8. Wielomiany i funkcje wymierne#
8.1. Algebra wielomianów#
Narration
Niech \(\kk\) będzie jednym z ciał (czyli zbiorów z działaniami \(+\) i \(\cdot\)): \(\qq, \rr, \cc .\)
Definicja 8.1
Wielomianem stopnia \(n\in\nn_0\) nad ciałem \(\kk\) (lub o współczynnikach z ciała \(\mathbb{K}\)) nazywamy funkcję \(w:\mathbb{K}\to \mathbb{K}\) określoną wzorem
gdzie \(a_0, a_1,\ldots, a_n \in \kk\), \(a_n \neq 0 .\)
Współczynnikami wielomianu \(w\) nazywamy liczby: \( \quad a_0, a_1, ..., a_n.\)
Stopień wielomianu \(w\in\kk[t]\) oznaczmy przez \( \quad \deg w.\)
Wielomianem zerowym nazywamy wielomian tożsamościowo równy \(0\), czyli \(w(t)\equiv 0\), co oznacza, że
Przyjmujemy, że stopień wielomianu zerowego jest równy \(-\infty .\)
Wielomianami stałymi nazywamy wielomiany stopnia mniejszego niż 1.
Definicja 8.2
Sumę wielomianów \(w_1,w_2\in\kk[t]\) definiujemy jako wielomian \(w_1+w_2\in\kk[t]\), taki że
Iloczyn wielomianów \(w_1,w_2\in\kk[t]\) definiujemy jako wielomian \(w_1\cdot w_2\in\kk[t]\), taki że
Zbiór wszystkich wielomianów nad ciałem \(\kk\) oznaczamy przez \(\kk[t].\)
Stwierdzenie 8.1
Dla dowolnych wielomianów \(w_1, w_2\in \kk[t]\) zachodzi
Uwaga 8.1
Widać, że:
\(+\) jest działaniem łącznym i przemiennym
\(\cdot\) jest działaniem łącznym i przemiennym
\(\cdot\) jest rozdzielne względem \(+ .\)
8.2. Rozkład wielomianów#
Stwierdzenie 8.2
Dla dowolnych wielomianów \(w, p \in \kk[t]\), gdzie \(p\) nie jest wielomianem zerowym, istnieją jednoznacznie określone wielomiany \(q, r\in \kk[t]\), takie że dla każdego \(t\in\kk\) zachodzi równość
Definicja 8.3
Resztą z dzielenia wielomianu \(w\in\kk[t]\) przez wielomian \(p\in\kk[t]\) nazywamy wielomian \(r\in\kk[t]\) z powyższego stwierdzenia.
Ćwiczenie 8.1
Znajdźmy resztę z dzielenie wielomianu \(w(x) = {4x^3 + 5x^2 + 2x - 2}\) przez wielomian \(p(x) = {x^2 + 1} .\)
Rozwiązanie
Wykonujemy dzielenie wielomianów:
Stąd wniosek, że reszta z dzielenia jest równa \(r(x) = -2x-7\), zaś \(q(x) = 4x+5 .\)
Twierdzenie 8.3 (o dzieleniu z resztą)
Dla dowolnych: wielomianu \(w\in\kk[t]\) i stałej \(a\in \kk\), reszta z dzielenia \(w\) przez wielomian \(p(t)= t-a\) jest równa \(r(t) = w(a)\), czyli istnieje \( q\in\kk[t]\) taki, że
Przykład 8.1
Reszta z dzielenia wielomianu \(w(z) = (z + 1)^{{2026}} - (z^2 -2jz - 1)^{{2026}}\) przez \(p(z) = z + 1 -j\) jest, zgodnie z tym twierdzeniem, równa
Definicja 8.4
Pierwiastkiem wielomianu \(w\in\kk[t]\) nazywamy element \(t_0\in\kk\), jeśli \(w(t_0) = 0\)
Definicja 8.5
Wielomian \(w\in \kk[t]\) jest podzielny przez wielomian \(p\in\kk[t]\), jeśli reszta z dzielenia \(w\) przez \(p\) jest wielomianem zerowym.
