10. Układy równań liniowych#
10.1. Zadania na zajęcia#
Ćwiczenie 10.6
Rozwiąż układ równań \(\left\{\begin{array}{r} x+2y+3z = 1 \\ 2y+z=-4 \\ x+y+z=0 \end{array} \right.\) metodą Cramera.
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 11.1.
Ćwiczenie 10.7
Rozwiąż układ równań liniowych oraz podaj przykład trzech różnych rozwiązań dla:
\(\left\{ \begin{array}{r} x+ 2y-3z = 0 \\ \pi x+ 2\pi y-3\pi z = 0 \\ -x- 2y+3z = 0 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{r} 2 x_1-6 x_2+3 x_3+2 x_4 = 0 \\ x_1-3 x_2+2 x_3+3 x_4 = 0 \\ -x_1+3 x_2+x_3+x_4 = 0 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{r} x_1+x_2+x_3+5 x_4 = 0 \\ 2 x_1+2 x_2+ x_3+8 x_4 = 0 \\ -x_1-x_2+x_3-x_4 = 0 \end{array} \right. .\)
Ćwiczenie 10.8
Rozwiąż niejednorodny układ równań liniowych oraz jeśli to możliwe podaj przykład trzech różnych rozwiązań dla:
\(\left\{\begin{array}{r} x-2y+z = -3 \\ -y+z=-2 \\ 2x-3y+z=-4 \end{array} \right.\)
\(\left\{\begin{array}{r} 3 x_1+12 x_2-3 x_3+x_4 = 1\\ 3 x_1+12 x_2-3 x_3-2 x_4 = -2 \\ x_1+4 x_2-x_3+2 x_4 = -1 \end{array} \right. .\)
Ćwiczenie 10.9
Określ liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru \(a\in\rr\):
\( \left\{\begin{array}{r} a x+(a+2)y+2(a-1)z=0 \\ x+a y +(3-a)z = a +1 \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{r} (a-1) x +(a+3)y = 4 \\ x+ay=2a \\ 2x+(3a+1)y = 4a \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{r} x +(a-1)y +az = 2a \\ 2x+y=1 \\ ax-y+(a+2)z = 4+a \end{array}\right. .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 11.6.
Ćwiczenie 10.10
Do wyznaczania pola wielokąta na płaszczyźnie o wierzchołkach w punktach kratowych (o współrzędnych całkowitych) można stosować wzór:
gdzie \(W\) oznacza liczbę punktów kratowych wewnątrz wielokąta, \(B\) liczbę punktów kratowych na brzegu (wierzchołki i na bokach), natomiast \(\alpha,\beta,\gamma\) są rzeczywistymi współczynnikami. Znajdź te współczynniki.
10.2. Zadania domowe#
Ćwiczenie 10.11
Rozwiąż jednorodny układ równań liniowych oraz podaj przykład trzech różnych rozwiązań dla:
\(\left\{ \begin{array}{r} -x_1-x_2+x_3-x_4+3 x_5 = 0 \\ x_1+x_2+3 x_3+x_4+x_5 = 0 \\ 2 x_1+2 x_2+5 x_3+2 x_4+x_5 = 0 \\ -x_1-x_2-2 x_3-x_4 = 0 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{r} 2 x_1-4 x_2+4 x_3+3 x_4+2 x_5 = 0 \\ x_1-2 x_2+2 x_3+2 x_4-2 x_5 = 0 \\ -x_1+2 x_2-2 x_3-x_4+x_5 = 0 \\ -x_1+2 x_2-2 x_3+2 x_4-3 x_5 = 0 \end{array} \right. .\)
Ćwiczenie 10.12
Rozwiąż niejednorodny układ równań liniowych oraz jeśli to możliwe podaj przykład trzech różnych rozwiązań dla:
\(\left\{\begin{array}{r} x_1+3x_2+x_3 +4x_4+2x_5=1\\ -x_1-3x_2 -x_3- 8x_4 +6x_5=3 \\ 2x_1+ 6x_2+3x_3+7x_4+8x_5=2 \end{array} \right.\)
\(\left\{\begin{array}{r} x-y+z = 1 \\ x+y-z=1 \\ x+y+z=3 \\ x+2y-z=2 \end{array} \right. .\)
Ćwiczenie 10.13
Określ liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru \(a\in\rr\):
\(\left\{\begin{array}{r} ay+6z-at=a+2 \\ (3-a)x+(a-2)y+(a-1)z-t=1 \\ -4x+2y+2t=a-3 \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{r} (a - 1) x_4 + 2 x_3 - a x_2 + x_1 + a - 5 = 0 \\ (a - 1) x_4 + 2 x_3 + x_1 - a - 5 = 0 \\ (5 - 2 a) x_4 + 2 x_3 + a x_2 + x_1 + 1 = 0 \end{array}\right. .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 11.6.
Ćwiczenie 10.14
Dla jakich wartości parametru \(a\in\rr\) układ równań
ma rozwiązanie, w którym \(x>1\)?
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 11.6.
Ćwiczenie 10.15
Rozwiąż układ
w zależności od parametru \(a\in\rr .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 11.6.