Jeszcze raz macierze

11. Jeszcze raz macierze#

11.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 11.7

Jeśli to możliwe, wyznacz macierz odwrotną do macierzy:

  1. \(\begin{bmatrix} 3 & 4 & -6 \\ 4 & 3 & -6 \\ 4 & 4 & -7 \end{bmatrix}\)

  2. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & -1 \end{bmatrix}\)

  3. \(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}\)

  4. \(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}\) .

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.1, Ćw. 12.2.

Ćwiczenie 11.8

Znajdź jądra macierzy z poprzedniego zadania (należy zgłosić jako jedno rozwiązanie dla wszystkich macierzy).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.4, Ćw. 14.4.

Ćwiczenie 11.9

Znajdź jądro macierzy:

  1. \(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & 0 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}\)

  2. \(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \\ 5 & 4 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}\) .

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.4, Ćw. 14.4.

Ćwiczenie 11.10

Rozwiąż równanie macierzowe:

  1. \(\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot X + \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \)

  2. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \cdot X \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}. \)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.3.

Ćwiczenie 11.11

Niech \(X= \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}\) oraz \(A=\begin{bmatrix} 5 & 0 & -6 \\ -2 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & -4 \end{bmatrix}?\)

Czy \(X\) jest wektorem własnym macierzy \(A^n\) dla \(n\in\nn\)?

Jeśli tak, to podaj odpowiadającą wartość własną.

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.5.

Ćwiczenie 11.12

Dla podanej macierzy:

  • znajdź wartości własne

  • odpowiedz, czy jest ona nieosobliwa?

  • znajdź podprzestrzenie własne

  • dla każdej wartości własnej podaj przykładowy wektor własny

  • znajdź jądro.

  1. \(\begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ -2 & 0 & 3 \\ -2 & -2 & 5 \end{bmatrix}\)

  2. \(\begin{bmatrix} 3 & -5 & -3 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}\)

  3. \(\begin{bmatrix} 2 & -4 & -4 \\ 2 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.5.

11.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 11.13

Wyznacz macierz odwrotną do podanej lub udowodnij, że macierz odwrotna nie istnieje.

  1. \( \begin{bmatrix} j & 3\\ 1+j & 4-3j \end{bmatrix}\)

  2. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \end{bmatrix}\)

  3. \( \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}\)

  4. \( \begin{bmatrix} 3 & 2 & -3 \\ 2 & 3 & -3 \\ 2 & 2 & -2 \\ \end{bmatrix}\)

  5. \( \begin{bmatrix} -7 & 10 & 4 & -8 \\ -12 & 19 & 8 & -16 \\ -6 & 6 & 3 & -4 \\ -12 & 18 & 8 & -15 \end{bmatrix} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.1, Ćw. 12.2.

Ćwiczenie 11.14

Znajdź jądra macierzy z poprzedniego zadania oraz macierzy:

  1. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 6 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}\)

  2. \( \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & 2 & 4 & 6 \\ -2 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}\)

  3. \( \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \\ 8 & 4 & 4 & 6 \\ -3 & 3 & 6 & -3 \\ 12 & 6 & 6 & 9 \end{bmatrix} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.4, Ćw. 14.4.

Ćwiczenie 11.15

Rozwiąż równanie macierzowe.

  1. \(X \cdot \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)

  2. \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \cdot X \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 5 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}^T .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.3.

Ćwiczenie 11.16

Dla podanej macierzy:

  • znajdź wartości własne

  • odpowiedz, czy jest ona nieosobliwa?

  • znajdź podprzestrzenie własne

  • dla każdej wartości własnej podaj przykładowy wektor własny

  • znajdź jądro.

  1. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}\)

  2. \( \begin{bmatrix} j & 3 \\ -3 & j \\ \end{bmatrix}\)

  3. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 2 \\ 8 & -6 & 5 \end{bmatrix}\)

  4. \(\begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & -3 & -2 \\ -1 & 5 & 4 \end{bmatrix}\)

  5. \(\begin{bmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix}\)

  6. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -3 \\ 6 & 8 & -6 \end{bmatrix} \)

  7. \(\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}\)

  8. \(\begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & -3 & -2 \\ -1 & 5 & 4 \end{bmatrix}\)

  9. \(\begin{bmatrix} 3 & 4 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.5.