Twierdzenie 8.4 (Bézout)
Dla każdego \(w\in\kk[t]\) następujące zdania są równoważne:
\(t_0\in\kk\) jest pierwiastkiem \(w .\)
\(w\) jest podzielny przez \(t-t_0 .\)
Istnieje \( q\in\kk[t]\) taki, że \( w(t) = (t-t_0)\cdot q(t).\)
Definicja 8.6
Niech \(k \in \nn.\) \(k\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(w\in\kk[t]\) nazywamy element \(t_0\in\kk\), jeśli istnieje wielomian \(q\in\kk[t]\), taki że dla każdego \(t\in\kk\) zachodzi
Uwaga 8.2
Pierwiastki wielomianu kwadratowego nad ciałem \(\cc\) znajdujemy analogicznie jak nad ciałem \(\rr\) z uwzględnieniem faktu, że \(\sqrt \Delta\) jest zawsze zbiorem niepustym. Zatem dla \(a\in \cc\setminus\Set{0}, b,c\in\cc\), pierwiastkami wielomianu \(az^2 + bz + c\) są liczby zespolone
Ćwiczenie 8.2
Znajdźmy pierwiastki zespolone wielomianu \(w(z) = z^2 + 2z + 2 .\)
Rozwiązanie
Liczymy wyróżnik \(\Quad{ \Delta = 4 - 4\cdot 2 = -4}\), zatem \(\quad \sqrt{\Delta} = \Set{2j,\ -2j} .\)
Z twierdzenia Bézout wynika, że
więc każdy z tych pierwiastków jest 1-krotny.
Ćwiczenie 8.3
Znajdźmy pierwiastki zespolone wielomianu \(w(z) = \Paren{z^4 + 4}^2 .\)
Rozwiązanie
Zgodnie z definicją należy rozwiązać równanie
którego rozwiązaniem są pierwiastki 4-tego stopnia z \(-4.\) Zapisując \(\displaystyle \begin{aligned} -4 = 4\cdot e^{\, \pi j} \end{aligned}\) otrzymamy 4 pierwiastki:
Z twierdzenia Bézout wynika, że
więc każdy z tych pierwiastków jest 2-krotny.
Definicja 8.7
Rozkładalnym (nad ciałem \(\kk\)) nazywamy wielomian \(w\in\kk[t]\), jeśli \(\exists\, w_1, w_2\in \kk[t]\) o dodatnich stopniach, takie że
Nierozkładalnym nazywamy wielomian \(w\in\mathbb{K}[t]\), który nie jest rozkładalny.
Przykład 8.2
\(w_1(t) = t^2 + 2t + 2\) ma wyróżnik \(\Delta = -4 < 0\), więc nie jest rozkładalny nad \(\qq\), ani nad \(\rr .\) Jednak jest rozkładalny nad \(\cc\), gdyż \(\quad w_1(z) = \Paren{t + 1 - j} \cdot \Paren{t + 1 + j}.\)
\(w_2(t) = t^2 - 2 = \Paren{t-\sqrt 2}\cdot\Paren{t+ \sqrt 2},\) więc nie jest rozkładalny nad \(\qq\), ale jest rozkładalny nad \(\rr\) i nad \(\cc .\)
\(w_3(t) = t^3 - 8 = (t-2)\cdot(t^2 + 2t + 4),\) więc jest rozkładalny nad każdym z ciał \(\qq,\ \rr,\ \cc.\)
\(w_4(t) = \Paren{t^4 + 4}^2 = \Paren{t^4 + 4}\cdot \Paren{t^4 + 4}\) jest rozkładalny nad każdym z ciał \(\qq,\ \rr,\ \cc .\)
Twierdzenie 8.5 (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Każdy wielomian \(w\in\cc[z]\) dodatniego stopnia ma pierwiastek \(z_0\in\cc .\)
Wniosek 8.6
Każdy wielomian \(w\in\cc[z]\) stopnia \(\deg w \geq 2\) jest rozkładalny nad \(\cc .\)
Wniosek 8.7
Każdy wielomian \(w\in\cc[z]\) stopnia \(n\in\nn\) ma dokładnie \(n\) pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne), więc można go rozłożyć na czynniki liniowe (które mogą wystąpić w rozkładzie więcej niż raz), czyli zapisać w postaci
gdzie, \(a_n, z_1, \ldots, z_n \in \cc .\)
Stwierdzenie 8.8
Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu \(w\in\cc[z]\) są liczbami rzeczywistymi i \(z_0\in\cc\) jest pierwiastkiem wielomianu \(w\), to \(\overline{z}_0\) jest również pierwiastkiem wielomianu \(w .\)
Uwaga 8.3
Zauważmy, że biorąc \(z_0\in\cc\), otrzymamy
czyli wielomian o współczynnikach rzeczywistych nierozkładalny nad \(\rr .\)
Wniosek 8.9
Jeśli wielomian \(w\in \rr[x]\) jest nierozkładalny, to jest albo stopnia 1, albo stopnia 2 dla którego wyróżnik \(\Delta < 0 .\)
Wniosek 8.10
Każdy wielomian \(w\in \rr[x]\) stopnia \(\deg w \geq 3\) jest rozkładalny (nad \(\rr\)).
