5. Funkcje#
5.1. Zadania na zajęcia#
Ćwiczenie 5.18
Wyznacz podane obrazy i przeciwobrazy zbiorów:
\(f([1,4)), \ f((0,4)), \ f^{-1}(\Set{0,1}), \ f^{-1}(\rr_-), \)
dla \(f:\rr\to\rr\), \(\quad f(x) = x^2-4x+3\)
\(f((-1,3]),\ f^{-1}(\{-1,1,2\}),\ f^{-1}([-5,1)), \)
dla \(f:(-3,4]\to\rr\), \(\quad f(x) = \min \{|x|,2\}\)
\(f((0,\pi]\times\{2\pi\}), \ f((-2,2]\times(-2,2]),\ f^{-1}(\{0\}), \)
dla \(f:\rr^2\to \rr\), \(\quad f(x,y)=(y+2)\cdot \sin x \)
\(f([0,3) \times \Set{0}),\ f^{-1}(\Set{1}),\ f^{-1}((-\infty,1]), \)
dla \(f: \rr\times\zz \to \rr, \quad f(x,y) = x^2+ y^2 - 2x + 2y + 2 .\)
Ćwiczenie 5.19
Czy podana funkcja jest: injekcją, surjekcją, bijekcją? Podaj dowód lub kontrprzykład:
\(f:\rr\setminus\{1\}\to\rr,\quad f(x) = \dfrac{2x+3}{x-1} \)
\(f:\rr_+\to\rr,\quad f(x) = x^2-2x-3 \)
\(f:\zz\to\zz,\quad f(x) = x^3-2x \)
\(f:\nn^2\to\nn,\quad f(n,m) = n^m \)
\(f:\rr\times\zz \to \rr,\quad f(x,n) = (x+1)\cos \frac {n\pi}{3} .\)
5.2. Zadania domowe#
Ćwiczenie 5.21
Wyznacz podane obrazy i przeciwobrazy zbiorów:
\(f(\Set{0,1,2,3}), \ f((2,+\infty)), \ f^{-1}(\Set{0,1}), \ f^{-1}((0,1)), \)
dla \(f:\rr\to\rr\), \(\quad f(x) = \left|x^2-5x+6 \right|\)
\(f(\{-2\}\times (2,7]), \ f((-3,0)\times\{2\}),\ f^{-1}(f(\{-3\}^2)), \)
dla \(f:\rr^2\to \rr\), \(\quad (x,y)\mapsto(x+3)(x+y+1)\)
\(f(\Set{-1,0}^2),\ f(\Set{0} \times (-2,2]),\ f^{-1}(\Set{4}),\ f^{-1}([0,\infty)) \)
dla \(f: \rr^2 \to \rr, \quad f(x,y) = (x - 3y + 3)^2\)
\(f(\Set{-1,0,1}^2),\ f([-1,2) \times \Set{0}),\ f^{-1}(\Set{1}),\ f^{-1}((-\infty,1]) \)
dla \(f: \rr\times\zz \to \rr, \quad f(x,y) = |2x + y|\)
\(f(\Set{0}\times \rr),\ f(\Set{0} \times [-3,0)),\ f^{-1}(\Set{4}),\ f^{-1}([1,4)) \)
dla \(f: \rr^2 \to \rr, \quad f(x,y) = x^2+ y^2 - 2x + 2y + 2\)
\(f(\{1\}\times (-2,1]),\ f^{-1}(\{-2,1,4\}), \)
dla \(f:\nn\times\rr\to \rr\), \(\quad f(x,y)=\max\{|x+y|,1\} .\)
Ćwiczenie 5.22
Czy podana funkcja jest: injekcją, surjekcją, bijekcją? Podaj dowód lub kontrprzykład:
\(f:\rr\setminus\Set{-\frac{3}{2}} \to \rr,\quad \displaystyle f(x) = \frac{3x - 2}{2x +3} \)
\(f:\rr\to\rr,\quad f(x)=\min\{x,x^2\} \)
\(f:\rr_+\to\rr,\quad x\mapsto 2x^2+4x-3 \)
\(f:\zz\to\zz,\quad x\mapsto x^3-3x \)
\(f:\zz\times\rr \to \rr,\quad (n,x) \mapsto (n+1)\cos \frac {x\pi}{3} .\)
Ćwiczenie 5.23
Określ zbiór wartości \(R_f\) oraz znajdź funkcję odwrotną \(f^{-1}: R_f \to D_f\), jeśli:
\(f:\rr_+\to\rr,\quad x\mapsto 2x^2+4x-3 \)
\(f: \rr\setminus\Set{-\frac{3}{2}} \to \rr,\quad \displaystyle f(x) = \frac{3x - 2}{2x +3} \)
\(f: \left(-\frac \pi 2, \frac \pi 2 \right) \to \rr,\quad \displaystyle f(x) = 2\tg(x - \pi) -3 \)
\(f: \left[-\frac \pi 6, \frac \pi 6 \right] \to \rr,\quad \displaystyle f(x) = \ln(2 + \sin 3x) .\)