Układy równań liniowych

Zawartość

11. Układy równań liniowych#

11.1. Definicja#

Narration

Niech \(\kk\) będzie ciałem. Niech \(n,m\in\nn .\)

Definicja 11.1

Równanie liniowe nad ciałem \(\kk\) z niewiadomymi (lub zmiennymi) \(x_1,x_2, \ldots, x_n\in\kk\) definiujemy jako formę zdaniową zmiennej \((x_1, \ldots, x_n)\in\kk^n\) danej przez

\[\varphi_\alpha(x_1,\ldots,x_n) : \alpha_1 x_1 + \alpha _2 x_2 + \ldots + \alpha_n x_n = \beta,\]

gdzie \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots\alpha_n, \beta\) są danymi elementami ciała \(\kk .\)

Definicja 11.2

Układ równań liniowych \(\EqLin\) z niewiadomymi (lub zmiennymi) \(x_1,x_2, \ldots, x_n\in\kk\) definiujemy jako koniunkcję \(m\) równań liniowych i oznaczamy

(11.1)#\[\begin{split}\begin{aligned} \varphi_{\EqLin}(x_1,\ldots,x_n) : \Uklad{ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots+ a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +\ldots+ a_{2n}x_n= b_2 \\ \vdots \ \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m }, \end{aligned}\end{split}\]

gdzie \(\forall i\in\Set{1,\ldots, m} \forall j \in \Set{1, \ldots, n}\, a_{ij}, b_i \in \kk\) są danymi elementami.

Współczynnikami układu równań liniowych \(\EqLin\) nazywamy elementy \(a_{ij} .\)

Wyrazami wolnymi układu równań liniowych \(\EqLin\) nazywamy elementy \(b_{i} .\)

Definicja 11.3

Rozwiązaniem układu równań \(\EqLin\) nazywamy uporządkowany układ \((s_1,\ldots,s_n)\in\kk^n\), który spełnia formę zdaniową \(\varphi_{\EqLin},\) czyli taki, że

\[\varphi_{\EqLin}(s_1,\ldots,s_n) \qquad \text{jest zdaniem prawdziwym.}\]

Przykład 11.1

Układ \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} 2 \, x_{1} - 2 \, x_{2} + x_{3} = \left(-1\right) \\ 2 \, x_{2} + 4 \, x_{3} - x_{4} = 3 \\ 2 \, x_{1} + 5 \, x_{3} - x_{4} = 2 \end{array}\right. \end{aligned}\) ma na przykład rozwiązania \((0,0,-1,-7),\) \((1,1,-1,-5)\), gdyż każde z nich spełnia wszystkie równania. To jednak nie są wszystkie rozwiązania. Dla odmiany \((0,0,-1,-3)\) nie jest rozwiązaniem, gdyż nie spełnia np. 2. równania.

Definicja 11.4

Zbiorem rozwiązań układu równań \(\EqLin\) nazywamy wykres formy zdaniowej \(\varphi_{\EqLin}\) oznaczanym

\[\Solutions{\EqLin} = \Set{(x_1,\ldots,x_n)\in\kk^n : \varphi_{\EqLin}(x_1,\ldots,x_n)}.\]

Narration

Celem tego wykładu jest podanie metody znajdowania zbioru rozwiązań dowolnego układu równań liniowych.

11.2. Postać macierzowa#

Definicja 11.5

Macierzą współczynników układu równań \(\EqLin\) nazywamy macierz

\[A=[a_{ij}] \in \MSet{m}{n}{\kk}.\]

Macierzą (lub wektorem ) wyrazów wolnych układu równań \(\EqLin\) nazywamy macierz

\[B = [b_i] \in \MSet{m}{1}{\kk}.\]

Przykład 11.2

Dla układu \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} 2 \, x_{1} - 2 \, x_{2} + x_{3} = \left(-1\right) \\ 2 \, x_{2} + 4 \, x_{3} - x_{4} = 3 \\ 2 \, x_{1} + 5 \, x_{3} - x_{4} = 2 \end{array}\right. \end{aligned}\) macierz współczynników i wektor wyrazów wolnych to odpowiednio:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} A & = \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \\ 2 & 0 & 5 & -1 \end{array}\right] , & B & = \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right] . \end{aligned}\end{split}\]

