3. Formy zdaniowe#
3.1. Zadania na zajęcia#
Ćwiczenie 3.11
Zapisz symbolicznie zdania lub formy zdaniowe:
\(n\) jest całkowitą liczbą nieparzystą.
\(m\) jest sumą dwóch różnych liczb nieparzystych.
Istnieje liczba, która jest kwadratem liczby całkowitej nieparzystej.
\(x\) jest wspólną wielokrotnością liczb \(a\) i \(b .\)
Dla dowolnych dwóch liczb naturalnych istnieje ich wspólna wielokrotność.
\(x\) przy dzieleniu przez \(5\) daje parzystą resztę.
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 3.8.
Ćwiczenie 3.12
Określ wartość logiczną zdań i zapisz ich zaprzeczenia:
\(\Forall {x\in \rr} |x|\leq 0 \Rightarrow x \leq 0\)
\(\Forall {n\in \nn} \Exists {m\in \nn} m>n\)
\(\Exists {x\in (0,1] } \Forall {n\in \nn} n\cdot x > 1\)
\(\Forall {x\in (0,1] } \Exists {n\in \nn } n\cdot x > 1 .\)
Ćwiczenie 3.13
Wyznacz wykres formy zdaniowej \(\varphi(x)\) określonej na zbiorze \(X\), jeśli:
\(X = \rr_+,\)
\( \varphi(x): \ x<7 \Rightarrow x \leq 3\)
\(X = \rr,\)
\( \varphi(x): \ (x<7 \Leftrightarrow x \leq 3) \Rightarrow |x| < 5 .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 3.1.
Ćwiczenie 3.14
Zaznacz na płaszczyźnie \(\rr^2\) wykres formy \(\varphi((x,y))\) określonej na zbiorze \(X\), jeśli:
\(X = \rr^2,\)
\(\varphi((x,y)): \ x\cdot y < 1 \imply x \geq 1\)
\(X = \Set{(x,y)\in\rr^2 : y\in\Set{-1,1}}, \)
\(\varphi((x,y)): \ x\cdot y < 1 \Leftrightarrow x \geq 1 .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 3.2.
3.2. Zadania domowe#
Ćwiczenie 3.15
Zapisz symbolicznie zdania i formy zdaniowe:
\(x\) jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb \(a\) i \(b .\)
\(x\) jest wspólnym dzielnikiem liczb \(a\) i \(b .\)
\(x\) jest największym wspólnym dzielnikiem liczb \(a\) i \(b .\)
\(x\) jest liczbą pierwszą.
Nie istnieje największa liczba pierwsza.
Między dwoma różnymi liczbami naturalnymi istnieje trzecia liczba naturalna, różna od nich.
Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
W zbiorze \(A\) istnieje element najmniejszy.
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 3.8.
Ćwiczenie 3.16
Określ wartość logiczną zdań i zapisz ich zaprzeczenia:
\(\Exists {m\in \nn} \Forall {n\in \nn} m>n\)
\(\Exists {m\in \nn} \Forall {n\in \nn} m\leq n\)
\(\Forall {x\in \rr} (x<1 \vee (\Exists {y \in \rr} x = |y|))\)
\(\Forall {m,n\in\nn} \Exists {k\in\nn} (m<n \Rightarrow (m<k \wedge k<n))\)
\(\Forall {n\in \nn} \Exists {x\in (0,1]} n\cdot x > 1\)
\(\Exists {n\in \nn} \Forall {x\in (0,1]} n\cdot x > 1 .\)
Ćwiczenie 3.17
Wyznacz wykres formy zdaniowej \(\varphi(x)\) określonej na zbiorze \(X\), jeśli:
\(X = \rr\)
\(X = \rr_+\)
\(X = \nn\)
\(X = [-10,10)\),
oraz
\(\varphi(x): \ x = x\)
\(\varphi(x): \ \Negation (x<3 \Leftrightarrow x \leq 7)\)
\(\varphi(x): \ (x^2 + 3x-4 >0 \wedge x<1) \vee x > 0\)
\(\varphi(x): \ x^2 + 3x-4 >0 \wedge (x<1 \vee x > 0)\)
\(\varphi(x): \ x>0 \Rightarrow x>5\)
\(\varphi(x): \ \Negation (x^2 \geq 1 \imply |x - 3| < 2)\)
\(\varphi(x): \ (\Negation x^2 \geq 1) \imply |x - 3| < 2 .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 3.1.
Ćwiczenie 3.18
Zaznacz na płaszczyźnie \(\rr^2\) wykres formy \(\varphi((x,y))\) określonej na zbiorze \(X\), jeśli:
\(X = \rr^2\)
\(X = \rr\times\rr_+\)
\(X = \nn\times \rr\)
\(X = \left([-2,2)^2 \right)'\),
oraz
\( \varphi((x,y)): \ \Negation (x \geq 1 \imply x\cdot y < 1)\)
\( \varphi((x,y)): \ \Negation 2x^2 + y - 1 > 0\)
\( \varphi((x,y)): \ \Negation x + y - 5 \geq 0\)
\( \varphi((x,y)): \ 2x^2 + y - 1 > 0 \wedge x + y \geq 5\)
\( \varphi((x,y)): \ 2x^2 + y - 1 > 0 \vee x + y \geq 5\)
\( \varphi((x,y)): \ 2x^2 + y - 1 > 0 \imply x + y \geq 5\)
\( \varphi((x,y)): \ 2x^2 + y - 1 > 0 \Leftrightarrow x + y \geq 5\)
\( \varphi((x,y)): \ \Negation |x|+ | y| < 2\)
\( \varphi((x,y)): \ \Negation |x| \geq |y|\)
\( \varphi((x,y)): \ |x|+ | y| < 2 \,\wedge\, |x| \geq |y|\)
\( \varphi((x,y)): \ |x|+ | y| < 2 \,\vee\, |x| \geq |y|\)
\( \varphi((x,y)): \ |x|+ | y| < 2 \Rightarrow |x| \geq |y|\)
\( \varphi((x,y)): \ |x|+ | y| < 2 \Leftrightarrow |x| \geq |y|\)
\( \varphi((x,y)): \ (y > x \Rightarrow y > -x) \Rightarrow (x \geq 3)\)
\( \varphi((x,y)): \ y > x \Rightarrow ( y > -x \Rightarrow x \geq 3) .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 3.2.