4. Elementy teorii mnogości#
4.1. Zbiory#
Narration
Teoria mnogości zajmuje się badaniem ogólnych właściwości zbiorów, niezależnie od natury przedmiotów, z których się one składają.
Zbiór i element zbioru to podstawowe, niedefiniowalne pojęcia teorii mnogości.
Każdy zbiór składa się ze swoich elementów i jest przez nie wyznaczony jednoznacznie.
Definicja 4.1
\(x\) należy do zbioru \(A\), jeśli element \(x\) jest elementem zbioru \(A\) i oznaczmy to przez
\(x\) nie należy do zbioru \(A\), jeśli element \(x\) nie jest elementem zbioru \(A\) i oznaczmy to przez
Uwaga 4.1
Znak \(\in\) został wprowadzony przez Giuseppe Peano i jest pierwszą literą greckiego słowa \(\epsilon\sigma\tau\iota\) (czytaj: esti) oznaczającego jest.
Definicja 4.2
Zbiory \(A\) i \(B\) są identyczne lub równe, co piszemy jako \(A = B\), jeśli
Narration
Ponieważ każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy, to \(A = B\) implikuje, że \(A\) i \(B\) to ten sam zbiór, choć na dwa różne sposoby oznaczony lub zdefiniowany.
Definicja 4.3
Zbiór pusty, oznaczany symbolem \(\emptyset\), to zbiór do którego nie należy żaden element.
Przykład 4.1
Przykłady zbiorów:
\(\{a, b, c\} = \{c, a, b\} = \{a, c, a, b, a\}\) – zbiór skończony składający się z 3. elementów: \(a\), \(b\) i \(c\)
\(\Set{4, 5, 6, \ldots }\) – zbiór składający się ze wszystkich liczb naturalnych począwszy od 4
\(\Set{x\in\rr : x>0} = (0, +\infty)\) – zbiór zadany przez formę zdaniową
\(\Set{n\in \zz : 2 | n } = \Set{ n : \text{istnieje } k\in\zz \text{ takie, że } n = 2k} = \Set{2k : k\in \zz}\) – ten sam zbiór zadany przez różne formy zdaniowe
\(\Set{ \emptyset, \pi, \{1,2\}}\) – elementami zbioru mogą być zbiory; ten zawiera 3 elementy
\(\Set{ \Set{\Set{\Set{1},2},3},4}\) – ten zawiera 2 elementy
\(\Set{\emptyset} \neq \emptyset\) – zbiór składający się ze zbioru pustego nie jest pusty!
Uwaga 4.2
Istnieją „obiekty składające się z elementów”, które nie są zbiorami, na przykład:
Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów!
W tym celu wprowadza się pojęcie klasy. Istnieje klasa wszystkich zbiorów. Ale nie istnieje klasa wszystkich klas…
W dalszej części wykładu nie będziemy wchodzić w zawiłości teorii mnogości i zajmiemy się jedynie zbiorami.