Definicja 11.6

Macierzą (lub wektorem ) niewiadomych układu równań \(\EqLin\) nazywamy macierz

\[X = [x_j] \in \MSet{n}{1}{\kk}.\]

Przykład 11.3

Zauważmy, że dla macierzy z Prz. 11.2

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} A\cdot X = \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \\ 2 & 0 & 5 & -1 \end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{r} 2 \, x_{1} - 2 \, x_{2} + x_{3} \\ 2 \, x_{2} + 4 \, x_{3} - x_{4} \\ 2 \, x_{1} + 5 \, x_{3} - x_{4} \end{array}\right] . \end{aligned}\end{split}\]

Stwierdzenie 11.1

Układ równań \(\EqLin\) dany przez (11.1) jest równoważny równaniu

(11.2)#\[\begin{aligned} A\cdot X = B. \end{aligned}\]

Wniosek 11.2

Przy założeniach z twierdzenia uporządkowany układ \((s_1,\ldots,s_n)\in\kk^n\) jest rozwiązaniem \(\EqLin\) wtedy i tylko wtedy, gdy

\[A\cdot S = B, \qquad \text{gdzie} \qquad S = [s_j]\in \MSet{n}{1}{\kk}.\]

Definicja 11.7

Postacią macierzową układu równań liniowych \(\EqLin\) nazywamy równanie macierzowe (11.2).

Rozwiązaniem w postaci macierzowej układu \(\EqLin\) nazywamy macierz \(S \) z Wn. 11.2.

Zbiór rozwiązań równania macierzowego (11.2) oznaczymy przez \(\SolutionsMatrix{A,B}.\)

Przykład 11.4

W celu sprawdzenia czy

\[\displaystyle \begin{aligned} S_1 = \left[ \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] ^T, S_2 = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right] ^T \in \SolutionsMatrix{A,B} \end{aligned}\]

są rozwiązaniami w postaci macierzowej dla danych z Prz. 11.2, możemy wykonać mnożenie

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \\ 2 & 0 & 5 & -1 \end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 0 & 5 \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{rr} -1 & -1 \\ 6 & 3 \\ 5 & 2 \end{array}\right] . \end{aligned}\end{split}\]

Ponieważ:

pierwsza kolumna macierzy z prawej strony jest różna od \(B\), to \(S_1\) nie jest rozwiązaniem
druga kolumna tej macierzy jest równa \(B\), więc \(S_2\) jest rozwiązaniem w postaci macierzowej.

To oczywiście oznacza, że \(\displaystyle \begin{aligned} \left( 0,\,1,\,1,\,0\right) \end{aligned}\) nie jest, zaś \(\displaystyle \begin{aligned} \left( 1,\,2,\,1,\,5\right) \end{aligned}\) jest rozwiązaniem układu \(\EqLin .\)

11.3. Układy Cramera#

Definicja 11.8

Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych \(\EqLin\), jeśli jednocześnie:

liczba równań jest równa liczbie niewiadomych
macierz współczynników układu ma wyznacznik różny od zera.

Twierdzenie 11.3 (Cramera)

Niech \(\EqLin\) będzie układem Cramera równań liniowych o macierzach: współczynników \(A\) i wyrazów wolnych \(B .\) Wówczas \(\EqLin\) ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono dane wzorami Cramera

\[\begin{aligned} x_1 & = \dfrac{\det W_{1}}{\det A}, & x_2 & = \dfrac{\det W_{2}}{\det A}, & & \ldots& x_n & = \dfrac{\det W_{n}}{\det A}. \end{aligned}\]

gdzie \(A\) jest macierzą współczynników układu \(\EqLin\), zaś \(W_{j}\) jest macierzą otrzymaną z macierzy \(A\) poprzez zastąpienie \(j\)-tej kolumny macierzy \(A\), kolumną wyrazów wolnych \(B .\)

Ćwiczenie 11.1

Rozwiążmy układ równań \(\Uklad{ x_1 - x_3 = -2 \\x_2 -x_3 = -1 \\ x_1 + x_2 = 3}.\)

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 10.6.

