6. Liczby zespolone I#
6.1. Ciało liczb zespolonych#
Narration
Niech \(\cc = \rr^2 .\) Zdefiniujmy dwa działania w \(\cc .\)
Definicja 6.1
Dodawanie \(+ : \cc^2 \to \cc\) zdefiniowane jest przez
Uwaga 6.1
Łatwo widać, że działanie \(+\) jest łączne i przemienne.
\(\forall (x,y)\in \cc \; (0,0) + (x,y) = (x,y) = (x,y)+ (0,0),\) czyli \((0,0)\) jest tzw. elementem neutralnym \(+ .\)
\(\forall (x,y)\in \cc\) istnieje element przeciwny \(-(x,y) = (-x,-y)\), tzn. \((x,y) + (-x,-y) = (0,0).\)
Definicja 6.2
Mnożenie \(\cdot : \cc^2 \to \cc\) zdefiniowane jest przez
Przykład 6.1
Dla przykładu \((2,3) \cdot (1,4) = (2\cdot 1 - 3 \cdot 4,\, 2\cdot 4 + 3\cdot 1 ) = (-10,11) .\)
Uwaga 6.2
Można pokazać, że działanie \(\cdot\) jest łączne i przemienne.
\(\forall (x,y)\in\cc \; (x,y)\cdot(1,0) = (1,0)\cdot(x,y) = (1\cdot x - 0\cdot y, 1\cdot y + 0\cdot x)=(x,y), \quad\) czyli \((1,0)\) jest tzw. elementem neutralnym \(\cdot\ .\)
\(\forall (x,y)\in \cc\setminus\Set{(0,0)}\) istnieje element odwrotny \((x,y)^{-1} = \left(\dfrac x {x^2 + y^2}, \dfrac {-y} {x^2 + y^2} \right)\), tzn. \((x,y)\cdot(x,y)^{-1} = (1,0).\)
Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
Definicja 6.3
Ciałem liczb zespolonych nazywamy zbiór \(\cc\) z działaniami \(+, \cdot\ .\)
Liczbą zespoloną nazywamy każdy element zbioru \(\cc .\)
Płaszczyzną zespoloną nazywamy model ciała liczb zespolonych \(\cc\), w którym elementy \((x,y) \in \cc\) odpowiadają punktom na płaszczyźnie z układem współrzędnych.
6.2. Liczby rzeczywiste#
Narration
Rozważmy zbiór
czyli elementy na osi poziomej na płaszczyźnie zespolonej. Zauważmy, że dla \((x_1,0), (x_2,0) \in \rrr\) mamy
czyli na elementach tego zbioru działamy tak jak na elementach zbioru liczb rzeczywistych. Przyjmijmy zatem konwencję, w której
Definicja 6.4
Liczbami rzeczywistymi nazywamy wszystkie elementy zbioru \(\rr \subseteq \cc .\)
Narration
Zauważmy, że elementy neutralne dodawania i mnożenia są rzeczywiste:
6.3. Liczby urojone#
Definicja 6.5
Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną
Uwaga 6.3
Zauważmy, że \(j \notin \rr .\) Nazwa jednostki urojonej pochodzi stąd, że
\[j^2=(0,1)\cdot(0,1) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 0\cdot 1 + 1\cdot 0) = (-1,0) =- 1,\]czyli \(j\) jest pierwiastkiem kwadratowym z \(-1\in \rr.\)
Ogólniej, dla każdych \(a,b\in \rr\) mamy \quad \( (a\cdot j)\cdot(b\cdot j) = j^2 \cdot a\cdot b = -ab \in \rr.\)
Zauważmy też, że dla każdej liczby \(y\in \rr\) mamy
\[\begin{aligned} j\cdot y = y \cdot j & = (y,0)\cdot(0,1) = (y\cdot 0 - 0\cdot 1, y\cdot 1 + 0\cdot 0) = (0,y), \end{aligned}\]czyli \(yj\) są elementami z osi pionowej na płaszczyźnie zespolonej.