4.2. Inkluzja zbiorów#
Definicja 4.4
Zbiór \(A\) zawiera się w zbiorze \(B\), lub \(A\) jest podzbiorem zbioru \(B\), co piszemy jako
jeśli dla każdego \(x\) zachodzi \(x\in A \Rightarrow x\in B.\)
Uwaga 4.3
Dla dowolnego zbioru \(A\) zachodzi
Należy wyraźnie rozróżnić pojęcie przynależności elementu i inkluzji zbiorów. Na przykład:
\(1 \in \nn\) oraz \(\{1\} \subseteq \nn\), ale \(\{1\} \notin \nn\)
\(\emptyset \subseteq \nn\), ale \(\emptyset \notin \nn\) oraz \(\{\emptyset\} \nsubseteq \nn .\)
Stwierdzenie 4.1
Dla dowolnych zbiorów \(A, B, C\) zachodzą następujące własności:
\(A = B \Leftrightarrow (A\subseteq B \wedge B \subseteq A)\)
\((A\subseteq B \wedge B\subseteq C) \Rightarrow A \subseteq C.\)
Definicja 4.5
Zbiór \(A\) jest właściwym podzbiorem \(B\), co oznaczmy jako
Przykład 4.2
Niech \(B = \Set{1, 3, \Set{3}, \Set{1, 2}, \emptyset, \Set{1, \emptyset}, \Set{\emptyset, \Set{\emptyset}}} .\) Wówczas:
\(1\in B\) oraz \(\Set{ 1 } \subseteq B\), ale \(\Set{ 1 } \notin B\)
\(3\in B\) \(\Set{ 3 } \subseteq B\) oraz \(\Set{ 3 } \in B\)
\(\Set{1, \emptyset} \in B\) oraz \(\Set{1, \emptyset} \subseteq B\)
\(\Set{2, 1} \in B\) ale \(\Set{2,1} \nsubseteq B \)
\(\emptyset \subseteq B\) ale również \(\emptyset \in B \)
\(\Set{\emptyset, \Set{\emptyset}} \in B\) ale \(\Set{\emptyset, \Set{\emptyset}} \nsubseteq B.\)
4.3. Podstawowe działania na zbiorach#
Narration
W teorii zbiorów ograniczamy się do rozważania tylko takich zbiorów, które są podzbiorami pewnego ustalonego zbioru zwanego przestrzenią (uniwersum).
Niech \(X\) będzie ustaloną przestrzenią.
Wyróżniamy trzy podstawowe działania dwuargumentowe na zbiorach
Definicja 4.6
Sumę zbiorów \(A\) i \(B\) definiujemy jako
czyli zbiór składający się ze wszystkich elementów zbioru \(A\), wszystkich elementów zbioru \(B\) i nie zawierający żadnych innych elementów.
Iloczyn lub przecięcie lub część wspólną zbiorów \(A\) i \(B\) definiujemy jako
czyli zbiór składający się z elementów zbioru \(A\), które są jednocześnie elementami zbioru \(B .\)
Różnicę zbiorów \(A\) i \(B\) definiujemy jako
czyli zbiór składający się ze wszystkich elementów zbioru \(A\), które nie są w zbiorze \(B .\)
Stwierdzenie 4.2
Dla dowolnych zbiorów \(A, B\) zachodzi
Ćwiczenie 4.1
Niech
Znajdźmy (możliwie prosty zapis): \( A,\ B,\ C,\ B \cup C,\ B\setminus C,\ C\setminus \emptyset,\ C\setminus \Set{\emptyset},\ C \setminus \Set{\Set{\emptyset}},\ C\setminus B. \)
Odpowiedź
\(A = \Set{1,2}\)
\(B = \Set{1,2} \cup (6,7)\)
\(C = \Set{\emptyset, 1,3, \Set{\emptyset}}\)
\(B\cup C = \Set{\emptyset, 1,2,3, \Set{\emptyset}} \cup (6,7)\)
\(B \setminus C = \Set{2} \cup (6,7)\)
\(C \setminus \emptyset = \Set{\emptyset, 1,3, \Set{\emptyset}}\)
\(C \setminus \Set{\emptyset} = \Set{1,3, \Set{\emptyset}}\)
\(C \setminus \Set{\Set{\emptyset}} = \Set{1,3, \emptyset}\)
\(C \setminus B = \Set{\emptyset, 3, \Set{\emptyset}}.\)
Twierdzenie 4.3
Dla dowolnych zbiorów \(A, B, C\) zachodzą następujące własności:
\(A\cup \emptyset = A\)
\(A\cap \emptyset = \emptyset\)
\(A, B \subseteq A \cup B\)
\(A \cap B \subseteq A, B \)
\(A\cup A = A\)
\(A\cap A = A \quad\) – prawa idempotentności
\(A\cup B = B\cup A\)
\(A\cap B = B\cap A \quad\) – prawa przemienności
\((A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)\)
\((A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C) \quad\) – prawa łączności
\(A\setminus(B\cup C)= (A\setminus B)\cap(A\setminus C)\)
\(A\setminus(B\cap C)= (A\setminus B)\cup(A\setminus C) \quad\) – prawa de Morgana
\(A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\)
\(A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\)
\(A\cap (B\setminus C) = (A\cap B)\setminus (A\cap C) \quad\) – prawa rozdzielności
4.4. Dopełnienie zbioru#
Definicja 4.7
Dopełnienie zbioru \(A\subseteq X\) definiujemy jako zbiór
Uwaga 4.4
Dopełnienie zbioru zależy od uniwersum \(X\)!