Rozwiązanie

Macierz współczynników tego układu to \(\displaystyle \begin{aligned} A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}\);

macierz wyrazów wolnych \(\displaystyle \begin{aligned} B = \left[ \begin{array}{r} -2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right] \end{aligned}\).

Ponieważ \(\displaystyle \begin{aligned} \det A = 2 \neq 0 \end{aligned}\), oraz

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \det W_1 & = \left| \begin{array}{rrr} -2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right| = 2, & \det W_2 & = \left| \begin{array}{rrr} 1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \end{array}\right| = 4, & \det W_3 & = \left| \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right| = 6, \end{aligned}\end{split}\]

zatem rozwiązaniem układu jest:

\[\displaystyle \begin{aligned} x_1 & = \frac{\det W_1}{\det A} = 1, & x_2 & = \frac{\det W_2}{\det A} = 2, & x_3 & = \frac{\det W_3}{\det A} = 3. \end{aligned}\]

11.4. Układy jednorodne#

Definicja 11.9

Jednorodnym nazywamy układ równań liniowych \(\EqLin\), jeśli jego macierz wyrazów wolnych jest zerowa. Innymi słowy jest to układ równań, który ma postać macierzową

\[A\cdot X = \oo.\]

Uwaga 11.1

Każdy układ liniowy jednorodny ma co najmniej jedno rozwiązanie, czyli

\[x_1 = \ldots = x_n =0.\]
Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu Cramera jest rozwiązanie zerowe.

Stwierdzenie 11.4

Niech \(\EqLin\) będzie jednorodnym układem \(m\in\nn\) równań liniowych z macierzą współczynników \(A\in\MSet{m}{n}{\kk} .\) Wówczas:

jeśli \(\rank A = n\), to \(\EqLin\) ma dokładnie jedno rozwiązanie (t.j. \(x_1 = \ldots = x_n =0\)).
jeśli \(\rank A < n\), to \(\EqLin\) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(n-\rank A\) parametrów.

W szczególności jeśli \(\rank A = m\), to liczba parametrów jest równa

(liczba zmiennych) \(-\) (liczba równań).

Uwaga 11.2

Jeśli \(\rank A = n\), to \(n - \rank A = 0 .\) Zatem, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy jest zero parametrów rozwiązań.

Przykład 11.5

Liczba parametrów rozwiązania układu równań \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} 2 \, x_{1} - 2 \, x_{2} + x_{3} = 0 \\ 2 \, x_{2} + 4 \, x_{3} - x_{4} = 0 \\ 2 \, x_{1} + 5 \, x_{3} - x_{4} = 0 \end{array}\right. \end{aligned}\) jest równa 2. Istotnie, wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} A = \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \end{array}\right] \xrightarrow{w_{3} + (-1 \cdot w_{1})} \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \end{array}\right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \end{array}\right]. \end{aligned}\end{split}\]

Ponieważ ostatnia macierz jest w postaci schodkowej, to jej rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy, czyli \(2.\) Liczba parametrów układu to \(n - \rank A = 4 - 2 = 2 .\)

Definicja 11.10

Macierzą schodkową zredukowaną (lub w postaci schodkowej zredukowanej) nazywamy macierz \(A\in\MSet{m}{n}{\kk}\), która spełnia warunki:

\(A\) jest w postaci schodkowej
w każdym wierszu \(A\) pierwszy niezerowy wyraz jest równy 1, i inne wyrazy w jego kolumnie są zerami.

Przykład 11.6

\[\begin{split} \begin{aligned} \Macierz{ 1 & 3 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 } \end{aligned} \end{split}\]

Przykład 11.7

Przykłady macierzy, które nie są w postaci schodkowej zredukowanej:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} B_1 & = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] , & B_2 & = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] , \\ B_3 & = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] , & B_4 & = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] . \end{aligned}\end{split}\]

Stwierdzenie 11.5

Przy pomocy operacji elementarnych na wierszach, każdą macierz można przekształcić do postaci schodkowej zredukowanej.