Ćwiczenie 8.4
Znajdźmy rozkład wielomianu \(z^4 + 4\) nad ciałem \(\rr .\)
Rozwiązanie
Metoda 1.
Zauważmy, że
Ponieważ dla obu czynników wyróżnik \(\Delta = 4 - 8 = -4 < 0,\) to są nierozkładalne nad \(\rr.\)
Metoda 2.
Przypomnijmy, że znaleźliśmy już rozkład tego wielomianu nad \(\cc\):
Zauważmy, że pierwiastki występujące w czynnikach 1. i 2. oraz 3. i 4. są wzajemnie do siebie sprzężone. Zatem po ich wymnożeniu dostaniemy wielomiany o współczynnikach rzeczywistych:
Ćwiczenie 8.5
Znajdźmy rozkład wielomianów \(w\) nad \(\rr\) (jeśli ma to sens) i \(\cc\), jeśli:
\(w(z) = z^3 + jz^2 - z - j\)
\(w(z) = z^4 + 3z^2 -4\)
\(w(z) = z^4 - z^3 + 27z - 27 .\)
Rozwiązanie
Ponieważ wielomian ma współczynniki nierzeczywiste, to nie rozkłada się nad \(\rr .\) Nad \(\cc\) mamy
\[\begin{aligned} w(z) = z^3 + jz^2 - z - j = z^2(z + j) - (z+j) = (z^2 -1)(z+j) = (z -1)(z+1)(z+j). \end{aligned}\]Wielomian ma 3 pierwiastki zespolone, w tym 2 rzeczywiste.
Rozpoznajemy wielomian dwukwadratowy, więc przyjmujemy \(t = z^2 \in \cc\) i rozwiązujemy równanie:
\[\begin{split}\begin{aligned} t^2 + 3t -4 & = 0 , & \Delta& = 9 +16 = 25 \\ z^2 = t_+= \frac {-3 + 5} 2 = 1 \Quad{& \vee} z^2 = t_-= \frac {-3 - 5} 2 = -4 & \sqrt{\Delta} & = \Set{\pm 5} \\ z = 1 \Quad{\vee } z = -1 \Quad{& \vee} z = 2j \Quad{\vee} z = -2j \ . \end{aligned}\end{split}\]Wnioskujemy, że nad \(\rr\) wielomian rozkłada się do postaci:
\[w(z) = (z-1)(z+1)(z^2 + 4),\]zaś nad \(\cc\) wielomian rozkłada się do postaci:
\[w(z) = (z-1)(z+1)(z-2j)(z+2j).\]Wielomian ma 4 pierwiastki zespolone, w tym 2 rzeczywiste.