Ćwiczenie 4.2
W przestrzeni \(X = \nn_0\) znajdźmy \( \Set{0}',\ \Set{n \in \nn_0 : \exists k\in\nn \, n = 2k}'. \)
Odpowiedź
\(\Set{0}' = \nn_0 \setminus \Set{0} = \nn,\)
\( \Set{n \in \nn_0 : \exists k\in\nn \, n = 2k}' = \nn_0\setminus\Set{2k : k\in \nn} = \Set{2k-1 : k\in \nn}\cup\Set{0}. \)
Ćwiczenie 4.3
W przestrzeni \(X = \rr \setminus \rr_+\) znajdźmy \( \Set{0}',\ [-2,-1)' . \)
Odpowiedź
Ponieważ \(X = \rr_- \cup \Set{0} = (-\infty, 0]\), to:
\(\Set{0}' = \rr_-\)
\([-2,-1)' = (-\infty, -2) \cup [-1,0].\)
Twierdzenie 4.4
Dla dowolnych zbiorów \(A, B\) w przestrzeni \(X\), zachodzą następujące własności:
\(X' = \emptyset\)
\(\emptyset ' = X\)
\(A\cup A' = X\)
\(A\cap A' = \emptyset \quad\) – rozbicie przestrzeni
\((A')' = A \quad\) – inwolutywność
\((A\cup B)' = A'\cap B'\)
\((A\cap B)' = A'\cup B' \quad\) – prawa de Morgana
Ćwiczenie 4.4
W przestrzeni \(X = \rr^2\) niech
Znajdźmy \(B,\ (A \cup B)',\ (A \cap B')'.\)
Odpowiedź
Warto skorzystać z równości:
Rozwiązanie graficzne: GEOGEBRA.
4.5. Zbiór potęgowy#
Definicja 4.8
Zbiór potęgowy zbioru \(X\) definiujemy jako
czyli zbiór składający się ze wszystkich podzbiorów zbioru \(X .\)
Uwaga 4.5
Dla dowolnego zbioru \(X\) zachodzi \(\quad \emptyset \in 2^X \quad \text{oraz} \quad X \in 2^X.\)
Jeśli zbiór \(X\) ma \(n\in \nn\) elementów, to zbiór \(2^X\) ma \(2^n\) elementów.
Przykład 4.3
Dla \(X = \emptyset\) mamy \(2^\emptyset = \Set{\emptyset} .\)
Dla \(X = \Set{ a }\) mamy \(2^X = \Set{\emptyset, \Set{a}} .\)
Ćwiczenie 4.5
Znajdźmy zbiór potęgowy zbiorów \(A = \Set{ \emptyset, 1, 2 }\) oraz \(B = \Set{0,\Set{1,\Set{2,\Set{3}}}}.\)
Odpowiedź
\(2^A = \Set{ \emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{2\}, \{\emptyset,1\}, \{\emptyset, 2\}, \{1, 2\}, A }\)
\(2^B = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{\Set{1,\Set{2,\Set{3}}}}, B}.\)
4.6. Iloczyn kartezjański#
Narration
Niech \(n\in\nn\) i \(n \geq 2 .\)
Definicja 4.9
Uporządkowany układ elementów \(a_1, a_2, \ldots ,a_n\) zapisujemy jako \((a_1,a_2,\ldots ,a_n) .\) Dwa układy uporządkowane \((a_1,a_2,\ldots ,a_n)\) i \((b_1,b_2,\ldots ,b_n)\) uważamy za równe, co piszemy jako
W przypadku \(n=2\) uporządkowany układ \((x,y)\) nazywamy uporządkowaną parą .
