9. Macierze#
9.1. Zadania na zajęcia#
Ćwiczenie 9.4
Dla macierzy:
wypisz wszystkie pary macierzy, które można pomnożyć;
oblicz \( A\cdot I_3,\quad B\cdot B^T,\quad B^T\cdot B,\quad D\cdot A,\quad \left(B C D A A^T D^T C^T B^T\right)^T.\)
Ćwiczenie 9.5
Niech \(A,B\in \MSet{7}{7}{\cc},\ \det A = -j,\ \det B = j+1 .\)
Powołując się na odpowiednie własności mnożenia macierzy i wyznacznika, oblicz
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 10.1.
Ćwiczenie 9.6
Oblicz wyznacznik macierzy:
\({[m^{n-1}]_{m=1,}^{3}}_{n=1}^{3}\)
\(\begin{bmatrix} 14 & 5 +3\pi & 33 \\ -21 & -5 -4\pi & -44 \\ -7 & 25+ 2\pi & 22 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \\ -3 & -3 & -4 & 6 & 7 \end{bmatrix}\)
\(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 11 & 111 & 1111 \\ 2 & 21 & 221 & 2221 \\ 3 & 31 & 331 & 3331 \\ 4 & 41 & 441 & 4441 \end{array}\right] \end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 11 & 111 & 1111 \\ 2 & 22 & 221 & 2221 \\ 3 & 31 & 333 & 3331 \\ 4 & 41 & 441 & 4444 \end{array}\right] \end{aligned}\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & x+1 \\ 2 & x+2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & x+3 & 3 \\ x+4 & 4 & 4 & 4 \end{bmatrix} \ .\)
Ćwiczenie 9.7
Wyznacz rząd macierzy:
\(\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 \\ 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ 17 & 16 & 15 & 14 & 13 & 12 \end{bmatrix} \)
\(\begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 & 5 & -3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & 7 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 5 \end{bmatrix} \)
\(\begin{bmatrix} 3 & 1 & 6 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \ .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 10.4.
Ćwiczenie 9.8
Wyznacz rząd macierzy w zależności od parametru \(p\in \rr\):
\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & p \\ 3 & p & 3 \\ 2p & 2 & 2 \end{bmatrix}\ \)
\(\begin{bmatrix} 1 & 1 + 2 p & 2 & 7 p \\ 2 & 2 + p& 4 & 7 + p\\ -1 & -1 + 2 p & -2 & -4 + 5 p \\ \end{bmatrix}\ .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 10.5.
9.2. Zadania domowe#
Ćwiczenie 9.9
Niech
Jeśli to możliwe, oblicz: \(I_2\cdot A,\quad B\cdot C,\quad B\cdot C^T,\quad A\cdot D,\quad D\cdot A,\quad D\cdot(2A+C^T),\quad B^2,\quad B\cdot B^T,\quad B^T\cdot B,\quad D^2 .\)
Ćwiczenie 9.10
Niech \(A,B\in \MSet{8}{8}{\cc}\),\ \(\det A = 1-j,\ \det B = \sqrt{3}+j .\) Powołując się na odpowiednie własności mnożenia macierzy i wyznacznika, oblicz
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 10.1.
Ćwiczenie 9.11
Oblicz wyznacznik macierzy:
\(\begin{bmatrix} j & 3+j & j \\ -1 & 5+j & 3-j \\ 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}\)
\(\left[(i+j-2)!\right]_{4 \times 4}\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & -8 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ -4 & 3 & -2 & 1 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \end{bmatrix}.\)
Ćwiczenie 9.12
Wyznacz rząd macierzy:
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 6 & 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 & 5 & 7 \\ 5 & 10 & -5 & -6 & 25 & 0 \\ 8 & 16 & -8 & 7 & 3 & 21 \\ 1 & 2 & -1 & -4 & 11 & -5 \\ 1 & 2 & -1 & -1 & 8 & -4 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & -2 & 9 \\ 5 & 10 & -6 & 6 & 13 \\ 8 & 16 & 7 & -7 & 27 \\ -4 & -8 & 3 & -3 & -5 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 & 2 & 7 & 0 \\ 10 & -5 & -11 & -6 & 19 & -8 \\ 16 & -8 & -1 & 7 & 10 & 14 \\ 2 & -1 & -5 & -4 & 7 & -6 \\ 2 & -1 & -2 & -1 & 7 & -3 \end{bmatrix}.\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 10.4.
Ćwiczenie 9.13
Wyznacz rząd macierzy w zależności o parametru \(p\in \rr\):
\(\begin{bmatrix} p & p^2 & p^3 \\ p-1 & (p-1)^2 & (p-1)^3 \\ p+1 & (p+1)^2 & (p+1)^3 \\ \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 1 + 2 p & 2 & 7 p \\ 2 & 2 + p& 4 & 7 + p\\ -1 & -1 + 2 p & -2 & -4 + 5 p \\ \end{bmatrix} .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 10.5.