Zauważmy, że
\[\begin{aligned} w(z) = z^4 - z^3 + 27z - 27 = z^3(z-1) + 27(z-1) = (z^3 + 27)(z-1). \end{aligned}\]W celu rozłożenia pierwszego czynnika znajdujemy rozwiązania równania:
\[\begin{aligned} z^3 + 27 = 0 \qlq z^3 = -27 \qlq z \in \sqrt[3]{-27} = \Set{z_0,\ z_1,\ z_2}, \end{aligned}\]gdzie \(\displaystyle \begin{aligned} -27 = 27\cdot e^{\, \pi j} \end{aligned}\) oraz
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} z_{0} & = \sqrt[3]{27}\cdot e^{\, \frac{\pi + 2\cdot 0\cdot \pi}{3} j} = 3\cdot e^{\, \frac{1}{3} \, \pi j} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} j \, \sqrt{3} \\ z_{1} & = \sqrt[3]{27}\cdot e^{\, \frac{\pi + 2\cdot 1\cdot \pi}{3} j} = 3\cdot e^{\, \pi j} = -3 \\ z_{2} & = \sqrt[3]{27}\cdot e^{\, \frac{\pi + 2\cdot 2\cdot \pi}{3} j} = 3\cdot e^{\, \frac{5}{3} \, \pi j} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} j \, \sqrt{3} .\end{aligned}\end{split}\]Ponieważ \(\Quad{ z_2 = \overline{z}_0 ,}\) to \(\Quad{ (z-z_0)(z-z_2) = z^2 - 3z + 9 .}\) Wnioskujemy, że nad \(\rr\) wielomian rozkłada się do postaci:
\[w(z) = \Paren{z^2 - 3z + 9}(z+3)(z-1),\]zaś nad \(\cc\) wielomian rozkłada się do postaci:
\[\begin{aligned} w(z) = \Paren{z-\tfrac 3 2 - \tfrac 3 2 \sqrt 3 j} (z+3) \Paren{z-\tfrac 3 2 + \tfrac 3 2 \sqrt 3 j} (z-1). \end{aligned}\]Wielomian ma 4 pierwiastki zespolone, w tym 2 rzeczywiste.
Ćwiczenie 8.6
Znajdźmy pozostałe pierwiastki wielomianu \(w(z) = z^4 - 2z^3 - z^2 + 2z + 10\), wiedząc, że jednym z nich jest liczba \(z_0 = 2 + j .\) Podaj rozkład tego wielomianu na czynniki nierozkładalne nad \(\rr\) i nad \(\cc .\)
Rozwiązanie
Ponieważ wszystkie współczynniki wielomianu \(w\) są liczbami rzeczywistymi, z twierdzenia o sprzężonych pierwiastkach wynika, że liczba sprzężona \(\overline{z}_0 = 2 - j\) również jest pierwiastkiem \(w .\) Zatem \(w\) dzieli się przez iloczyn
Wykonujemy dzielenie wielomianów:
Czynnik \(z^2 - 4z + 5\) ma wyróżnik \(\Delta = 16 - 20 = -4 < 0\), więc jest nierozkładalny nad \(\rr\); nad \(\cc\) daje pierwiastki
czyli \(z^2 - 4z + 5 = \Paren{z - 2 - j}\Paren{z - 2 + j} .\)
Czynnik \(z^2 + 2z + 2\) ma wyróżnik \(\Delta = 4 - 8 = -4 < 0\), więc również jest nierozkładalny nad \(\rr\); nad \(\cc\) daje pierwiastki
czyli \(z^2 + 2z + 2 = \Paren{z + 1 - j}\Paren{z + 1 + j} .\)
Zatem pozostałe pierwiastki wielomianu \(w\) to \(z_1 = 2 - j,\ z_2 = -1 + j,\ z_3 = -1 - j\) (pierwiastek \(z_0 = 2 + j\) był dany w treści); wszystkie cztery pierwiastki są 1-krotne.
Rozkład nad \(\rr\):
Rozkład nad \(\cc\):
8.3. Funkcje wymierne#
Definicja 8.8
Funkcją wymierną nad ciałem \(\kk\) (lub o współczynnikach z ciała \(\kk\)) nazywamy funkcję zadaną przez
gdzie \(f,g\in\kk[t]\) i \(\deg g \geq 0\), określoną dla wszystkich \(t\in\kk\), takich że \(g(t)\neq 0 .\)
Narration
Zbiór wszystkich funkcji wymiernych nad ciałem \(\kk\) oznaczamy przez \(\kk(t).\)
Definicja 8.9
Właściwą nazywamy funkcję wymierną, jeśli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku.