Definicja 4.10
Iloczyn kartezjański zbiorów lub produkt zbiorów \(X_1, \ldots, X_n\) definiujemy jako zbiór
W przypadku, gdy przestrzenie się powtarzają stosujemy oznaczenie
Uwaga 4.6
Jeżeli \(X, Y\neq \emptyset\) oraz \(X\neq Y\), to \(X\times Y\neq Y\times X\), czyli iloczyn kartezjański nie jest przemienny.
Jeżeli \(X, Y, Z\neq \emptyset\), to \(\Paren{X \times Y} \times Z \neq X \times \Paren{ Y \times Z}\), czyli iloczyn kartezjański nie jest łaczny. Dla przykładu, jeśli \(X=\Set{0}\) to
\[ \Paren{X \times X} \times X = \Set{\Paren{\Paren{0,0},0}} \neq \Set{\Paren{0,\Paren{0,0}}} = X \times \Paren{X \times X}. \]
Przykład 4.4
Dla \(n = 3\) możemy oczywiście zapisać
\[\begin{aligned} (x_1,\ldots ,x_3) & = (x_1, x_2, x_3), & X_1 \times \cdots \times X_3 & = X_1 \times X_2 \times X_3. \end{aligned}\]Podstawowym zbiorem, który będzie modelem dla wielu pojęć na tym wykładzie jest \(n\)-wymiarowa przestrzeń rzeczywista
\[\rr^n = \Set{(x_1,\ldots,x_n) : x_i\in \rr \text{ dla } i\in\{1, \ldots, n\} }.\]
Stwierdzenie 4.5
Dla dowolnych zbiorów \(X\), \(Y\), \(Z\) zachodzi równość
gdzie za \(\diamond\) możemy podstawić jedno z działań \(\cup\), \(\cap\) lub \(\setminus .\)
Stwierdzenie 4.6
Jeżeli zbiór \(X_i\) ma \(m_i\in \nn\) elementów, dla \(i \in \Set{1,\ldots, n}\), to zbiór \(X_1\times\cdots\times X_n\) ma \(m_1\cdots m_n\) elementów.
Ćwiczenie 4.6
Niech \(X = \Set{e, \pi}\) oraz \(Y = \Set{-1, 1} .\)
Znajdźmy \( X \times Y ,\ Y \times X ,\ X \times X ,\ \)
Odpowiedź
\(X \times Y = \Set{(e,-1),\ (e,1),\ (\pi, -1),\ (\pi, 1)}\)
\(Y \times X = \Set{(-1,e),\ (1,e),\ (-1, \pi),\ (1, \pi)}\)
\(X \times X = \Set{(e,e),\ (e,\pi),\ (\pi, e),\ (\pi, \pi)}.\)
Ćwiczenie 4.7
Niech \(X = \Set{\emptyset, \Set{1,\Set{2,3}}, 4}\), \(Y = \Set{1, \nn \cap (0,2)} .\)
Ile elementów mają zbiory \(X \times Y\), \(Y\times Y\) ?
