13. Przestrzenie liniowe I#
13.1. Definicja#
Przykład 13.1
Niech \(V = \rr^2\) i niech \(\kk = \rr\) będzie ciałem liczb rzeczywistych z dodawaniem zapisywanym jako \(\oplus\) i mnożeniem zapisywanym jako \(\odot .\)
Niech \(+ : V^2 \to V\) będzie działaniem
Niech \(\cdot: \kk \times V \to V\) będzie działaniem zewnętrznym
Sprawdźmy, że spełnione są następujące warunki:
\((V, +)\) jest grupą przemienną, czyli istnieje wektor zerowy \(\oo\in V\) oraz
\(+\) jest łączne, czyli dla dowolnych \(u,v,w \in V\) zachodzi
\[\begin{split}\begin{aligned} (u + v) + w & = ((u_1,\ u_2) + (v_1,\ v_2)) + (w_1,\ w_2) = (u_1 \oplus v_1 \oplus w_1,\ u_2 \oplus v_2 \oplus w_2) \\ & = (u_1,\ u_2) + ((v_1,\ v_2) + (w_1,\ w_2)) = u + (v + w) \end{aligned}\end{split}\]\(\oo\) jest elementem neutralnym \(+\), czyli dla każdego \(u\in V\) zachodzi
\[\begin{split}\begin{aligned} u + \oo = (u_1,\ u_2) + (0,\ 0) & = (u_1 \oplus 0,\ u_2 \oplus 0) = (u_1,\ u_2) = u \\ & = (0 \oplus u_1,\ 0 \oplus u_2) = (0,\ 0) + (u_1,\ u_2) = \oo + u \end{aligned}\end{split}\]dla każdego \(u\in V\) istnieje wektor przeciwny \(-u\in V\) taki, że
\[\begin{aligned} u + (-u) & = (u_1,\ u_2) + (\ominus u_1,\ \ominus u_2) = (u_1 \ominus u_1,\ u_2 \ominus u_2) = (0,\ 0) = \oo \end{aligned}\]\(+\) jest przemienne, czyli dla dowolnych \(u,v \in V\) zachodzi
\[\begin{split}\begin{aligned} u + v & = (u_1,\ u_2) + (v_1,\ v_2) = (u_1 \oplus v_1,\ u_2 \oplus v_2) = (v_1 \oplus u_1,\ v_2 \oplus u_2) \\ & = (v_1,\ v_2) + (u_1,\ u_2) = v + u \ . \end{aligned}\end{split}\]
Dla dowolnych \(\alpha,\ \beta\in\kk\) i dowolnych \(u,\ v\in V\) zachodzi:
rozdzielność mnożenia \(\cdot\) względem dodawania \(\oplus\) i \(+\)
\[\begin{split}\begin{aligned} (\alpha\oplus \beta) \cdot v & = ((\alpha\oplus \beta) \odot v_1,\ (\alpha\oplus \beta) \odot v_2) = ( \alpha \odot v_1 \oplus \beta \odot v_1,\ \alpha \odot v_2 \oplus \beta \odot v_2 ) \\ & = ( \alpha \odot v_1 ,\ \alpha \odot v_2 ) + ( \beta \odot v_1,\ \beta \odot v_2 ) = \alpha\cdot v + \beta \cdot v \, \end{aligned}\end{split}\]rozdzielność mnożenia \(\cdot\) względem dodawania \(+\)
\[\begin{split}\begin{aligned} \alpha\cdot (u+v) & = \alpha\cdot (u_1 \oplus v_1,\ u_2 \oplus v_2) = (\alpha\odot (u_1 \oplus v_1),\ \alpha\odot (u_2 \oplus v_2)) \\ & = ( \alpha \odot u_1 \oplus \alpha \odot v_1,\ \alpha \odot u_2 \oplus \alpha \odot v_2 ) \\ & = ( \alpha \odot u_1 ,\ \alpha \odot u_2 ) + ( \alpha \odot v_1,\ \alpha \odot v_2 ) = \alpha\cdot u + \alpha\cdot v \, \end{aligned}\end{split}\]\(\alpha\cdot (\beta\cdot v) = \alpha\cdot (\beta \odot v_1,\ \beta \odot v_2) = (\alpha\odot\beta \odot v_1,\ \alpha\odot\beta \odot v_2) = (\alpha\odot \beta)\cdot v \, \)
\( 1 \cdot v = (1 \odot v_1 ,\ 1 \odot v_2) = v ,\ \quad \) gdzie 1 oznacza jedynkę ciała \(\kk .\)
Są to warunki definiujące przestrzeń liniową.