Stwierdzenie 8.11
Każda funkcja wymierna jest sumą wielomianu oraz funkcji wymiernej właściwej. Co więcej dla każdej funkcji \(f/ g \in \kk(t)\) istnieją \(r, q\in\kk[t]\) takie, że
Ćwiczenie 8.7
Znajdźmy rozkład funkcji \(\displaystyle\frac{x^5 -3x^4 + 5x^2 + x - 1}{x^2 + x -1}\) na wielomian i funkcję wymierną właściwą.
Rozwiązanie
Wykonujemy dzielenie wielomianów:
Stąd wniosek, że
Definicja 8.10
Ułamkiem prostym nad \(\kk\) nazywamy funkcję wymierną postaci
dla której:
\(f,h \in \kk[t],\) \(k\in\nn\)
\(h\) jest nierozkładalny nad ciałem \(\kk\)
\(\deg f < \deg h .\)
Przykład 8.3
Funkcja wymierna \(\displaystyle \frac{t-2}{2t^2 +4}\)
JEST ułamkiem prostym nad \(\rr\), mianownik jest nierozkładalny (\(\Delta = -32 < 0\)) i jego stopień jest większy niż licznika,
NIE JEST ułamkiem prostym nad \(\cc\), bo \(2t^2 + 4 = 2(t-\sqrt 2 j)\cdot(t + \sqrt 2 j) ;\)
Funkcja wymierna \(\displaystyle \frac{3t^2-t+1}{t^2 +1}\)
NIE JEST ułamkiem prostym ani nad \(\rr\), ani nad \(\cc\), bo stopień wielomianu w liczniku nie jest mniejszy niż tego w mianowniku ;
Funkcja wymierna \(\displaystyle \frac{1}{t^2 -3t + 1}\)
NIE JEST ułamkiem prostym ani nad \(\rr\), ani nad \(\cc\), bo wyróżnik mianownika \(\Delta = 9-4=5 > 0\), więc ma on 2 rózne pierwiastki rzeczywiste;
Funkcja wymierna \(\displaystyle \frac{2t}{t^2 -6t + 9}\)
NIE JEST ułamkiem prostym ani nad \(\rr\), ani nad \(\cc\), bo \(t^2 -6t + 9 = (t-3)^2\), więc stopnie wielomianów \(h(t) = t-3\) i \(f(t) = 2t\) są sobie równe;
Funkcja wymierna \(\displaystyle \frac{3}{4t^2 -4t +1}\)
JEST ułamkiem prostym nad \(\rr\) oraz nad \(\cc\), bo \(4t^2 -4t +1 = (2t - 1)^2\) i stopień wielomianu \(h(t) = 2t-1\) jest większy niż stopień \(f(t) = 3\);
Funkcja wymierna \(\displaystyle \frac{3t}{\Paren{t^4+ 2t^2+ 1}^2} = \frac {3t}{\Paren{t^2+1}^4}\)
JEST ułamkiem prostym nad \(\rr .\)
NIE JEST ułamkiem prostym nad \(\cc .\)
Twierdzenie 8.12
Każda właściwa funkcja wymierna nad ciałem \(\kk\) rozkłada się w sposób jednoznaczny na sumę ułamków prostych nad ciałem \(\kk .\)
8.4. Rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste nad \(\cc\)#
Narration
Z warunków narzuconych na ułamki proste wynika, że w liczniku musi być wielomian stopnia \(0\), zaś w mianowniku \(n\)-ta potęga wielomianu stopnia \(1 .\)
Definicja 8.11
Zespolonym ułamkiem prostym nazywamy zespoloną funkcję wymierną postaci
gdzie \(A,a\in\cc\) oraz \(n\in\nn .\)
Twierdzenie 8.13
Zespolona funkcja wymierna właściwa
jest sumą \(k_1+k_2+\ldots +k_m\) zespolonych ułamków prostych, przy czym czynnikowi \((z-z_i)^{k_i}\) odpowiada suma \(k_i\) ułamków prostych postaci
gdzie stałe \(A_\Box\) są liczbami zespolonymi.