Znajdźmy \(Y \times Y .\)
Odpowiedź
Ponieważ \(Y = \Set{1,\Set{1}}\), to:
\(X \times Y\) ma \(3\cdot 2 = 6\) elementów
\(Y \times Y\) ma \(2\cdot 2 = 4\) elementy
\(Y\times Y = \Set{(1, 1),\ (1, \Set{1}), \ (\Set{1}, 1),\ (\Set{1},\Set{1}) }.\)
Ćwiczenie 4.8
Niech \(X = \Set{\emptyset, \rr} .\)
Znajdźmy \( X \times X \times X,\ (X \times X \times X) \setminus \Set{\emptyset,\emptyset, \emptyset}. \)
Odpowiedź
\(X \times X \times X = \Set{ (\emptyset, \emptyset, \emptyset),\ (\rr, \emptyset, \emptyset),\ (\emptyset, \rr, \emptyset),\ (\rr, \rr, \emptyset),\ (\emptyset, \emptyset, \rr),\ (\rr, \emptyset, \rr),\ (\emptyset, \rr, \rr),\ (\rr, \rr, \rr) }\)
\((X \times X \times X) \setminus \Set{\emptyset,\emptyset, \emptyset} = (X \times X \times X) \setminus \Set{\emptyset} = X \times X \times X.\)
Uwaga 4.7
Jeśli \(A_1\subseteq B_1, \ldots, A_n\subseteq B_n\), to \(A_1 \times \cdots \times A_n \subseteq B_1 \times \cdots \times B_n.\) W szczególności jeśli \(A_1,\ldots, A_n \subseteq X\), to \(A_1 \times \cdots \times A_n \subseteq X^n.\)
Ćwiczenie 4.9
Zaznaczmy na płaszczyźnie \(\rr^2\) zbiory \(\rr\times \Set{1,2}\),\ \(\Set{1,2}\times(-1,1]\),\ \([-1,2)^2 .\)
Odpowiedź
Rozwiązanie graficzne: GEOGEBRA.
4.7. Indeksowane rodziny zbiorów#
Narration
Niech \(X\neq \emptyset\) będzie zbiorem odgrywającym rolę przestrzeni, \(T\neq\emptyset\) – zbiorem indeksów (elementy zbioru \(T\) nazywamy {indeksami}).
Definicja 4.11
Indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru \(X\) definiujemy jako dowolną funkcję
która przyporządkowuje każdemu \(t\in T\) pewien podzbiór \(A_t\) w \(X .\)
Indeksowaną rodzinę zbiorów oznaczamy przez \(\quad (A_t)_{t\in T} .\)
Przykład 4.5
Dla \(X=\rr\), \(T = \Set{2,\pi,e}\), \(f(t) = A_t = \Set{n\in \nn : n < t}\), mamy:
\[\begin{aligned} A_2 & = \Set{1}, & A_{\pi} & = \Set{1,2,3}, & A_{e} & = \Set{1,2}. \end{aligned}\]Dla \(X=\rr\), \(T = \nn\) \(A_t = \Set{ x \in \rr : -t \leq x < \frac 1 t}\) możemy wypisać przykładowo:
\[\begin{aligned} A_1 & = \IntCO{-1,1}, & A_2 & = \IntCO{-2,\frac 1 2}, & A_3 & = \IntCO{-3,\frac 1 3}, & A_n & = \IntCO{-n,\frac 1 n}. \end{aligned}\]Dla \(X=\rr\), \(T = \rr\), \(A_t = \Set{ x \in \rr : t = x^2}\) można zauważyć, że
\[\begin{split} A_t = \begin{cases} \emptyset, & \text{dla } t < 0 \\ \Set{0}, & \text{dla } t = 0 \\ \Set{-\sqrt t, \sqrt t}, & \text{dla } t > 0 \end{cases} . \end{split}\]Dla \(X=\rr^2\), \(T = \rr_+\),
\[ A_t = \Set{ (x,y)\in\rr^2 : x \geq t\cdot y^2 } \]możemy przedstawić zbiory tej rodziny graficznie, np. dla: \(t=\frac 1 {27},\ \frac 1 4,\ 1,\ 9\), etc..
4.8. Działania nieskończone na zbiorach#
Narration
Niech \((A_t)_{t\in T}\) będzie dowolną indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru \(X .\)
Definicja 4.12
Uogólnioną sumę zbiorów \(A_t\), \(t\in T\), definiujemy jako zbiór
Narration
Definicję można zapisać równoważnie:
Nieformalnie, uogólnioną sumę rodziny zbiorów można określić jako
najmniejszy zbiór zawierający wszystkie zbiory tej rodziny.
