Przestrzenie liniowe II

13. Przestrzenie liniowe II#

13.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 13.6

Wyznacz współrzędne wektora \(v\in V\) w bazie \(\uu B\) i zapisz macierz \(\MU B v\), jeśli:

  1. \(V=\rr^3, \quad \uu{B} = ((1,1,0), (-1,1,0), (0,0,3)), \quad v = (0,2,-2)\)

  2. \(V = \Lin \uu B, \quad \uu B = ((1,3,0), (0,-1,2)), \quad v_2 = (3,6,6) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.5.

Ćwiczenie 13.7

Korzystając z macierzy \(\MUSt{\St[n]}{\uu A}\) sprawdź czy układ \(\uu{A}\) w przestrzeni \(V\) nad \(\rr\) jest:

  • liniowo niezależny

  • bazą przestrzeni \(V\)?

  1. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((2,1,1), (3,0,1), (0,3,1) )\)

  2. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} =((0,1,3), (2,3,-1), (1,0,-2))\)

  3. \(V=\rr^4, \quad \uu{A} =((0,2,0,4), (1,3,0,1), (1,-1,0,0), (1,0,1,1)) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.6, Ćw. 14.7, Ćw. 14.8.

Ćwiczenie 13.8

Wyznacz wymiar i bazę podprzestrzeni liniowych \(V\) nad \(\rr .\)

  1. \(V = \Lin((1,0,-1), (-\pi,0,\pi)) \subseteq \rr^3\)

  2. \(V = \Lin((1,0,2),(2,1,1),(3,2,0), (-1,3,-11),(2,-1,7)) \subseteq \rr^3\)

  3. \(V = \Lin((2,0,0,-1), (1,1,0,0), (0,-1,0,-1), (2,-1,0,-2)) \subseteq \rr^4 .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.8.

Ćwiczenie 13.9

W przestrzeni liniowej \(\rr^2\), niech

\[ \uu{A}=((5,-3),(7,-5)), \quad \uu{B}= \St[2], \quad \uu C = ((1,1), (-2,2), (1,5)). \]

  • Wyznacz macierz \(\MU{B}{\uu A} .\)

  • Wykaż, że układ \(\uu{A}\) jest bazą przestrzeni \(\rr^2 .\)

  • Jeśli to możliwe, wyznacz macierz \(\MU{A}{\uu B} .\)

  • Korzystając z tej macierzy, podaj współrzędne wektorów układu \(\uu C\) w bazie \(\uu{A} .\)

  • Zapisz macierz \(\MU{A}{\uu C} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.9, Ćw. 14.10.

13.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 13.10

Wyznacz współrzędne wektora \(v\in V\) w bazie \(\uu B\) i zapisz macierz \(\MU B v,\) jeśli:

  1. \(V=\rr^2, \quad \uu{B} = ((1,-5),(5,2)), \quad v = (-2, -17)\)

  2. \(V=\rr^3, \quad \uu{B} = ((1,2,-1), (1,0,1), (1,2,0)), \quad v = (0,-4,2)\)

  3. \(V=\rr^3, \quad \uu{B} = ((3,1,0),(2,-1,-1), (-1,0,-1)), \quad v = (4,5,1)\)

  4. \(V=\rr^3, \quad \uu{B} = ((1,1,0), (2,-3,-1), (-12,0,-1)), \quad v = (-5,-3,-3)\)

  5. \(V=\Lin \uu B, \quad \uu{B} = ((0,1,-1),(4,5,0)), \quad v = (-4,1,-6)\)

  6. \(V=\Lin \uu B, \quad \uu{B} = ((0,1,0,-1),(1,2,-1,0)), \quad v = (2,5,-2,-1) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.5.

Ćwiczenie 13.11

Korzystając z macierzy \(\MUSt{\St[n]}{\uu A}\) sprawdź czy układ \(\uu{A}\) w przestrzeni \(V\) nad \(\rr\) jest:

  • liniowo niezależny

  • bazą przestrzeni \(V\)?

  1. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,2,2), (-3,2,-1))\)

  2. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((2,0,-1), (0,-1,-1), (2,-1,-2))\)

  3. \(V=\rr^4, \quad \uu{A} = ((1,0,1,-1), (0,0,-3,-4), (2,0,-1,-6))\)

  4. \(V=\rr^4, \quad \uu{A} = ((0,1,0,-1), (0,0,-1,-1), (0,1,0,2), (0,1,1,0), (1,-1,1,0)) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.6, Ćw. 14.7, Ćw. 14.8.

Ćwiczenie 13.12

Wyznacz wymiar i bazę podprzestrzeni liniowych \(V\) nad \(\rr .\)

  1. \(V = \Lin((1,2,2), (-3,2,-1))\)

  2. \(V = \Lin((1,1,-1), (0,-3,-4), (2,-1,-6))\)

  3. \(V = \Lin((2,1,1), (3,0,1), (0,3,1) )\)

  4. \(V = \Lin((0,1,3,0), (2,3,-1,0), (1,0,-2,0), (4,1,9,0))\)

  5. \(V = \Lin((1,0,0,-1), (0,-1,0,-1), (1,0,0,2), (1,1,0,0)) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.8.

Ćwiczenie 13.13

W przestrzeni liniowej \(\rr^2\), niech

\[ \uu{A}=((1,-5),(5,2)), \quad \uu{B}= \St[2], \quad \uu C = ((-2, -17), (6,-3), (2,-64)). \]

  • Wyznacz macierz \(\MU{B}{\uu A} .\)

  • Wykaż, że układ \(\uu{A}\) jest bazą przestrzeni \(\rr^2 .\)

  • Jeśli to możliwe, wyznacz macierz \(\MU{A}{\uu B} .\)

  • Korzystając z tej macierzy, podaj współrzędne wektorów układu \(\uu C\) w bazie \(\uu{A} .\)

  • Zapisz macierz \(\MU{A}{\uu C} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.9, Ćw. 14.10.