamy go względem prostej \(y=x .\) Bez trudu odczytamy, że wspołczynnik nachylenia odbitej prostej jest równy \(\frac 1 2\) oraz przechodzi ona przez punkt \((0,1) .\) Stąd
Możemy sprawdzić, że
Uwaga 5.21
Załóżmy, że funkcja \(f:X \to Y\) jest injektywna. Wówczas \(f : X \to R_f\) jest dodatkowo surjektywna, a zatem bijektywna i istnieje funkcja odwrotna \(f^{-1}: R_f \to X .\)
Ćwiczenie 5.16
Znajdźmy funkcję odwrotną do \( f: \rr\setminus\Set{1}\to\rr\setminus\Set{2},\; f(x) = \dfrac{1}{x -1} + 2. \)
Rozwiązanie
Przyjmujemy \(y = f(x) = \tfrac{1}{x -1} + 2\) i wykonujemy przekształcenia, które doprowadzą do zależności \(x\) od \(y\):
Wnioskujemy, że \(f^{-1}:\rr\setminus\Set{2} \to \rr\setminus\Set{1} ,\) \(f^{-1}(y) = \frac{1}{y -2} + 1\) czyli \(f^{-1}(x) = \frac{1}{x -2} + 1 .\)
Twierdzenie 5.7
Jeśli funkcje \(f:X\rightarrow Y\) i \(g:Y\rightarrow Z\) są odwracalne, to \(g\circ f\) jest również odwracalna i zachodzi
Ćwiczenie 5.17
Pokażmy, że funkcja \(f(x)= e^{2x -2}\) jest odwracalna i znajdźmy funkcję do niej odwrotną.
Rozwiązanie
Funkcja \(f = f_2 \circ f_1\) jest złożeniem funkcje odwracalnych \(f_1(x) = 2x-2\) i \(f_2(x) = e^x\) (na odpowiednich dziedzinach). Funkcje do nich odwrotne to:
Zatem \(f\) jest odwracalna i odwrotna do niej to
Uwaga 5.22
Jeśli \(f:X \to Y\) jest odwracalna, to \(f^{-1}(B)\) zdaje się mieć podwójne znaczenie:
obraz zbioru \(B\) wyznaczony przez funkcję \(f^{-1}\)
przeciwobraz zbioru \(B\) wyznaczony przez \(f .\) Można pokazać, że w tym przypadku obie interpretacje wyznaczają ten sam zbiór.