Przykład 11.8

Dla macierzy z Prz. 11.7 można wykonać następujące operacje elementarne prowadzące macierz do postaci schodkowej zredukowanej:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} B_1 & = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 2 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{1/2 \cdot w_{1}} \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{array}\right] \\ B_2 & = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{w_{1} + (-4 \cdot w_{2})} \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ B_3 & = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right] \xrightarrow{1/2 \cdot w_{1}} \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right]\\ & \xrightarrow{-1/3 \cdot w_{2}} \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{w_{1} + (1 \cdot w_{2})} \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ B_4 & = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{w_{1} + (-2 \cdot w_{3})} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\\ & \xrightarrow{-1/2 \cdot w_{2}} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}\end{split}\]

Twierdzenie 11.6

Niech \(A\in\MSet{m}{n}{\kk}\) będzie macierzą współczynników jednorodnego układu równań liniowych \(\EqLin .\) Niech \(A'\) będzie wynikiem skończonej liczby wierszowych operacji elementarnych na \(A\):

pomnożenie wiersza przez stałą różną od \(0\)
zamiana wierszy miejscami
dodanie do wiersza kombinacji liniowej innych wierszy
skreślenie zerowego wiersza
skreślenie wiersza liniowo zależnego od innych wierszy.

Załóżmy, że \(A'\) jest macierzą współczynników nowego jednorodnego układu \(\EqLin' .\) Wówczas zbiory rozwiązań \(\EqLin\) i \(\EqLin'\) są sobie równe: \(\Solutions{\EqLin} =\Solutions{\EqLin'} .\)

Uwaga 11.3

Ponieważ wiersze \(A\) odpowiadają lewym stronom równań układu \(\EqLin\), to operacje elementarne z powyższego twierdzenia odpowiadają odpowiednim operacjom na równaniach układu \(\EqLin .\) Wystarczy zamiast odpowiedniej odmiany słowa „wiersz” wstawić odpowiednią odmianę słowa „równanie”.

11.4.1. Metoda eliminacji#

Narration

Metoda eliminacji rozwiązywania jednorodnego układu równań \(\EqLin\), polega na przekształceniu, zgodnie z powyższym twierdzeniem, jego macierzy współczynników \(A\) do postaci schodkowej zredukowanej \(C .\) Następnie należy zapisać jednorodny układ równań o macierzy współczynników \(C\) i z niego odczytać rozwiązanie.

Ćwiczenie 11.2

Rozwiążmy układ równań: \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} 2 \, x_{1} - 2 \, x_{2} + x_{3} = 0 \\ 2 \, x_{2} + 4 \, x_{3} - x_{4} = 0 \\ 2 \, x_{1} + 5 \, x_{3} - x_{4} = 0 \end{array}\right. . \end{aligned}\)

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 10.7, Ćw. 10.11.

Rozwiązanie

Wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy współczynników tego układu:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} A & = \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \end{array}\right] \xrightarrow{w_{3} + (-1 \cdot w_{1})} \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \end{array}\right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \end{array}\right] \\ & \xrightarrow{w_{1} + (1 \cdot w_{2})} \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 \end{array}\right] \xrightarrow{1/2 \cdot w_{1}} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 2 & 4 & -1 \end{array}\right] \xrightarrow{1/2 \cdot w_{2}} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 2 & -\frac{1}{2} \end{array}\right] \end{aligned}\end{split}\]

Otrzymujemy układ \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{1} + \frac{5}{2} \, x_{3} - \frac{1}{2} \, x_{4} = 0 \\ x_{2} + 2 \, x_{3} - \frac{1}{2} \, x_{4} = 0 \end{array}\right. . \end{aligned}\) Rozwiązanie to \( \left\{\begin{array}{l} x_1 = -\frac 5 2 t_1 + \frac 1 2 t_2 \\ x_2 = -2t_1 + \frac 1 2 t_2 \\ x_3 = t_1\\ x_4 = t_2 \end{array}\right. , t_1, t_2 \in \rr. \)

Ćwiczenie 11.3

Rozwiążmy jednorodne układy równań liniowych o macierzach współczynników z Prz. 11.7

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 10.7, Ćw. 10.11.