Ćwiczenie 4.10
Znajdźmy uogólnione sumy zbiorów dla danych z Prz. 4.5
Odpowiedź
Dla \(X=\rr\), \(T = \Set{2,\pi,e}\), \(A_t = \Set{n\in \nn : n < t}\) wychodzi \( \quad \displaystyle \bigcup_{t\in T} A_t = A_2 \cup A_{\pi} \cup A_e = \Set{1,2,3}. \)
Dla \(X=\rr\), \(T = \nn\) \(A_n = \IntCO{-n,\frac 1 n}\) wychodzi \( \quad \displaystyle \bigcup_{n\in \nn} A_n = (-\infty, 1). \)
Dla \(X=\rr\), \(T = \rr\), \(A_t = \Set{ x \in \rr : t = x^2}\)
wychodzi \( \quad \displaystyle \bigcup_{t\in \rr} A_t = \rr, \quad \) bo każda liczba rzeczywista jest \(\pm\) pierwiastkiem z pewnej liczby rzeczywistej.
Dla \(X=\rr^2\), \(T = \rr_+\), \(A_t = \Set{ (x,y)\in\rr^2 : x \geq t\cdot y^2 }\) wychodzi
\[ \bigcup_{t\in \rr_+} A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x> 0} \cup \Set{(0,0)}. \]Odpowiedź można przedstawić graficznie: GEOGEBRA.
Definicja 4.13
Uogólniony iloczyn zbiorów \(A_t\), \(t\in T\), definiujemy jako zbiór
Narration
Definicję można zapisać równoważnie:
Nieformalnie, uogólniony iloczyn rodziny zbiorów można określić jako
największy zbiór zawarty w każdym zbiorze tej rodziny.
Ćwiczenie 4.11
Znajdźmy uogólnione iloczyny zbiorów dla danych z Prz. 4.5
Odpowiedź
Dla \(X=\rr\), \(T = \Set{2,\pi,e}\), \(A_t = \Set{n\in \nn : n < t}\) wychodzi \( \quad \displaystyle \bigcap_{t\in T} A_t = A_2 \cap A_{\pi} \cap A_e = \Set{1}. \)
Dla \(X=\rr\), \(T = \nn\) \(A_n = \IntCO{-n,\frac 1 n}\) wychodzi \( \quad \displaystyle \bigcap_{n\in \nn} A_n = [-1, 0]. \)
Dla \(X=\rr\), \(T = \rr\), \(A_t = \Set{ x \in \rr : t = x^2}\)
wychodzi \( \quad \displaystyle \bigcap_{t\in \rr} A_t = \emptyset, \quad \) bo zbiory \(A_t\) są (parami) rozłączne.
Dla \(X=\rr^2\), \(T = \rr_+\), \(A_t = \Set{ (x,y)\in\rr^2 : x \geq t\cdot y^2 }\) wychodzi
\[ \displaystyle \bigcap_{t\in \rr_+} A_t = \Set{(x,y)\in \rr^2 : x\geq 0 \wedge y = 0} = \Set{(x,0)\in \rr^2 : x\geq 0} = [0,+\infty) \times \Set{0}. \]Odpowiedź można przedstawić graficznie: GEOGEBRA.
