1. Powtórzenie ze szkoły średniej#
1.1. Zadania na zajęcia#
Ćwiczenie 1.1
Zaznacz na płaszczyźnie punkty o współrzędnych \((\cos \alpha, \sin \alpha)\) odpowiadające kątom skierowanym \(\alpha\) z poniższej tabeli.
\(\alpha\) |
\(-\dfrac \pi 2\) |
\(-\dfrac \pi 3\) |
\(-\dfrac \pi 4\) |
\(-\dfrac \pi 6\) |
\(0\) |
\(\dfrac \pi 6\) |
\(\dfrac \pi 4\) |
\(\dfrac \pi 3\) |
\(\dfrac \pi 2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\cos\alpha\) |
\(\dfrac {\sqrt 0} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 1} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 2} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 3} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 4} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 3} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 2} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 1} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 0} 2\) |
\(\sin\alpha\) |
\(- \dfrac {\sqrt 4} 2\) |
\(- \dfrac {\sqrt 3} 2\) |
\(- \dfrac {\sqrt 2} 2\) |
\(- \dfrac {\sqrt 1} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 0} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 1} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 2} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 3} 2\) |
\(\dfrac {\sqrt 4} 2\) |
Dla każdego z tych punktów:
zaznacz półprostą wychodzącą z punktu \((0,0)\) przechodzącą przez ten punkt
następnie zaznacz (i odczytaj współrzędne) punktu przecięcia zaznaczonej półprostej z okręgami o środku w \((0,0)\) i promieniach \(2\) i \(4 .\)
Analogiczne ćwiczenie można powtórzyć dla kątów skierowanych z II i III ćwiartki układu współrzędnych.
Wyniki zanotuj na późniejsze zajęcia.
Ćwiczenie 1.2
Korzystając z wyników graficznych powyższego zadania rozwiąż (bez zbędnych czynności, jak na przykład korzystanie z tablic, czy rysowanie wykresów funkcji trygonometrycznych) następujące układy równań.
\(\displaystyle \cos\alpha = - \frac {\sqrt 3} 2,\quad \sin\alpha = \frac {1} 2\)
\(\displaystyle \cos\alpha = - \frac {\sqrt 2} 2,\quad \sin\alpha = -\frac {\sqrt 2} 2\)
\(\displaystyle 2\cos\alpha = 1,\quad 2\sin\alpha = -{\sqrt 3}\)
\(\displaystyle \sqrt 2 \cos\alpha = -1,\quad \sqrt 2 \sin\alpha = 1 .\)
Ćwiczenie 1.3
Dla \(n\in\Set{2,3,4,5,6}\) zaznacz na płaszczyźnie wierzchołki \(n\)-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w \((0,0)\) i promieniu \(1\), którego jeden z wierzchołków jest punktem \((1,0) .\)
Jakie kąty skierowane (liczone miarą łukową) odpowiadają tym wierzchołkom?
Ćwiczenie 1.4
Dla \(n\in\Set{2,3,4,6}\) zaznacz na płaszczyźnie wierzchołki \(n\)-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w \((0,0)\) (i odpowiednim promieniu), którego jednym z wierzchołków jest \(P .\)
\(P = \left(0,\, -1 \right)\)
\(P = \left(1,\, 1 \right) .\)
Jakie kąty skierowane (liczone miarą łukową) odpowiadają tym wierzchołkom?
1.2. Zadania domowe#
Ćwiczenie 1.5
Korzystając z wyników graficznych Ćw. 1.1 rozwiąż (bez zbędnych czynności, jak na przykład korzystanie z tablic, czy rysowanie wykresów funkcji trygonometrycznych) następujące układy równań.