Narration
Niech \(\kk\) będzie ciałem z działaniami dodawania \(\oplus\) i mnożenia \(\odot .\)
Definicja 13.1
Przestrzenią liniową lub wektorową \(V\) {nad \(\kk\)} nazywamy niepusty zbiór \(V\) z działaniami: - dodawania wektorów \(+ : V^2 \to V,\) \quad \((u,\ v) \mapsto u + v \)
mnożenia przez skalar \(\cdot: \kk \times V \to V,\) \quad \( (\alpha, v) \mapsto \alpha\cdot v \)
jeśli spełnione są następujące warunki:
\((V,+)\) jest grupą przemienną, czyli istnieje wektor zerowy \(\oo\in V\) oraz
dla dowolnych \(u,v,w \in V\) zachodzi \((u + v) + w = u + (v + w) \)
dla każdego \(u\in V\) zachodzi \(u + \oo = \oo + u = u \)
dla każdego \(u\in V\) istnieje wektor przeciwny \(-u\in V\) taki, że \(u + (-u) = \oo \)
dla dowolnych \(u,v \in V\) zachodzi \(u + v = v + u \, .\)
dla dowolnych \(\alpha,\beta\in\kk\) i dowolnych \(u,v\in V\):
\((\alpha\oplus \beta) \cdot v = \alpha\cdot v + \beta \cdot v\)
\(\alpha\cdot (u+v) = \alpha\cdot u + \alpha\cdot v\)
\(\alpha\cdot (\beta\cdot v) = (\alpha\odot \beta)\cdot v\)
\(1 \cdot v = v\) (gdzie 1 oznacza jedynkę ciała \(\kk\)).
Wektorami nazywamy elementy zbioru \(V .\)
Skalarami nazywamy elementy zbioru \(\kk .\)
Różnicę wektorów \(u\in V\) i \(v\in V\) definiujemy jako \quad \(u-v = u + (-v).\)
Narration
Od tego momentu działania \(\oplus, \odot\) będziemy na powrót zapisywać jako odpowiednio \(+, \cdot .\)
Stwierdzenie 13.1
Niech \(V\) będzie przestrzenią liniową nad \(\kk .\) Dla \(v\in V\) oraz \(\alpha \in \kk\) zachodzi:
\(\alpha\cdot v = \oo \qlq \alpha = 0 \vee v=\oo \)
\((-\alpha)\cdot v = \alpha \cdot (-v) = - (\alpha\cdot v) \ .\)
Przykład 13.2
Dla ustalonego \(n \in \nn\), podstawowymi przykładami przestrzeni liniowych nad ciałem \(\kk\) są przestrzenie \(V = \kk^n\) z działaniami:
\(+ : \kk^n\times\kk^n \to \kk^n\)
\[\begin{aligned} (u,v) = ((u_1,u_2,\ldots, u_n), (v_1,v_2,\ldots,v_n)) \mapsto (u_1 + v_1, u_2 + v_2, \ldots, u_n + v_n) = u + v \end{aligned}\]\(\cdot: \kk \times \kk^n \to \kk^n\)
\[\begin{aligned} (\alpha, (v_1,v_2,\ldots,v_n)) \mapsto (\alpha\cdot v_1, \alpha\cdot v_2, \ldots, \alpha\cdot v_n) = \alpha\cdot v . \end{aligned}\]
W szczególności:
\(\rr^n\) jest przestrzenią linową nad \(\rr\)
\(\cc^n\) jest przestrzenią linową nad \(\cc .\)
Kolejne przestrzenie liniowe to:
\(\kk[t]\) nad \(\kk\) \(\quad\) z działaniem dodawania wielomianów \(+\) i mnożeniem ich przez skalary z ciała \(\kk\)