Rozwiązanie

Macierzy współczynników \(\displaystyle \begin{aligned} B_{1} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}\) odpowiada układ \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} 2 \, x_{2} + 3 \, x_{3} = 0 \\ 0 = 0 \end{array}\right. . \end{aligned}\)

Przy pomocy operacji elementarnych przekształciliśmy ją do postaci \(\displaystyle \begin{aligned} C_{1} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{array}\right] \end{aligned}\), która odpowiada układowi \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{2} + \frac{3}{2} \, x_{3} = 0 \end{array}\right. . \end{aligned}\)

Rozwiązanie to \( \left\{\begin{array}{l} x_1 = t_1 \\ x_2 = -\frac 3 2 t_2 \\ x_3 = t_2 \end{array}\right., \) \(\displaystyle \begin{aligned} \left. t_{1},\,t_{2}\right. \in \rr. \end{aligned}\)
Macierzy współczynników \(\displaystyle \begin{aligned} B_{2} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}\) odpowiada układ \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{1} + 3 \, x_{2} = 0 \\ x_{3} = 0 \end{array}\right. . \end{aligned}\)

Przy pomocy operacji elementarnych przekształciliśmy ją do postaci \(\displaystyle \begin{aligned} C_{2} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}\), która odpowiada układowi \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{1} + 3 \, x_{2} = 0 \\ x_{3} = 0 \end{array}\right. . \end{aligned}\)

Rozwiązanie to \( \left\{\begin{array}{l} x_1 = -3 t_1 \\ x_2 = t_1 \\ x_3 = 0 \end{array}\right., \) \(\displaystyle \begin{aligned} \left. t_{1}\right. \in \rr. \end{aligned}\)
Macierzy współczynników \(\displaystyle \begin{aligned} B_{3} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}\) odpowiada układ \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} 2 \, x_{2} - 2 \, x_{3} = 0 \\ -3 \, x_{3} = 0 \\ 0 = 0 \end{array}\right. . \end{aligned}\)

Przy pomocy operacji elementarnych przekształciliśmy ją do postaci \(\displaystyle \begin{aligned} C_{3} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}\), która odpowiada układowi

\(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{2} = 0 \\ x_{3} = 0 \end{array}\right. . \end{aligned}\) Rozwiązanie to \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} x_{1} = t_{1} \\ x_{2} = 0 \\ x_{3} = 0 \end{array}\right. \end{aligned}\), \(\displaystyle \begin{aligned} \left. t_{1}\right. \in \rr. \end{aligned}\)
Macierzy współczynników \(\displaystyle \begin{aligned} B_{4} = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}\) odpowiada układ \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{1} - 3 \, x_{3} = 0 \\ x_{2} - 2 \, x_{3} = 0 \\ x_{4} = 0 \end{array}\right. . \end{aligned}\)

Przy pomocy operacji elementarnych przekształciliśmy ją do postaci \(\displaystyle \begin{aligned} C_{4} = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}\), która odpowiada układowi \(\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{1} - 3 \, x_{3} = 0 \\ x_{2} - 2 \, x_{3} = 0 \\ x_{4} = 0 \end{array}\right. . \end{aligned}\)

Rozwiązanie to \( \left\{\begin{array}{l} x_1 = 3 t_1 \\ x_2 = 2 t_1 \\ x_3 = t_1 \\ x_4 = 0 \end{array}\right., \) \(\displaystyle \begin{aligned} \left. t_{1}\right. \in \rr. \end{aligned}\)

W każdym z tych rozwiązań liczba parametrów jest zgodna z Stw. 11.4.

11.5. Układy niejednorodne#

Definicja 11.11

Niejednorodnym nazywamy układ równań liniowych, który nie jest jednorodny.

Narration

Jak zobaczymy, niejednorodne układy równań liniowych rozwiązuje się analogicznie do układów jednorodnych, tym razem wykonując operacje na macierzy rozszerzonej.

