10. Wyznacznik i rząd macierzy#
10.1. Permutacje#
Definicja 10.1
Permutacją \(n\)-elementową lub permutacją zbioru \( \{1,\ldots,n\}\) nazywamy bijekcję
Narration
Zbiór wszystkich permutacji \(n\)-elementowych oznaczamy symbolem \(S_n .\)
Permutację \(\sigma\) zapisujemy jako \qquad
Uwaga 10.1
Istnieje dokładnie \(n!\) różnych permutacji \(n\)-elementowych.
Przykład 10.1
Przypomnijmy, że \(6\) różnych permutacji 3-elementowych ma postać
Narration
Niech \(\sigma\) będzie permutacją zbioru \( \{1,\ldots,n\} .\) Niech \(k,m\in \{1,\ldots,n\} .\)
Definicja 10.2
Inwersją lub transpozycją permutacji \(\sigma\) nazywamy parę \((\sigma(k),\ \sigma(m))\), jeśli
Przykład 10.2
Dla permutacji 3-elementowych mamy następujące inwersje:
\[\begin{split}\begin{aligned} \sigma_1: & \quad \text{BRAK}& \sigma_2: & \quad (2, \ 1),\ (3, \ 1)& \sigma_3: & \quad (3, \ 1),\ (3, \ 2) \\ \sigma_4: & \quad (3, \ 2),\ (3, \ 1),\ (2, \ 1) & \sigma_5: & \quad (2, \ 1) & \sigma_6: & \quad (3, \ 2) \end{aligned}\end{split}\]Dla permutacji \(\sigma_7=\Permutacja{ 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 \\ 3 & 5 & 1 & 6 & 2 & 4 }\in S_6\) inwersje to:
\[(3,\ 1),\ (3,\ 2),\ (5,\ 1),\ (5,\ 2),\ (5,\ 4),\ (6,\ 2),\ (6,\ 4).\]
Definicja 10.3
Znakiem permutacji \(\sigma\) nazywamy liczbę
gdzie \({\operatorname{inv}(\sigma)}\) jest liczbą inwersji permutacji \(\sigma .\)
Parzystą nazwiemy permutację \(\sigma\), jeśli \(\mathrm{sgn\,} (\sigma) =1 .\)
Nieparzystą nazwiemy permutację \(\sigma\), jeśli \(\mathrm{sgn\,} (\sigma) =-1 .\)
Przykład 10.3
Permutacje parzyste to: \(\sigma_1, \ \sigma_2, \ \sigma_3 \ ;\) zaś nieparzyste to: \(\sigma_4, \ \sigma_5, \ \sigma_6, \ \sigma_7 \ .\)
10.2. Wyznacznik macierzy kwadratowej#
Definicja 10.4
Wyznacznikiem macierzy \([a_{ij}]\in\MSet{n}{n}{\kk}\) nazywamy element ciała \(\kk\) zdefiniowany jako
Narration
Wyznacznik macierzy \([a_{ij}]_{n\times n}\) oznaczamy też przez \qquad \(\Det{ a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} }.\)
Uwaga 10.2
W definicji wyznacznika sumujemy \(n!\) składników; połowa ze znakiem \(\sgn(\sigma) = 1\), połowa z \(\sgn(\sigma) = -1.\)
Każdy składnik jest iloczynem \(n+1\) czynników: znaku permutacji oraz elementów macierzy, po jednym z każdego wiersza i kolumny.
Przykład 10.4
Wyznaczniki macierzy stopnia mniejszego niż \(4\) dane są wzorami:
\(\det [a] = \Det{a} = a\), (jak widać oznaczenie \(\Det{a}\) jest w tym przypadku mylące dla \(a<0\))
\( \det \Macierz{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} = \Det{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\)
\( \Det{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}} =a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}- (a_{13} a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32})\, .\)
Przy obliczaniu wyznacznika macierzy \(\MalaMacierz{1 & -1 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & \pi \\ 9 & 10 & e & 12 \\ j & 14 & 15 &16}\) należałoby dodać 4! składników. Jednym z nich byłby iloczyn
\[\begin{split} \operatorname{sgn} \left( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{smallmatrix} \right) \cdot a_{12}\cdot a_{24}\cdot a_{33} \cdot a_{41} = 1\cdot (-1)\cdot \pi\cdot e\cdot j = -\pi e j. \end{split}\]
Stwierdzenie 10.1
Jeśli \(A\in\MSet{n}{n}{\kk}\) jest macierzą górną/ dolną trójkątną, to \(\det A\) jest równy iloczynowi elementów na diagonali.