\(\kk_n[t]\) nad \(\kk\) (dla ustalonego \(n\in\nn_0\)) \(\quad\) z działaniem dodawania wielomianów \(+\) i mnożeniem ich przez skalary z ciała \(\kk\)
\(\MSet{m}{n}{\kk}\) nad \(\kk\) \(\quad\) z działaniem dodawania \(+\) macierzy i mnożeniem ich przez skalary z ciała \(\kk .\)
13.2. Podprzestrzeń liniowa#
Narration
Przypomnijmy, że obcięcie funkcji \(f: X \to Y\) do zbioru \(A\subseteq X\) definiujemy jako funkcję \(f|_A : A\to Y\), zadaną wzorem
Definicja 13.2
W przestrzeni liniowej \(V\) (z działaniami dodawania wektorów \(+\) i mnożenia przez skalar \(\cdot\)), podzbiór \(W \subseteq V\) nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni \(V\) jeśli \(W\) jest przestrzenią liniową w działaniami dodawania wektorów \(+|_{W}\) oraz mnożenia przez skalar \(\cdot|_{W} .\)
Stwierdzenie 13.2
Niech \(V\) będzie przestrzenią liniową nad \(\kk .\) Niech \(W\subseteq V\) będzie dowolnym podzbiorem. Następujące warunki są równoważne:
\(W\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej \(V .\)
\(\forall v,w \in W \,\, v+w \in W \quad \) oraz \( \quad \forall \alpha \in\kk \,\, \forall v \in W \,\, \alpha\cdot v \in W .\)
\(\forall \alpha \in\kk \,\, \forall v,w \in W \,\, v+\alpha\cdot w \in W .\)
Ćwiczenie 13.1
W przestrzeni liniowej \(V = \rr^2\) sprawdźmy, że następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi:
\(W_1 = \Set{\oo}\)
\(W_2 = \Set{(x, 0) : x\in\rr}\)
\(W_3 = \Set{(x, 2x) : x\in \rr }\)
\(W_4 = \Set{(x, y) : x - 2y = 0 } .\)
Rozwiązanie
Będziemy korzystać z drugiego punktu stwierdzenia.
Niech \(v, w \in W_1 = \Set{\oo}\), czyli \(v = w = \oo .\) Niech \(\alpha \in \rr .\)
Wówczas:
\[\begin{aligned} v + w & = \oo + \oo = \oo \in W_1 \ , & \alpha \cdot v & = \alpha\cdot \oo = \oo \in W_1 \ . \end{aligned}\]Niech \(v, w \in W_2 = \Set{(x, 0) : x\in\rr}\), czyli: \(v = (x_1, 0),\ w = (x_2, 0) .\) Niech \(\alpha \in \rr .\)
Wówczas:
\[\begin{aligned} v + w & = (x_1, 0) + (x_2, 0) = (x_1 + x_2, 0) \in W_2 \ , & \alpha \cdot v & = \alpha\cdot (x_1, 0) = (\alpha\cdot x_1, 0) \in W_2 \ . \end{aligned}\]Niech \(v, w \in W_3 = \Set{(x, 2x) : x\in \rr }\), czyli:
\[v = (x_1, 2x_1),\quad w = (x_2, 2x_2).\]Niech \(\alpha \in \rr .\)
Wówczas:
\[\begin{split}\begin{aligned} v + w & = (x_1, 2x_1) + (x_2, 2x_2) = (x_1 + x_2, 2 (x_1 + x_2)) = (x_3, 2 x_3) \in W_3 \ , \\ \alpha \cdot v & = \alpha\cdot (x_1, 2x_1) = (\alpha\cdot x_1, 2(\alpha\cdot x_1)) = (x_4, 2 x_4) \in W_3 \ , \end{aligned}\end{split}\]gdzie przyjęliśmy: \(\quad x_3 = x_1 + x_2\),
