8. Wielomiany#
8.1. Zadania na zajęcia#
Ćwiczenie 8.10
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(w\) i zaznacz je na płaszczyźnie zespolonej.
Określ krotności pierwiastków.
Ile jest różnych pierwiastków rzeczywistych?
Ile – zespolonych?
\(w(z) = z^2-z - \dfrac{2j-14}{j+3}\)
\(w(z) = z^2 + (4 - 3 j)z + (1 - 7 j)\)
\(w(z) = (z^4-16)(z^2 - 4j+3)\)
\(w(z) = z^{19}+z^{14}-z^{9}-z^4 .\)
Ćwiczenie 8.11
Liczba \(z_0 = 1+2j\) jest jednym z pierwiastków wielomianu \(w(z) = z^4 +2z^3+2z^2+10z+25 .\)
Wyznacz jego pozostałe pierwiastki i podaj rozkład na czynniki nierozkładalne nad \(\rr\) i nad \(\cc .\)
Ćwiczenie 8.12
Rozłóż wielomian \(w\) na czynniki nierozkładalne nad \(\cc\) i nad \(\rr\) (jeśli wspołczynniki \(w\) są rzeczywiste), dla:
\(w(z)= z^4+6z^2+25\)
\(w(z) = z^4 - (3+5j)^4 .\)
Ćwiczenie 8.13
Podaj ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste nad \(\rr\) i nad \(\cc\) (bez wyznaczania wartości współczynników):
\(\dfrac{2x^2-5}{(x-3)^3 (x^2 + 4)^2}\)
\(\dfrac{3x^2-5}{x^4 - 2x^3 + 2x -1}\)
\(\dfrac{x+1}{(x^4 + 4)^2} .\)
8.2. Zadania domowe#
Ćwiczenie 8.15
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(w\) i zaznacz je na płaszczyźnie zespolonej.
Określ krotności pierwiastków.
Ile jest różnych pierwiastków rzeczywistych?
Ile – zespolonych?
\(w(z) = z^2+(1+j)z+j\)
\(w(z) = z^2 + (4 - 3 j) z + (1 - 5 j)\)
\(w(z) = (1+j\sqrt{3})z^4+8\)
\(w(z) = z^6 + (1 - 2 j)z^3 + 2 j - 2\)
\(w(z) = (z^2 - j z - 3 j + 1)((z - j)^3 + j)\)
\(w(z) = z^{13} +3z^{10} +3z^7+z^4\)
\(w(z) = z^{13} - jz .\)
Ćwiczenie 8.16
Liczba \(z_0 \in \cc\) jest jednym z pierwiastków wielomianu \(w .\)
Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
\(w(z) = z^4 - 4 z^3 + 24 z^2 - 40 z + 100, \quad z_0 = 1-3j\)
\(w(z) = z^5 - 5 z^4 + 28 z^3 - 64 z^2 + 140 z - 100, \quad z_0 = 1\)
\(w(z) = z^4 - 2 z^3 - 18 z^2 - 2 z + 221, \quad z_0 = -3 + 2j .\)
Ćwiczenie 8.17
Rozłóż wszystkie wielomiany z poprzednich zadań na czynniki nierozkladalne nad \(\cc\); i nad \(\rr\) jeśli wspołczynniki wielomianu są rzeczywiste.
Ćwiczenie 8.18
Wyznacz rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste nad \(\rr\):
\(\dfrac{x+5}{(x+3)(x-9)}\)
\(\dfrac{8}{x^2 - 4x +2}\)
\(\dfrac{x^3 + 7 x^2 + 4 x + 20}{x^4-16}\)
\(\dfrac{x^2 -3x +6}{x^4 -5x^2 +4}\)
\(\dfrac{3 x^2 - 8 x + 3}{x^3 - 6 x^2 + 12 x - 8}\)
\(\dfrac{2x^3 +6x^2 +3x}{(x+1)^4} .\)
Ćwiczenie 8.19
Podaj ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste nad \(\cc\) (bez wyznaczania wartości współczynników):
\(\dfrac{4z}{z^2-2jz +3}\)
\(\dfrac{z^2+3}{z^2(z^2+9)(z+3j)^2}\)
\(\dfrac{z+1}{(z^4 + 4)^2} .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 8.8.
Ćwiczenie 8.20
Wyznacz rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste nad \(\cc .\)
\(\dfrac{4z^2+1}{z^4-1}\)
\(\dfrac{z^{2015}}{z^{2016}+1} .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 8.8.