Jeśli \(A = \Macierz{ B & C \\ D & E} \in\MSet{n}{n}{\kk}\) jest macierzą blokową (\(C=\oo\) lub \(D=\oo\)), to \( \det A = \det B \cdot \det E. \)
Przykład 10.5
Dla przykładu:
10.3. Własności wyznacznika macierzy#
Definicja 10.5
Kombinację liniową wierszy (lub kolumn) \(v_1, v_2, \ldots, v_k\) macierzy \(A\in\MSet{m}{n}{\kk}\) o współczynnikach \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots,\alpha_k \in \kk\) definiujemy jako macierz
Oznaczmy \(i\)-ty wiersz przez \(w_i\), zaś \(j\)-tą kolumnę przez \(k_j .\)
Przykład 10.6
Dla macierzy \(A = \Macierz{1 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -1}\) mamy na przykład:
\(w_1 -2 w_2 = \Macierz{1 & 2 & 3} - 2\cdot\Macierz{-3 & -2 & -1} = \Macierz{7 & 6 & 5}\),
\(k_1 - 2k_2 + k_3 = \Macierz{1 \\ -3} - 2\cdot\Macierz{2 \\ -2} + \Macierz{3 \\ -1} = \Macierz{0 \\ 0} .\)
Twierdzenie 10.2
Wyznacznik macierzy kwadratowej ma następujące własności:
Jeśli dla macierzy \(A\in\MSet{n}{n}{\kk}\):
jeden z wierszy (lub kolumn) \(A\) jest macierzą zerową
w \(A\) występują dwa proporcjonalne do siebie (np. jednakowe) wiersze (lub kolumny)
jeden wiersz (lub kolumna) w \(A\) jest kombinacją liniową \emph{innych} wierszy (kolumn) w \(A\),
to \(\det A = 0 .\)
Jeśli macierz \(A_{(\alpha)}\) jest wynikiem pomnożenia przez \(\alpha \in \kk\), pewnego wybranego wiersza (lub kolumny) macierzy \(A\in\MSet{n}{n}{\kk}\), to \(\det A_{(\alpha)} = \alpha \det A .\)
Wyznacznik macierzy jest addytywną funkcją wierszy i kolumn macierzy.
Wartość wyznacznika nie zmienia się, jeśli do dowolnego wiersza (lub kolumny) dodamy wielokrotność innego wiersza (odpowiednio kolumny).
Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) powoduje, że wyznacznik zmienia znak na przeciwny.
Permutacja wierszy (kolumn) zmienia wyznacznik o czynnik będący znakiem tej permutacji.
Uwaga 10.3
Punktu 1. można uogólnić, ale potrzebne jest pojęcie liniowej zależności (wierszy lub kolumn), które pojawi się już niebawem, gdy będziemy mówić o przestrzeniach liniowych. Niemniej jednak już w tym miejscu sformułujmy następującą własność:
Wyznacznik macierzy, w której wiersze (kolumny) są liniowo zależne jest równy 0.
Przykład 10.7
Poprzyjmy przykładem każde z powyższych zdań:
mamy następujące możliwości:
\[\begin{split} \begin{aligned} \Det{1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 7 & 8 & 9} &= 0 & \Det{1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 3 & 8 & 9} &= 0 & \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 3 & 3} &= 0 & \end{aligned} \end{split}\]\( \Det{1 & 2 & 3 \\ 4\pi & 5\pi & 6\pi \\ 7 & 8 & 9} = \pi \cdot \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} \)
\( \Det{1 & 2 & 3 + 2j \\ 4 & 5 & 6 -j \\ 7 & 8 & 9 + 3j} = \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} + \Det{1 & 2 & 2j \\ 4 & 5 & -j \\ 7 & 8 & 3j} \)
\( \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -\pi & 2\pi & \pi} = \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -\pi +2 & 2\pi + 4 & \pi + 6 } \)
\( \Det{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} = - \Det{1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 } = \Det{ 7 & 8 & 9 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }.\)
Wniosek 10.3
Niech \(A\in \MSet n n \kk\), \(\alpha\in\kk .\) Z punktu 2. powyższego twierdzenia wynika, że
Stwierdzenie 10.4