\(x_4 = \alpha\cdot x_1 .\)Niech \(v=(x_1,y_1),\ w = (x_2, y_2) \in W_4 = \Set{(x, y) : x - 2y = 0 }\), czyli:
\[\begin{aligned} x_1 - 2y_1 = 0, \quad x_2 - 2y_2 = 0 . \end{aligned}\]Niech \(\alpha \in \rr .\)
Wówczas:
\(v + w = (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_3, y_3) \) i sprawdzamy, że
\[\begin{aligned} x_3 - 2y_3 = x_1 + x_2 - 2( y_1 + y_2) = (x_1 -2 y_1) + (x_2 - 2y_2) = 0 + 0 = 0, \end{aligned}\]więc \(v+w \in W_4 \)
\(\alpha \cdot v = \alpha\cdot (x_1,y_1) = (\alpha\cdot x_1 ,\alpha\cdot y_1) = (x_4, y_4) \) i sprawdzamy, że
\[\begin{aligned} x_4 - 2y_4 = \alpha\cdot x_1 -2\alpha\cdot y_1 = \alpha\cdot (x_1 -2 y_1) = \alpha \cdot 0 = 0, \end{aligned}\]więc \(\alpha\cdot v \in W_4 .\)
Ćwiczenie 13.2
Sprawdźmy, czy podany zbiór jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(V=\rr^3\) nad \(\rr\):
\(W_5 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : x - y - z = 0} \)
\(W_6 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : xy = 0} \)
\(W_7 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : x - y - z = 1} . \)
Rozwiązanie
Zbiór \(W_5 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : x - y - z = 0}\) jest podprzestrzenią liniową \(V\), gdyż przyjmując \(v=(x_1,y_1,z_1),\ w = (x_2, y_2,z_2) \in W_5\), czyli zakładając:
\[\begin{aligned} x_1 - y_1 - z_1 = 0, \quad x_2 - y_2 - z_2 = 0, \end{aligned}\]oraz \(\alpha \in \rr\):
obliczamy
\[\begin{split} \begin{aligned} v + w & = (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) \\ & = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = (x_3, y_3, z_3) \end{aligned} \end{split}\]i sprawdzamy, że
\[\begin{split}\begin{aligned} x_3 - y_3 - z_3 & = x_1 + x_2 - ( y_1 + y_2) - (z_1 + z_2) \\ & = (x_1 - y_1 - z_1) + (x_2 - y_2 - z_2) \\ & = 0 + 0 = 0, \end{aligned}\end{split}\]więc \(v+w \in W_5 \)
obliczamy
\[\begin{split} \begin{aligned} \alpha \cdot v & = \alpha\cdot (x_1,y_1,z_1) \\ & = (\alpha\cdot x_1 ,\alpha\cdot y_1, \alpha\cdot z_1) = (x_4, y_4, z_4) \end{aligned} \end{split}\]i sprawdzamy, że
\[\begin{split}\begin{aligned} x_4 - y_4 - z_4 & = \alpha\cdot x_1 - \alpha\cdot y_1 - \alpha\cdot z_1 \\ & = \alpha\cdot (x_1 - y_1 - z_1) \\ & = \alpha \cdot 0 = 0, \end{aligned}\end{split}\]więc \(\alpha\cdot v \in W_5 .\)
Patrząc na wykres \(W_6 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : xy = 0}\) widzimy, że nie jest to podprzestrzeń liniowa.