Uwaga 4.8
W przypadku, gdy zbiór indeksów pokrywa się z liczbami naturalnymi począwszy od ustalonej \(n\in\nn\), czyli \(T = \nn_{n} = \{ n, n+1, n+2, \ldots \}\), używane są oznaczenia:
Przykład 4.6
Jeśli zbiór indeksów \(T = \{t_1, \ldots, t_n\}\) jest skończony to
Stwierdzenie 4.7
Dla dowolnych niepustych zbiorów \(X\), \(T\), oraz dowolnej indeksowanej rodziny podzbiorów \((A_t)_{t\in T}\) zbioru \(X\) zachodzą następujące własności:
Dla każdego \({s \in T}\) mamy
\[\displaystyle A_s \subseteq \bigcup_{t\in T} A_t.\]Dla każdego \({s \in T}\) mamy
\[\displaystyle \bigcap_{t\in T} A_t \subseteq A_s.\]Jeśli istnieją \( t*1,\ldots,t_n \in T\) takie, że \(\quad \displaystyle \forall {t\in T}\; A_t \subseteq A_{t_1}\cup\cdots \cup A_{t_n}\), wówczas
\[\displaystyle \bigcup_{t\in T} A_t = A_{t_1}\cup\cdots \cup A_{t_n}.\]W szczególności, jeśli istnieją \( t_1,\ldots,t_n \in T\) takie, że \(\quad A*{t*1}\cup\cdots \cup A*{t_n} = X\), wówczas
\[\displaystyle \bigcup_{t\in T} A_t = X.\]Jeśli istnieją \( t*1,\ldots,t_n \in T\) takie, że \(\quad \displaystyle \forall {t\in T}\; A_{t_1}\cap\cdots \cap A_{t_n} \subseteq A_t\), wówczas
\[\displaystyle \bigcap_{t\in T} A_t = A_{t_1}\cap\cdots \cap A_{t_n}.\]W szczególności, jeśli istnieją \( t_1,\ldots,t_n \in T\) takie, że \(\quad A*{t*1}\cap\cdots \cap A_{t_n} = \emptyset\), wówczas
\[\displaystyle \bigcap_{t\in T} A_t = \emptyset.\]Dla \(B\subseteq X\) zachodzą uogólnione prawa de Morgana:
\[\begin{aligned} B\setminus\left(\bigcup_{t\in T} A_t\right) & = \bigcap_{t\in T} \left( B\setminus A_t \right) , & B\setminus\left(\bigcap_{t\in T} A_t\right) & = \bigcup_{t\in T} \left( B\setminus A_t \right) . \end{aligned}\]W szczególności uogólnione prawa de Morgana dla dopełnienia w przestrzeni \(X\):
\[\begin{aligned} \left(\bigcup_{t\in T} A_t\right)' & = \bigcap_{t\in T} A_t' , & \left(\bigcap_{t\in T} A_t\right)' & = \bigcup_{t\in T} A_t' . \end{aligned}\]
Ćwiczenie 4.12
Dla przestrzeni \(X=\rr\) rozpatrzmy rodzinę podzbiorów
Korzystając z powyższych własności wyznaczmy:
Rozwiązanie
Zauważmy, że dla \(n =2k -1\), \(k\in \nn\),
więc \( \Quad{A_{2k-1} = (-\infty, -2k +1).} \)
Analogicznie, dla \(k \in \nn\), \( \Quad{A\_{2k} = (2k, + \infty).} \)
Zauważmy, że \(\Quad{\forall k\in \nn \quad A_{2k-1} \subseteq A_1}\) oraz \(\Quad{A_{2k} \subseteq A_2,}\) więc \(\quad \forall n\in \nn \; A_n \subseteq A_1 \cup A_2 .\)
Zatem \(\quad \displaystyle\bigcup_{n\in \nn} A_n = A_1 \cup A_2 = \rr\setminus [-1,2].\)
Ponieważ \(A_1 \cap A_2 = \emptyset\), to \(\quad \displaystyle\bigcap_{n\in \nn} A_n = \emptyset.\)
Zgodnie z prawem de Morgana,
\[\begin{aligned} \bigcap_{n\in \nn} A'_n = \Paren{\bigcup_{n\in \nn} A_n}' = [-1,2]. \end{aligned}\]Zgodnie z prawem de Morgana,
\[\begin{aligned} \bigcup_{n\in \nn} \rr_+ \setminus A_n = \rr_+ \setminus\Paren{\bigcap_{n\in \nn} A_n} = \rr_+. \end{aligned}\]