Dla dowolnych \(n\in\nn\) i macierzy \(A\in\MSet{n}{n}{\kk}\) zachodzi równość
Twierdzenie 10.5
[Cauchy’ego] Dla dowolnych \(n\in \nn\) i \(A,B\in \MSet{n}{n}{\kk}\) zachodzi równość
Wniosek 10.6
Dla dowolnych \(n,m\in\nn\) i macierzy \(A\in\MSet{n}{n}{\kk}\) zachodzi równość
Ćwiczenie 10.1
Niech \(A,B\in \MSet{5}{5}{\cc}\),\ \(\det A = \pi,\ \det B = j.\) Obliczmy
Rozwiązanie
\(a = \det\left(\left(B^T\right)^{22}\right) = \left(\det B^T\right)^{22} = \left(\det B\right)^{22} = j^2 = -1 .\)
\(b = \det \left(A^7\cdot B^{13}\right)^T = \det A^7\cdot B^{13} =\det A^7\cdot \det B^{13} = \pi^7\cdot j^{13} = \pi^7 j .\)
\(\det \left(\left(B^T\right)^{22} \cdot \pi^{-1}\cdot\left(A^7\cdot B^{13}\right)^T\right) = a\cdot \det\left(\pi^{-1}\cdot\left(A^7\cdot B^{13}\right)^T\right) = a\cdot \pi^{-5}\cdot b = -\pi^2 j.\)
10.4. Metoda redukcji obliczania wyznacznika macierzy#
Narration
Możemy całkiem szybko obliczyć wyznacznik macierzy przekształcając ją do postaci, w której wyznacznik obliczyć jest łatwo, np.: blokowej lub trójkątnej.
Ćwiczenie 10.2
Obliczmy wyznacznik macierzy \(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrr} 8 & -12 & -15 \\ 9 & 9 & 9 \\ x + 3 & x + 16 & x + 18 \end{array}\right] . \end{aligned}\)
Rozwiązanie
Wykonujemy kolejno operacje: \(\displaystyle \begin{aligned} \left| \begin{array}{rrr} 8 & -12 & -15 \\ 9 & 9 & 9 \\ x + 3 & x + 16 & x + 18 \end{array}\right| & \overset{\text{własność 3.}}{=} \left| \begin{array}{rrr} 8 & -12 & -15 \\ 9 & 9 & 9 \\ x & x & x \end{array}\right| + \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -20 & -23 \\ 0 & 13 & 15 \end{array}\right| \overset{w_3 = \frac x 9\cdot w_2}{=} 0 + \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -20 & -23 \\ 0 & 13 & 15 \end{array}\right| \\ & \overset{1/9 \cdot w_{2}}{=} 9 \cdot \left| \begin{array}{rrr} 8 & -12 & -15 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 16 & 18 \end{array}\right| \overset{w_{1} + (-8 \cdot w_{2})}{=}9 \cdot \left| \begin{array}{rrr} 0 & -20 & -23 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 16 & 18 \end{array}\right| \\ & \overset{w_{3} + (-3 \cdot w_{2})}{=}9 \cdot \left| \begin{array}{rrr} 0 & -20 & -23 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 13 & 15 \end{array}\right| \overset{w_{1} \leftrightarrow w_{2}}{=}- 9 \cdot \left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -20 & -23 \\ 0 & 13 & 15 \end{array}\right| \\ & \overset{blokowa}{=} -9\cdot\left| \begin{array}{rr} 6 & 7 \\ 1 & 1 \end{array}\right| \overset{w_{1} + (2 \cdot w_{2})}{=}-9 \cdot \left| \begin{array}{rr} 6 & 7 \\ 13 & 15 \end{array}\right| \overset{w_{2} + (-2 \cdot w_{1})}{=}-9 \cdot \left| \begin{array}{rr} 6 & 7 \\ 1 & 1 \end{array}\right| = 9 \end{aligned}\)
10.5. Rozwinięcie Laplace’a#
Definicja 10.6
Dopełnienie algebraiczne wyrazu \(a_{ij}\) macierzy \(A = [a_{ij}]\in \MSet n n \kk \) to skalar
gdzie \(B_{ij}\) to macierz \(A\) z usuniętym \(i\)-tym wierszem oraz \(j\)-tą kolumną.
Przykład 10.8
Dla macierzy \(A = \Macierz{1 & 1 & 1 \\ -1 & -3 & -2 \\ 3 & 4 & 3}\) dopełnienia algebraiczne to:
Twierdzenie 10.7
[Laplace’a] Dla dowolnej macierzy \(A \in \MSet{n}{n}{\kk}\) oraz \(i,j\in\{1,\ldots,n\}\) zachodzą równości
co nazywamy rozwinięciem Laplace’a względem \(i\)-tego wiersza;
co nazywamy rozwinięciem Laplace’a względem \(j\)-tej kolumny.