Dla przykładu:
wektory \(v=(3, 0, 1), \ w=(0, 2, -1)\in W_6\), gdyż \(\quad 3\cdot 0 = 0,\quad0\cdot 2 = 0,\)
ale \(v + w =(3, 2, 0)\notin W_6\), gdyż \(\quad 3\cdot 2 = 6 \neq 0.\)
Patrząc na wykres \(W_7 = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : x - y - z = 1}\) widzimy, że nie jest to podprzestrzeń liniowa.
Dla przykładu:
wektor \(v=(1, 1, -1)\in W_7\) , gdyż \quad \(1 - 1 + 1 = 1,\)
ale \(5\cdot v=(5, 5, -5)\notin W_7\), gdyż \(\quad 5 - 5 + 5 = 5 \neq 1. \)
Stwierdzenie 13.3
Niech \(V\) będzie przestrzenią liniową.
\(\{\oo\}\) jest podprzestrzenią liniową \(V\) (zwaną podprzestrzenią zerową ).
Jeśli \(U, W\) są podprzestrzeniami liniowymi \(V\), to \(U\cap W\) jest podprzestrzenią liniową \(V .\)
Ćwiczenie 13.3
Czy zbiór \(W_8 = \Set{(x,y, z) : z = x -y,\ x - 2y = 0 }\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(V=\rr^3\) nad \(\rr\)?
Rozwiązanie
Zauważmy, że \(\quad W_8 = W_5 \cap W_{9}, \quad \) gdzie:
Dowiedliśmy już, że \(W_{5}\) jest podprzestrzenią liniową \(V .\)
\(W_9\) jest podprzestrzenią liniową \(V\), gdyż przyjmując \(v=(x_1,y_1,z_1),\ w = (x_2, y_2,z_2) \in W_9\), czyli:
oraz \(\alpha \in \rr\):
obliczamy
\[\begin{split} \begin{aligned} v + w & = (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) \\ & = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = (x_3, y_3, z_3) \end{aligned} \end{split}\]i sprawdzamy, że
\[\begin{split}\begin{aligned} x_3 - 2y_3 & = x_1 + x_2 - 2( y_1 + y_2) \\ & = (x_1 -2 y_1) + (x_2 - 2y_2) \\ & = 0 + 0 = 0, \end{aligned}\end{split}\]więc \(v+w \in W_9 \)
obliczamy
\[\begin{split} \begin{aligned} \alpha \cdot v & = \alpha\cdot (x_1,y_1,z_1) \\ & = (\alpha\cdot x_1 ,\alpha\cdot y_1, \alpha\cdot z_1) = (x_4, y_4, z_4) \end{aligned} \end{split}\]i sprawdzamy, że
\[\begin{split}\begin{aligned} x_4 - 2y_4 & = \alpha\cdot x_1 -2\alpha\cdot y_1 \\ & = \alpha\cdot (x_1 -2 y_1) \\ & = \alpha \cdot 0 = 0, \end{aligned}\end{split}\]więc \(\alpha\cdot v \in W_9 .\)
Zatem \(W_8\), jako iloczyn podprzestrzeni liniowych, jest podprzestrzenią liniową \(V .\)
13.3. Przestrzeń rozpięta przez układ wektorów#
Narration
Niech \(V\) będzie przestrzenią liniową nad ciałem \(\kk .\) Niech \(n\in \nn .\)
Definicja 13.3
Kombinację liniową wektorów \(v_1, v_2, \ldots, v_n \in V\) o współczynnikach \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots,\alpha_n \in \kk\) definiujemy jako wektor
Przykład 13.3
Dla wektorów \(v_1 = \Paren{1, 1, 0},\ v_2 = \Paren{0, -1, 1}\) mamy na przykład
Ćwiczenie 13.4
Czy wektor \(w_2 = (-2,3,0)\in \rr^3\) jest kombinacją liniową wektorów \(v_1 = (1,1,0)\) i \(v_2 = (0,-1,1)\)?