Definicja 11.12

Macierzą rozszerzoną układu równań \(\EqLin\) zadanego przez (11.1) nazywamy macierz

\[\begin{split}\begin{aligned} A|B = \Macierz{ a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & | &b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & | & b_m } \end{aligned}\end{split}\]

Uwaga 11.4

Z definicji rzędu macierzy widać, że

\[\rank A \leq \rank A|B.\]

Istotnie, dodanie kolumny do macierzy \(A\) zwiększa liczbę minorów, więc każdy niezerowy minor macierzy \(A\) jest niezerowym minorem macierzy \(A|B .\)

Twierdzenie 11.7 (Kroneckera-Capellego)

Układ równań liniowych \(\EqLin\) o macierzy rozszerzonej \(A|B\) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

\[\rank A = \rank A|B = k.\]

Ponadto

jeśli \(k = n\), to \(\EqLin\) ma dokładnie jedno rozwiązanie
jeśli \(k < n\), to \(\EqLin\) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(n-k\) parametrów.

Uwaga 11.5

Jeśli układ \(\EqLin\) jest Cramera (\(n\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi), to \(\rank A = n\) jest maksymalny, więc \(\rank A|B = n\) (większy być nie może). Zatem zgadza się to z powyższym twierdzeniem.
Wykonując jedynie wierszowe operacje elementarne, możemy jednocześnie znajdować rzędy obu macierzy \(A\) i \(A|B\), oraz doprowadzać macierz \(A|B\) do postaci schodkowej i schodkowej zredukowanej.

Przykład 11.9

Zbadajmy w kilku przypadkach, czy istnieją rozwiązania układów równań liniowych o danych macierzach rozszerzonych.

Dla \(\displaystyle \begin{aligned} A_1|B_1 = \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 0 & 2 & 5 \end{array}\right] \xrightarrow{w_{3} + (2 \cdot w_{2})} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \end{array}\right] \end{aligned}\), widzimy, że

\[\rank A_1 = 2 \neq \rank A_1|B_1 = 3.\]

Zatem z twierdzenia K-C układ nie ma rozwiązań.
Dla \(\displaystyle \begin{aligned} A_2|B_2 = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & -4 & 2 & -2 \end{array}\right] \xrightarrow{w_{3} + (4 \cdot w_{2})} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 10 \end{array}\right], \end{aligned}\) widzimy, że

\[k=\rank A_2 = \rank A_2|B_2 = 3.\]

Zatem z twierdzenia K-C układ ma rozwiązanie z \(n - k = 3 - 3 = 0\) parametrami. Innymi słowy jest jedno rozwiązanie.
Dla \(\displaystyle \begin{aligned} A_3|B_3 = \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right] \xrightarrow{w_{2} + (-2 \cdot w_{1})} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right], \end{aligned}\) widzimy, że

\[k=\rank A_3 = \rank A_3|B_3 = 2.\]

Zatem z twierdzenia K-C układ ma rozwiązanie z \(n - k = 4 - 2 = 2\) parametrami.

Twierdzenie 11.8

Niech \(A|B\) będzie macierzą rozszerzoną układu równań liniowych \(\EqLin .\) Niech \(A'|B'\) będzie wynikiem skończonej liczby wierszowych operacji elementarnych na \(A|B\):

pomnożenie wiersza przez stałą różną od \(0\)
zamiana wierszy miejscami
dodanie do wiersza kombinacji liniowej innych wierszy
skreślenie zerowego wiersza
skreślenie wiersza liniowo zależnego od innych wierszy.

Jeśli \(A'|B'\) jest macierzą rozszerzoną układu \(\EqLin'\), to zbiory rozwiązań \(\EqLin\) i \(\EqLin'\) są sobie równe: \(\Solutions{\EqLin} =\Solutions{\EqLin'} .\)

Uwaga 11.6

Ponieważ wiersze macierzy \(A|B\) odpowiadają równaniom układu \(\EqLin\), to operacje z powyższego twierdzenia odpowiadają odpowiednim operacjom na równaniach układu \(\EqLin .\) Wystarczy zamiast odpowiedniej odmiany słowa „wiersz” wstawić odpowiednią odmianę słowa „równanie”.