\(\displaystyle \cos\alpha = \frac {\sqrt 3} 2,\quad \sin\alpha = - \frac {1} 2\)
\(\displaystyle \cos\alpha = - \frac {\sqrt 2} 2,\quad \sin\alpha = \frac {\sqrt 2} 2\)
\(\displaystyle \sqrt{3}\cos\alpha = 3,\quad \sqrt{3}\sin\alpha = -{\sqrt 3}\)
\(\displaystyle 2\pi \cos\alpha = -\pi,\quad 2\pi \sin\alpha = -\sqrt{3\pi^2} .\)
Ćwiczenie 1.6
Dla \(n\in\Set{7,9,12}\) zaznacz na płaszczyźnie wierzchołki \(n\)-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w \((0,0)\) i promieniu \(1\), którego jeden z wierzchołków jest punktem \((1,0) .\)
Jakie kąty skierowane (liczone miarą łukową) odpowiadają tym wierzchołkom?
Ćwiczenie 1.7
Dla \(n\in\Set{2,3,4,5,6,12}\) zaznacz na płaszczyźnie wierzchołki \(n\)-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w \((0,0)\), którego jednym z wierzchołków jest \(P .\)
\(P = \left(-\sqrt 3,\, 1 \right)\)
\(P = \left(-\sqrt 3,\, -\sqrt 3 \right)\)
\(P = \left(2,\, 2\sqrt 3 \right)\)
\(P = \left(-3,\, 0 \right) .\)
Jakie kąty skierowane odpowiadają tym wierzchołkom?
Ćwiczenie 1.8
Wyznacz i zaznacz na prostej kilka spośród zbiorów \(A_t\), dla \(t\in T .\)
\(A_t = \Set{x\in \rr : x^2 + 3x - 2tx - 6t = 0 }\), \(T = \nn\)
\(\displaystyle A_t = \Set{x\in \rr : 1+\frac{1}{t} \leq x \leq 3+\frac{2}{t}}\), \(T = \nn\)
\(A_t = \Set{x\in \rr : \sin x < t}\), \(T = \nn_0\)
\(A_t = \Set{x\in \rr : \cos x = t}\), \(T = \rr_+ .\)
Ćwiczenie 1.9
Wyznacz i narysuj na płaszczyźnie kilka spośród zbiorów \(A_t\), dla \(t\in T .\) Wyobraź sobie jak wyglądałyby pozostałe z tych zbiorów.
\(A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : x^2 + (y+1)^2 \geq t^2}\), \(T = \nn_0\)
\(A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : y<tx+1}\), \(T = \rr_+\)
\(A_t =\Set{ (x,y)\in \rr^2 : y\leq tx(x-2)}\), \(T = \nn_0 .\)
Ćwiczenie 1.10
Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów spełniających podane warunki:
\(\left\{\begin{array}{l} (y-3)(x-2) \leq 0 \\ y \leq -x^2 + 2x + 3 \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l} y^2-x^2> 0 \\ x^2-2x+y^2-6y+6\leq 0 \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l} \sqrt{3-x}\geq 0 \\ \sqrt{x-2y}>y \end{array}\right.\)
Ćwiczenie 1.11
Oblicz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu \(f\) przez \(g\):
\(f(x)=3x^4+2x^3-5x^2-3,\quad g(x)=x^2+x-1\)
\(f(x)=x^4+3x^3-26x^2+11x-21,\quad g(x)=x+7.\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 8.1.
Ćwiczenie 1.12
Zapisz wielomiany w postaci iloczynowej:
\(w(x) = x^3 - 3x^2 - x +3\)
\(w(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\)
\(w(x) = x^6 - 8\)
\(w(x) = x^4 + 324\)
\(w(x) = x^4 +3x^3 + 4x^2 - 6x -12\)
\(w(x) = 4x^3 + 2x^2 -8x + 3\)
\(w(x) = 24x^3 -10x^2 - 3x +1\)
\(w(x)= 16x^3 - 28x^2 + 4x + 3.\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 8.7.
Ćwiczenie 1.13
Oblicz sumę wszystkich współczynników wielomianu \(w(x)=4(x^2+x-3)^{74} + 2(2x-3)^{81} .\)