Uwaga 8.4
Niech \( \quad g(z) = (z-z_1) \cdot \ldots \cdot (z-z_n), \quad \) gdzie \(n\in\nn\) oraz \(z_1, \ldots, z_n\) są różnymi liczbami zespolonymi. Współczynniki rozkładu
wyrażają się wzorami
Ćwiczenie 8.8
Znajdźmy rozkład na ułamki proste zespolonej funkcji wymiernej \(\displaystyle\frac{z^2 - j}{z^3 + jz^2}.\)
Rozwiązanie
Mianownik rozkłada się jako \(z^3 + j z^2 = z^2(z+j)\), więc funkcja wymierna rozłoży się na ułamki proste:
gdzie współczynniki \(A,B,C \in \cc\) musimy teraz wyznaczyć.
Metoda 1.
Porządkujemy składniki z prawej strony względem potęg zmiennej \(z\):
\[\begin{aligned} z^2 -j = (A+C) z^2 + (Aj + B)z + Bj \ , \end{aligned}\]i porównując wspołczynniki przy odpowiadających sobie potęgach z obu stron, otrzymujemy układ równań:
\[\begin{split}\begin{aligned} \Uklad{ A + C = 1 \\ Aj + B = 0 \\ Bj = -j } \Leftrightarrow \quad \begin{cases} C = 1 - A = 1 + j \\ A = -B\cdot j^{-1} = -j \\ B = -1 \end{cases} . \end{aligned}\end{split}\]Metoda 2.
Obliczamy wartości tej tożsamości dla:
\[\begin{split}\begin{aligned} z=0 & : & -j & = B\cdot j \Quad{\Rightarrow} B = -1\ , \\ z=-j & : & -1 - j & = C\cdot (-1) \Quad{\Rightarrow} C = 1+j \ , \\ z=j & : & -1 - j & = A j \cdot 2j + (-1)\cdot 2j + (1 + j)\cdot(-1) \\ & & 0 & = -2 A -2j \Quad{\Rightarrow} A = -j \ . \end{aligned}\end{split}\]
Konkludując,
8.5. Rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste nad \(\rr\)#
Narration
Z warunków narzuconych na ułamki proste wynika, że istnieją dwa ich rodzaje.
Definicja 8.12
Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy rzeczywistą funkcję wymierną postaci
gdzie \(A,a\in\rr\) oraz \(n\in\nn .\)
Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy rzeczywistą funkcję wymierną postaci
gdzie \(A,B,p,q\in\rr\) oraz \(n\in\nn\), przy czym \(\Delta=p^2-4q<0 .\)
Twierdzenie 8.14
Rzeczywista funkcja wymierna właściwa
jest sumą \(k_1+\ldots +k_m\) rzeczywistych ułamków prostych I rodzaju oraz \(l_1+\ldots +l_s\) rzeczywistych ułamków prostych II rodzaju, przy czym czynnikowi \((x-x_i)^{k_i}\) odpowiada suma \(k_i\) ułamków prostych I rodzaju postaci
zaś czynnikowi \((x^2+p_jx+q_j)^{l_j}\) odpowiada suma \(l_j\) ułamków prostych II rodzaju postaci
gdzie stałe \(A_\Box, B_\Box, C_\Box\) są liczbami rzeczywistymi.
Ćwiczenie 8.9
Znajdźmy rozkład na ułamki proste rzeczywistej funkcji wymiernej \(\displaystyle\frac{ x^2 + 2}{x^4 + x^2}.\)
Rozwiązanie
Mianownik rozkłada się jako \(x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)\), więc funkcja wymierna rozłoży się na ułamki proste:
gdzie współczynniki \(A,B,C,D \in \rr\) musimy teraz wyznaczyć. Porządkujemy składniki z prawej strony względem potęg zmiennej \(x\):
i porównując wspołczynniki przy odpowiadających sobie potęgach z obu stron, otrzymujemy układ równań:
Konkludując,