11.5.1. Metoda eliminacji#

Narration

Metoda eliminacji rozwiązywania niejednorodnego układu równań \(\EqLin\), polega na przekształceniu, zgodnie z powyższym twierdzeniem, jego macierzy rozszerzonej \(A|B\) do postaci schodkowej zredukowanej. Następnie korzystając z tw. Kroneckera-Capellego należy sprzawdzić, czy układ ma rozwiązanie. Jeśli to prawda należy zapisać układ równań o powstałej macierzy rozszerzonej i z niego odczytać rozwiązanie.

Ćwiczenie 11.4

Rozwiążmy układy równań liniowych o macierzach rozszerzonych z Prz. 11.9

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 10.8, Ćw. 10.12.

Rozwiązanie

Jak już pokazaliśmy układ

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{1} + 2 \, x_{2} + 3 \, x_{3} + 4 \, x_{4} = 5 \\ 2 \, x_{2} - x_{4} = 1 \\ -4 \, x_{2} + 2 \, x_{4} = 5 \end{array}\right. \end{aligned}\end{split}\]

o macierzy rozszerzonej \(A_1|B_1\) (z Prz. 11.9) nie ma rozwiązań.
Układ

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{1} - 2 \, x_{2} = 5 \\ x_{2} - x_{3} = 3 \\ -4 \, x_{2} + 2 \, x_{3} = \left(-2\right) \end{array}\right. \end{aligned}\end{split}\]

o macierzy rozszerzonej \(A_2|B_2\) (z Prz. 11.9) ma jedno rozwiązanie. Można je znaleźć metodą Cramera lub kontynuując operacje na wierszach

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} A_2|B_2 & \ \cdots\longrightarrow \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -5 \end{array}\right] \xrightarrow{-1/2 \cdot w_{3}} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -5 \end{array}\right] \\ & \xrightarrow{w_{2} + (1 \cdot w_{3})} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -5 \end{array}\right] \xrightarrow{w_{1} + (2 \cdot w_{2})} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -5 \end{array}\right]. \end{aligned}\end{split}\]

Ostatnia macierz jest w postaci schodkowej zredukowanej, z której odczytujemy rozwiązanie:

\[x_1 = 1,\ x_2 = -2,\ x_3 = -5 .\]
Układ

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{1} - x_{2} + x_{4} = 1 \\ 2 \, x_{1} - 2 \, x_{2} + x_{3} + 2 \, x_{4} = 5 \end{array}\right. \end{aligned}\end{split}\]

o macierzy rozszerzonej \(A_3|B_3\) ma rozwiązanie z dwoma parametrami. Ta macierz po przekształceniach ma postać \(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right] \end{aligned}\) i jest w postaci schodkowej zredukowanej. Zapisujemy odpowiadający jej układ równań

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{1} - x_{2} + x_{4} = 1 \\ x_{3} = 3 \end{array}\right. \end{aligned}\end{split}\]

i odczytujemy rozwiązanie \(\left\{\begin{array}{l} x_1 = 1 + t_1 - t_2 \\ x_2 = t_1 \\ x_3 = 3 \\ x_4 = t_2 \end{array}\right. , t_1, t_2 \in \rr. \)

Ćwiczenie 11.5

Rozwiążmy układ równań \( \Uklad{ 2x_1 - 2x_2 + x_3 = -1 \\ 2x_2 + 4x_3 -x_4 = 3 \\ 2x_1 + 5x_3 - x_4 = 2 }. \)

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 10.8, Ćw. 10.12.

Rozwiązanie

Wykonujemy operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej tego układu:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} A|B & = \left[ \begin{array}{rrrrr} 2 & -2 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & -1 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{w_{3} + (-1 \cdot w_{1})} \left[ \begin{array}{rrrrr} 2 & -2 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & -1 & 3 \end{array}\right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{rrrrr} 2 & -2 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 & 3 \end{array}\right] \\ & \xrightarrow{w_{1} + (1 \cdot w_{2})} \left[ \begin{array}{rrrrr} 2 & 0 & 5 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & -1 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{1/2 \cdot w_{1}} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 4 & -1 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{1/2 \cdot w_{2}} \left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{array}\right]. \end{aligned}\end{split}\]

