Algebra zbiorów

4. Algebra zbiorów#

4.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 4.13

Wykaż metodą indukcji matematycznej, że

\[\begin{aligned} \displaystyle\forall n\in\nn\quad 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} . \end{aligned}\]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 3.10.

Definicja 4.14

Różnicę symetryczną zbiorów \(A\) i \(B\) definiuje się jako zbiór

\[A\div B = (A\setminus B)\cup (B\setminus A).\]

Ćwiczenie 4.14

Sprawdź, czy zbiory \(A=\Set{\emptyset,2}\), \(B=\emptyset\) i \(C=\Set{\emptyset,\Set{\emptyset}}\) spełniają równość

\[A\div (C\setminus B) = (B\setminus A) \cup [(A\cup C)\setminus B]\cup(B\cap C).\]

Ćwiczenie 4.15

Wyznacz

\[\begin{aligned} A\setminus \rr,\quad B\setminus \rr, \quad (B\cup C)\setminus A, \quad (A\div C)\cap \rr, \quad 2^A, \quad A^2, \quad A\times C \end{aligned}\]

dla \(A = \Set{\emptyset, \rr}\), \(B=\Set{0,\emptyset}\), \(C=\Set{\rr, \rr^2} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 4.1, Ćw. 4.5, Ćw. 4.6, Ćw. 4.7, Ćw. 4.8.

Ćwiczenie 4.16

Dla indeksowanej rodziny podzbiorów \(A_t = \Set{x\in \rr : 1+\dfrac{1}{t} \leq x \leq 3+\dfrac{2}{t}} \subseteq \rr ,\ T = \nn\) wyznacz:

\[\begin{aligned} \displaystyle \bigcup_{t\in T} A_t \ ,\quad \bigcap_{t\in T} A_t \ ,\quad \bigcup_{t\in T} A'_t \ ,\quad \bigcap_{t\in T} A'_t \ . \end{aligned}\]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 4.12, Ćw. 4.2, Ćw. 4.3, Ćw. 4.4, Ćw. 4.10, Ćw. 4.11.

Ćwiczenie 4.17

Dla indeksowanej rodziny podzbiorów \(\Set{A_t}_{t\in T}\) w przestrzeni \(\rr\) znajdź:

\[\begin{aligned} \displaystyle \bigcup_{t\in T} A_t \ ,\quad \bigcap_{t\in T} A_t \ ,\quad \bigcup_{t\in T} [0, 4] \setminus A_t \ ,\quad \bigcap_{t\in T} [0, 4] \setminus A_t \ , \end{aligned}\]

jeśli:

  1. \(A_t = \Set{x\in \rr : x^2 + 3x - 2tx - 6t = 0 },\qquad T = \nn\)

    Uwaga! Koniecznie znajdź pierwiastki wielomianu zmiennej \(x\) z parametrem \(t .\)

  2. \(A_t = \Set{x\in \rr : \sin \Paren{\tfrac \pi 2 t} < x < 4 - \tfrac 1 t},\qquad T = \nn\)

  3. \(A_t = \Set{x\in \rr : |x -t| \leq t},\qquad T = \rr_+ .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 4.12, Ćw. 4.2, Ćw. 4.3, Ćw. 4.4, Ćw. 4.10, Ćw. 4.11.

Ćwiczenie 4.18

Naszkicuj

\[\begin{aligned} \bigcup_{t\in T} A_t \ , \ \bigcap_{t\in T} A_t , \end{aligned}\]

jeśli:

  1. \(A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : x^2 + (y+1)^2 \geq t^2},\qquad T = \nn_0\)

  2. \(A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : y<tx+1},\qquad T = \rr_+ .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 4.12, Ćw. 4.10, Ćw. 4.11, Ćw. 4.9.

4.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 4.19

Wykaż metodą indukcji matematycznej:

  1. \(\forall n\in\nn\quad 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \ldots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)} 3\)

  2. \(\forall n\in\nn\quad \dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{2\cdot 3} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac n {n+1}\)

  3. \(\forall n\in\nn\quad \dfrac{1}{1\cdot 3} + \dfrac{1}{3\cdot 5} + \ldots + \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac n {2n+1} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 3.10.

Ćwiczenie 4.20

Wyznacz

\[\begin{aligned} A\setminus \Set{\rr},\quad (A\cup B)\setminus C,\quad (A\div B)\cap \rr,\quad 2^B,\quad B^2,\quad A\times B\times C \end{aligned}\]

dla \(A = \Set{\pi, \Set{\rr}}\), \(B=\Set{\Set{\rr}\times \Set{\nn},\emptyset}\), \(C=\Set{\rr \times \emptyset, (\rr, \nn)} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 4.1, Ćw. 4.5, Ćw. 4.6, Ćw. 4.7, Ćw. 4.8.

Ćwiczenie 4.21

Dla indeksowanej rodziny podzbiorów \(\Set{A_t}_{t\in T}\) zbioru \(\rr\) wyznacz:

\[\begin{aligned} \displaystyle \bigcup_{t\in T} A_t \ ,\quad \bigcap_{t\in T} A_t \ ,\quad \bigcup_{t\in T} A'_t \ ,\quad \bigcap_{t\in T} A'_t \ ,\quad \bigcup_{t\in T} \rr_+ \setminus A_t \ ,\quad \bigcap_{t\in T} \nn \setminus A_t \ , \end{aligned}\]

jeśli:

  1. \(A_t = \left[-2 - \dfrac 1 t,\, \dfrac{\sin\tfrac \pi 2 t}{t} \right],\qquad T = \nn\)

  2. \(A_t = \left[\dfrac {(-1)^t} t,\, 3 - \dfrac 1 t \right],\qquad T = \nn\)

  3. \(A_t = \left(\dfrac{5\cdot(-1)^t} t,\, 1- \dfrac 4 {t^2}\right],\qquad T = \nn\)

  4. \(A_t = \nn \setminus \Set{3t, 3t + \dfrac 6 t},\qquad T = \nn .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 4.12, Ćw. 4.2, Ćw. 4.3, Ćw. 4.4, Ćw. 4.10, Ćw. 4.11.

Ćwiczenie 4.22

Naszkicuj

\[\begin{aligned} \bigcup_{t\in T} A_t \ , \ \bigcap_{t\in T} A_t , \end{aligned}\]

jeśli:

  1. \(A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : y\leq tx(x-2)},\qquad T = \nn_0\)

  2. \(A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x > \dfrac 1 t \wedge y \geq -t},\qquad T = \nn\)

  3. \(A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x \leq t \vee y < - \dfrac 1 t},\qquad T = (1,+\infty)\)

  4. \(A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : y \geq \dfrac x t },\qquad T = \nn\)

  5. \(A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : y < tx},\qquad T = (1, +\infty)\)

  6. \(A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : y > \dfrac t x \wedge x \neq 0 },\qquad T = \nn\)

  7. \(A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : y \leq \dfrac 1 {t x} \wedge x \neq 0 },\qquad T = (1,+\infty) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 4.12, Ćw. 4.10, Ćw. 4.11, Ćw. 4.9.