Przestrzenie liniowe I

12. Przestrzenie liniowe I#

12.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 12.6

Czy \(W\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej \(V\) nad \(\rr\)?

  1. \(V = \rr^3, \quad W = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : (x+y)^2=z^2}\)

  2. \(V = \rr^3, \quad W = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : (x+y)^2+z^2=0} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 13.1, Ćw. 13.2, Ćw. 13.3.

Ćwiczenie 12.7

Czy \(v\in V\) jest kombinacją liniową wektorów układu \(\uu A\)?

Czy \(v \in \Lin \uu A\)?

  1. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,-2,0), (2,-3,-1)), \quad v = (-2,2,2)\)

  2. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,2,1), (1,3,-1),(0,-1,2)), \quad v = (-11,4,1) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 13.4, Ćw. 13.5.

Ćwiczenie 12.8

Sprawdź z definicji, czy układ wektorów \(\uu{A}\) w przestrzeni \(V\) nad \(\rr\) jest liniowo niezależny.

Czy jest to baza przestrzeni \(V\)?

  1. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,2,1), (1,3,-1))\)

  2. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((3,-2,0), (1,0,1), (2,-4,-4))\)

  3. \(V=\rr^4, \quad \uu{A} = ((3,-2,0, 0), (1,0,1, 0), (2,1,1, 0), (1,2,3,4)) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.1, Ćw. 14.2, Ćw. 14.7, Ćw. 14.8.

Ćwiczenie 12.9

Wyznacz wymiar i bazę podprzestrzeni liniowych \(V\) nad \(\rr .\)

  1. \(V = \Set{(x,y,z)\in \rr^3 : 2x+y-3z=0} \subseteq \rr^3 \)

  2. \(V = \Set{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\rr^4 : x_1+x_2-x_4=x_2-2x_3=0} \subseteq \rr^4 \)

  3. \(V = \ker \Macierz{ 4 & 3 & 2 & 1 \\ -1 & -2 & -3 & -4 } \subseteq \MSet{4}{1}{\rr} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.3, Ćw. 14.4, Ćw. 14.8.

12.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 12.10

Czy \(W\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej \(V\) nad \(\rr\)?

  1. \(V = \rr^2, \quad W = \{(x,y)\in \rr^2 : xy\leq 0 \}\)

  2. \(V = \rr^3, \quad W = \{(x,y,z)\in \rr^3 : \sqrt{2x-z} = 0 \}\)

  3. \(V = \rr^3, \quad W = \{(x,y,z)\in \rr^3 : \sqrt{2x-z} = \sqrt{y} \}\)

  4. \(V = \rr^3, \quad W = \{(x,y,z)\in \rr^3 : (x+3z)^2 = 4 \}\)

  5. \(V = \cc, \quad W = \{z\in\cc: \ImagPart z=3\} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 13.1, Ćw. 13.2, Ćw. 13.3.

Ćwiczenie 12.11

Czy \(v\in V\) jest kombinacją liniową wektorów układu \(\uu A\)?

Czy \(v \in \Lin \uu A\)?

  1. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,2,2), (-3,2,-1)), \quad v = (0,8,5)\)

  2. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((2,0,-1), (0,-1,-1), (2,-1,-2)), \quad v = (4,-12,2)\)

  3. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,1,-1), (0,-3,-4), (2,-1,-6)), \quad v = (3,-3,-11)\)

  4. \(V=\rr^3, \quad \uu{A} = ((1,0,-1), (0,-1,-1), (1,0,2), (1,1,0)), \quad v = (4,-2,2) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 13.4, Ćw. 13.5.

Ćwiczenie 12.12

Sprawdź z definicji, czy układ wektorów \(\uu{A}\) w przestrzeni \(V\) nad \(\kk\) jest:

  • liniowo niezależny nad \(\kk\)

  • bazą przestrzeni \(V\) nad \(\kk\)?

  1. \(V=\cc, \quad \kk = \cc, \quad \uu{A} = (1-2j, 3+j)\)

  2. \(V=\cc, \quad \kk = \rr, \quad \uu{A} = (1-2j, 3+j)\)

  3. \(V=\rr^3, \quad \kk = \rr, \quad \uu{A} = ((1,2,1), (1,3,-1),(0,-1,2))\)

  4. \(V=\rr^4, \quad \kk = \rr, \quad \uu{A} = ((1,0,-2,1), (-1,0,3,-1), (5,0,-1,2), (1,-1,1,0)) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.1, Ćw. 14.2, Ćw. 14.7, Ćw. 14.8.

Ćwiczenie 12.13

Wyznacz wymiar i bazę podprzestrzeni liniowych \(V\) nad \(\rr .\)

  1. \(V = \Set{(x,y,z,t)\in \rr^3 : 4x+5y+7z-4t=0} \subseteq \rr^4 \)

  2. \(V = \Set{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\rr^4 : 2 x_1 - x_2 + 3 x_4 = -x_2 + x_3 -x_4 = 4x_1 -3x_2 + x_3 +5x_4 =0} \subseteq \rr^4 \)

  3. \(V = \ker \Macierz{ -1 & 1 & -2 & 2 & -3 \\ 1 & -4 & 5 & -8 & 7 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 } \subseteq \MSet{5}{1}{\rr}\)

  4. \(V = \ker \Macierz{ -1 & 1 & -2 & 2 & -3 \\ 1 & -4 & 5 & -8 & 7 \\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 }^T \subseteq \MSet{3}{1}{\rr}\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.3, Ćw. 14.4, Ćw. 14.8.