Otrzymujemy układ

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{r} x_{1} + \frac{5}{2} \, x_{3} - \frac{1}{2} \, x_{4} = 1 \\ x_{2} + 2 \, x_{3} - \frac{1}{2} \, x_{4} = \left(\frac{3}{2}\right) \end{array}\right. . \end{aligned}\end{split}\]

Rozwiązanie to \( \left\{\begin{array}{l} x_1 = 1-\frac 5 2 t_1 + \frac 1 2 t_2 \\ x_2 = \frac 3 2 -2t_1 + \frac 1 2 t_2 \\ x_3 = t_1 \\ x_4 = t_2 \end{array}\right. , t_1, t_2 \in \rr. \)

Ćwiczenie 11.6

Określmy liczbę rozwiązań układu \(\Uklad{ 1+(a-1) x_1+a x_2+x_4 = 0\\ -2-a-2 a x_2+(1+a) x_3-2 x_4 = 0 \\ a+(a-1) x_1 -(1+a) x_3 = 0 }\) w zależności od parametru \(a\in\rr .\)

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 10.9, Ćw. 10.13, Ćw. 10.14, Ćw. 10.15.

Rozwiązanie

Macierz rozszerzona układu to \( A|B = \Macierz{ a-1 & a & 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 a & 1+a & -2 & 2+a \\ a-1 & 0 & -1-a & 0 & -a }. \)

Sprawdźmy, dla jakich \(a\in\rr\) rząd macierzy \(A\) jest maksymalny (równy 3). W tym celu obliczmy minor powstały z 3. pierwszych kolumn \(A\) (i jednocześnie 3. pierwszych kolumn \(A|B\)):

\[\begin{split}\begin{aligned} \Det{ a-1 & a & 0 \\ 0 & -2 a & 1+a \\ a-1 & 0 & -1-a } = (a-1)(-2a)(-1-a) + a(1+a)(a-1) = 3a(a-1)(a+1). \end{aligned}\end{split}\]

Zatem dla \(a\in \rr\setminus\Set{-1,0,1}\) jest to minor niezerowy, co implikuje, że dla nich \(\rank A = \rank A|B = 3.\) Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że w tym przypadku układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \((4-3) = 1\) parametru.
Pozostaje sprawdzić przypadki, gdy \(a = -1,0,1 .\)
- Dla \(a=-1\) mamy
  
  \[\begin{split}\begin{aligned} A|B & = \Macierz{ -2 & -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 0 & 0 & 1 } \longrightarrow \Macierz{ 0 & -1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 0 & 0 & 1 } \\ & \longrightarrow \Macierz{ 0 & -1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ -2 & 0 & 0 & 0 & 1 } \longrightarrow \Macierz{ -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 }. \end{aligned}\end{split}\]
  
  Jest to macierz schodkowa, więc wnioskujemy, że \(\rank A = 2 \neq \rank A|B = 3\), co oznacza, że zbiór rozwiązań jest pusty.
- Dla \(a=0\) mamy
  
  \[\begin{split}\begin{aligned} A|B = \Macierz{ -1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 2 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 0 } \longrightarrow \Macierz{ -1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 1 } \longrightarrow \Macierz{ -1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 3 }. \end{aligned}\end{split}\]
  
  Jest to macierz schodkowa, więc wnioskujemy, że \(\rank A = \rank A|B = 3 .\) Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \((4-3) = 1\) parametru.
- Dla \(a=1\) mamy
  
  \[\begin{split}\begin{aligned} A|B = \Macierz{ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 } \longrightarrow \Macierz{ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 } \longrightarrow \Macierz{ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } \end{aligned}\end{split}\]
  
  Jest to macierz schodkowa, więc wnioskujemy, że \(\rank A = \rank A|B = 2 .\) Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \((4-2) = 2\) parametrów.

Podsumujmy:

dla \(a = -1\) układ jest sprzeczny
dla \(a\in\rr\setminus\Set{-1,1}\) rozwiązanie układu zależy od 1 parametru
dla \(a = 1\) rozwiązanie układu zależy od 2 parametrów.