Rozwiązanie
Musimy sprawdzić czy istnieją \(\alpha_1, \alpha_2 \in \rr^3\) takie, że
Układ tych równań nie ma rozwiązań, ponieważ z 1. i 3. wynika, że \(\alpha_1 = -2,\ \alpha_2 = 0\), zaś 2. równanie daje wtedy sprzeczność \(-2 - 0 = 3.\)
To oznacza, że \(w_2\) nie jest kombinacją liniową \(v_1\) i \(v_2 .\)
Stwierdzenie 13.4
Niech \(V\) będzie przestrzenią liniową nad ciałem \(\kk .\) Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów \(v_1, v_2, \ldots ,v_n\), czyli
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(V .\)
Narration
Niech \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) będą wektorami w przestrzeni liniowej \(V\) nad ciałem \(\kk .\)
Definicja 13.4
Układem wektorów w przestrzeni \(V\) nazywamy ciąg
Podukładem wektorów układu \((v_1, v_2, \ldots, v_n)\) nazywamy układ
Układem pustym \(\emptyset\) nazywamy ciąg składający się z \(0\) wektorów.
Definicja 13.5
Przestrzenią rozpiętą przez układ wektorów \((v_1, v_2, \ldots , v_n)\) nazywamy podprzestrzeń
Przyjmujemy dodatkowo, że
Przykład 13.4
Dla dowolnego \(v \in \rr^n\setminus \Set{\oo}\) podprzestrzeń \(\Lin (v)\) jest prostą przechodzącą przez punkty \(\oo\) i \(v\), czyli prostą przechodzącą przez \(\oo\) wzdłuż wektora \(v .\)
Dla \(u, v \in \rr^n\setminus \Set{\oo}\) takich, że \(v \notin \Lin (u)\) podprzestrzeń \(\Lin (u,v)\) jest płaszczyzną zawierającą punkty \(\oo, u, v .\)
-
Zobrazujmy graficznie podprzestrzenie liniowe w \(\rr^3\):
\(\Lin ((1,1,1))\)
\(\Lin ((1,1,1), (-2,-2,-2))\)
\(\Lin ((1,1,1), (-2,1,0)) .\)
Ćwiczenie 13.5
Sprawdźmy, czy \((3,5,-2),\ (-2,3,0), \ (2,5,-3) \in \Lin((1,1,0), (0,-1,1))\)?
Rozwiązanie
Z poprzednich rozważań wiemy już, że:
\(3\cdot\Paren{1, 1, 0} - 2\cdot\Paren{0, -1, 1} = \Paren{3, 5, -2}\), więc
\[(3,5,-2) \in \Lin((1,1,0), (0,-1,1))\]\((-2,3,0)\) nie jest kombinacją liniową wektorów \((1,1,0),\ (0,-1,1)\), więc
\[(-2,3,0) \notin \Lin((1,1,0), (0,-1,1)) .\]
Dla wektora \((2,5,-3)\) szukamy \(\alpha_1, \alpha_2 \in \rr^3\) takich, że
\[\begin{split}\begin{aligned} \alpha_1\cdot (1,1,0) + \alpha_2 \cdot (0,-1,1) & = (2,5,-3) \\ (\alpha_1, \alpha_1 - \alpha_2, \alpha_2) & = (2,5,-3) \\ \Uklad{ \alpha_1 = 2\\ \alpha_1 - \alpha_2 = 5 \\ \alpha_2 = -3 } & . \end{aligned}\end{split}\]Układ ma rozwiązanie \(\alpha_1 = 2,\ \alpha_2 = -3 .\)
To oznacza, że \(2\cdot\Paren{1, 1, 0} - 3\cdot\Paren{0, -1, 1} = \Paren{2, 5, -3} ,\) więc
\[(2, 5, -3)\in \Lin((1,1,0), (0,-1,1)) .\]