Przykład 10.9
Wyznacznik \(A = \Macierz{1 & 1 & 1 \\ -1 & -3 & -2 \\ 3 & 4 & 3}\) z rozwinięcia Laplace’a względem:
1-szego wiersza \(\det A = 1\cdot(-1) + 1\cdot(-3)+1\cdot 5 = 1\)
2-go wiersza \(\det A = (-1)\cdot 1 + -3\cdot 0 + (-2)\cdot (-1) = 1\)
3-go wiersza \(\det A = 3\cdot 1 + 4\cdot 1 + 3\cdot (-2) = 1\)
1-szej kolumny \(\det A = 1\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 + 3\cdot 1 = 1\)
2-giej kolumny \(\det A = 1\cdot(-3) + (-3)\cdot 0 + 4\cdot 1 = 1\)
3-ciej kolumny \(\det A = 1\cdot 5 + (-2)\cdot (-1) + 3\cdot (-2) = 1.\)
Ćwiczenie 10.3
Obliczmy wyznacznik macierzy \(\displaystyle \begin{aligned} A = \left| \begin{array}{rrrr} 5 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ -6 & 0 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right| . \end{aligned}\)
Rozwiązanie
Na początku wykonujemy jedną operację elementarną, po czym korzystamy z rozwinięcia Laplace’a w względem 3. kolumny: \(\displaystyle \begin{aligned} \det A & = \det \left| \begin{array}{rrrr} 5 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ -6 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right| \overset{w_{3} + (1 \cdot w_{4})}{=}\left| \begin{array}{rrrr} 5 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ -6 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right| = 2\cdot(-1)^{3+4}\cdot \Det{5 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ -6 & 1 & 7} \\ & = -2\cdot \Paren{ 5\cdot (-1)^{1+1}\Det{1 & 3 \\ 1 & 7} -6\cdot (-1)^{1+3}\Det{0 & 1 \\ 1 & 3} } = -2\cdot\Paren{20 +6} = -52. \end{aligned}\)
10.6. Rząd macierzy#
Definicja 10.7
Minorem stopnia \(k\) macierzy \(A\in\MSet{m}{n}{\kk}\) nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej otrzymanej z \(A\) poprzez wykreślenie \(m-k\) wierszy i \(n-k\) kolumn.
Przykład 10.10
Minory macierzy \(A = \Macierz{1 & 1 & 1 \\ -1 & -3 & -2 \\ 3 & 4 & 3}\):
stopnia 1 to elementy tej macierzy, czyli: \(1, 1, 1 , -1 , -3 , -2 , 3 , 4 , 3.\)
stopnia 2 to w tym przypadku dopełnienia algebraiczne \(A_{ij}\) podzielone przez \((-1)^{i+j}\), czyli:
\[\begin{split}\begin{aligned} \Det{-3 & -2 \\ 4 & 3} & = -1, & \Det{-1 & -2 \\ 3 & 3} & = 3, & \Det{-1 & -3 \\ 3 & 4} & = 5, \\ \Det{1 & 1 \\ 4 & 3} & = -1, & \Det{1 & 1 \\ 3 & 3} & = 0, & \Det{1 & 1 \\ 3 & 4} & = 1, \\ \Det{1 & 1 \\ -3 & -2} & = 1, & \Det{1 & 1 \\ -1 & -2} & = -1, & \Det{1 & 1 \\ -1 & -3} & = -2. \end{aligned}\end{split}\]stopnia 3 to wyznacznik tej macierzy, czyli \(\det A = 1 .\)
Definicja 10.8
Rząd niezerowej macierzy \(A\in\MSet{m}{n}{\kk}\setminus\Set{\oo_{m\times n}}\) definiujemy jako największy stopień jej niezerowego minora i oznaczamy symbolem
Dodatkowo przyjmujemy, że rząd macierzy zerowej jest równy \(0\), czyli \(\quad \rank \oo = 0.\)
Stwierdzenie 10.8
Niech \(A\in\MSet{m}{n}{\kk} .\) Wówczas:
\( 0 \leq \rank A \leq \min\Set{m, n} .\)
\(\rank A = \rank A^T .\)
\(\rank A = k\) wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie:
wszystkie minory macierzy \(A\) stopnia większego niż \(k\) są zerowe,
istnieje różny od zera minor stopnia \(k\) macierzy \(A .\)
Przykład 10.11
Znalezienie zerowego minora stopnia \(k\) nie oznacza, że \(\rank A <k .\) Dla macierzy \(A\) z poprzedniego przykładu istnieje minor zerowy stopnia 2, jej rząd jest równy 3, bo:
z powyższej uwagi \(\rank A \leq 3\);
\(\det A = 1 \neq 0\), więc jest to niezerowy minor stopnia 3, co oznacza, że \(\rank A \geq 3.\)
Rząd macierzy \(A = \Macierz{1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 5 & 0 & 1}\) jest równy 2 ponieważ:
jedyny minor stopnia 3, czyli \(\det A = 0\), co implikuje \(\rank A < 3\);
na przykład minor \(\Det{1 & 2 \\ 2 & -1} = -5 \neq 0\) co oznacza, że \(\rank A \geq 2.\)
10.7. Metoda redukcji wyznaczania rzędu macierzy#
Twierdzenie 10.9
Rząd macierzy nie zmienia się po wykonaniu operacji elementarnych :
dodania do wiersza (lub kolumny) wielokrotności innego wiersza (odpowiednio kolumny);
pomnożenia wiersza (lub kolumny) przez stałą różną od zera;
zamiany wierszy (lub kolumn) miejscami;
skreślenia zerowego wiersza (lub zerowej kolumny);
skreślenia wiersza będącego kombinacja liniową innych wierszy (lub kolumny będącej kombinacją liniową innych kolumn).
Narration
Metoda redunkcji wyznaczania rzędu macierzy polega na przekształcaniu macierzy przy pomocy powyższych operacji elementarnych do postaci, w której łatwo znaleźć niezerowy minor maksymalnego stopnia.
Ćwiczenie 10.4
Wyznaczmy rząd macierzy \(\displaystyle \begin{aligned} A = \left[ \begin{array}{rrrrr} 3 & 6 & 7 & 11 & 10 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & 5 & 10 \\ -1 & -2 & 1 & -2 & 5 \end{array}\right] \end{aligned}\).
Rozwiązanie
Wykonujemy operacje elementarne, które nie zmieniają rzędu macierzy:
Stąd wniosek, że \(\rank A = 3,\) ponieważ:
\(\rank A = \rank B \leq 3 = \min\Set{3,5}\);
\(\rank B \geq 3,\) gdyż \(\MalyDet{1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4} = 4\neq 0\) jest niezerowym minorem macierzy \(B\) stopnia 3.
10.8. Metoda rzędu macierzy schodkowej#
Definicja 10.9
Niech \(W \subseteq \Set{1,\ldots,m}\) będzie podzbiorem indeksów niezerowych wierszy macierzy \(A\in\MSet{m}{n}{\kk} .\)
Dla \(i\in W\), niech \(K_i\in \Set{1,\ldots,n}\) będzie indeksem kolumny pierwszego niezerowego wyrazu w \(i\)-tym wierszu macierzy \(A .\)
Macierzą schodkową (lub w postaci schodkowej) nazywamy macierz \(A\), dla której ciąg \((K_i)_{i\in W}\) jest rosnący.
Przykład 10.12
Przykład 10.13
Przykłady macierzy, które nie są w postaci schodkowej:
Stwierdzenie 10.10
Każdą macierz można przekształcić do postaci schodkowej wykonując pewną liczbę operacji elementarnych na wierszach.
Przykład 10.14
Po wykonaniu pewnych operacji elementarnych na macierzach z poprzedniego przykładu otrzymujemy macierze w postaci schodkowej:
Stwierdzenie 10.11
Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej niezerowych wierszy.
Przykład 10.15
Wnioskujemy, że dla macierzy z poprzednich przykładów:
Ćwiczenie 10.5
Obliczmy rząd \(\displaystyle \begin{aligned} A_p = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & p \\ 1 & 1 & p & p \\ 1 & p & p & p \end{array}\right] \end{aligned}\) w zależności od parametru \(p\in \rr .\)
Rozwiązanie
Weźmy minor maksymalnego stopnia \(3\) powstały z 3. pierwszych kolumn równy
Dla \(p\in \rr \setminus \Set{1}\) jest to maksymalny niezerowy minor stopnia \(3\), zatem \(\rank A_p = 3 .\)
Dla \(p=1\) mamy \(\displaystyle \begin{aligned} \rank A_1 = \rank \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right] =\rank \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right] = 1 \end{aligned}\), bo ostatnia macierz jest niezerowa i ma jeden wiersz.