Definicja 6.6
Liczbami urojonymi nazywamy wszystkie elementy zbioru \(\Set{yj : y\in \rr} \subseteq \cc .\)
6.4. Postać kanoniczna#
Narration
Korzystając z poprzedniej uwagi otrzymujemy
Definicja 6.7
Postacią kanoniczną lub algebraiczną liczby zespolonej \(z = (x,y)\) nazywamy zapis
Liczbę \(x = \RealPart z \in \rr\) nazywamy częścią rzeczywistą liczby \(z\)
Liczbę \(y = \ImagPart z \in \rr\) nazywamy częścią urojoną liczby \(z .\)
Narration
Zatem każdą liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci
Przykład 6.2
Dla przykładu:
dla \(z_1 = -3j + 2\), \(\quad \RealPart z_1 = 2, \ \ImagPart z_1 = -3\)
dla \(z_1 = -6j\), \(\quad \RealPart z_1 = 0, \ \ImagPart z_1 = -6 .\)
Uwaga 6.4
Działania w postaci kanonicznej wykonuje się jak na rzeczywistych wyrażeniach algebraicznych z uwzględnieniem faktu, że \(j^2 = -1 .\) Dla \(z_1 = x_1 + y_1j,\; z_2 = x_2 +y_2 j \in \cc\), mamy:
\(z_1 +z_2 = (x_1 +x_2) + (y_1+y_2)j \)
\(z_1 -z_2 = (x_1 -x_2) + (y_1-y_2) j \)
\(z_1 \cdot z_2 = (x_1+y_1 j)(x_2+y_2 j) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2+x_2 y_1) j \)
jeśli \(z_2\neq 0\), to \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{x_1+y_1 j}{x_2+y_2 j}= \dfrac{(x_1+y_1 j)(x_2-y_2 j)}{(x_2+y_2 j)(x_2-y_2 j)}= \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x^2_2 + y^2_2}+ \dfrac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x^2_2 + y^2_2} j\, .\)
We wzorze na dzielenie, wstawiając liczby \(z_1 = 1\) i \(z_2 = x + yj \neq 0\), otrzymujemy, że elementem odwrotnym do \(z = x + yj\) względem mnożenia jest
\[z^{-1} = \dfrac 1 z = \dfrac{x}{x^2 + y^2}+ \dfrac{- y}{x^2 + y^2} j.\]
Ćwiczenie 6.1
Wykonajmy wszystkie działania podstawowe dla: \( z_1 = -2 + 3j,\, z_2 = -2 -3j .\)
Rozwiązanie
\( z_1 + z_2 = -2 + 3j + (-2 -3j) = -4 \)
\( z_1 - z_2 = -2 + 3j - (-2 -3j) = 6j \)
\( z_1 \cdot z_2 = (-2 + 3j)(-2 -3j) = (-2)^2 - (3j)^2 = 4 - (-9) = 13 \)
\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{-2 + 3j}{-2 -3j} = \dfrac{(-2 + 3j)(-2 + 3j)}{(-2 -3j)(-2 + 3j)} = \dfrac{(-2)^2 + 2(-2)(3j) + (3j)^2}{13} = \dfrac{4 -12j - 9}{13} = -\dfrac{5}{13} -\dfrac{12}{13} j \)
\( z_1^{-1} = \dfrac 1 {-2 + 3j} = \dfrac{-2 - 3j}{(-2 + 3j)(-2 - 3j)} = \dfrac{-2 - 3j}{13} = -\dfrac{2}{13} -\dfrac{3}{13} j \ .\)
Stwierdzenie 6.1
Dla dowolnych \(z_1, z_2\in\cc\) oraz \(\alpha \in \rr\) zachodzi:
\(z_1 = z_2 \qlq \RealPart z_1 = \RealPart z_2\, \wedge\, \ImagPart z_1 = \ImagPart z_2\)
\(\RealPart (z_1+z_2) = \RealPart z_1 + \RealPart z_2 \)
\(\ImagPart (z_1+z_2) = \ImagPart z_1 + \ImagPart z_2\)
\(\RealPart (\alpha\, z_1) = \alpha\,\RealPart (z_1)\) 5. \(\ImagPart (\alpha\, z_1) = \alpha\,\ImagPart (z_1)\,.\)
Przykład 6.3
Zauważmy, że:
Zatem część rzeczywista nie ma dobrych własności ze względu na mnożenie. Analogicznie dla części urojonej.
Ćwiczenie 6.2
Rozwiążmy równanie: \(\quad z^2 = j\RealPart z.\)
Rozwiązanie
Niech \(z = x + yj .\) Wówczas \( \Quad{ z^2 = x^2 + 2xy j + (y j)^2 = x^2 - y^2 + 2xy j. } \) Stąd
Korzystając z pierwszego równania mamy dwa przypadki:
Otrzymujemy rozwiązania
co w zapisie kanonicznym daje rozwiązanie:
6.5. Sprzężenie#
Definicja 6.8
Sprzężenie liczby zespolonej \(z=x+yj \in \cc\), definiujemy jako liczbę
Mówimy, że liczba \(\overline z\) jest sprzężona do liczby \(z .\)
Przykład 6.4
Dla przykładu:
\(\overline{ -4} = -4 \)
\(\overline{ 6j } = -6j \)
\(\overline{ -3j + 2} = 2 + 3j .\)
Uwaga 6.5
Na płaszczyźnie zespolonej sprzężenie liczby zespolonej \(z\), jest odbiciem \(z\) względem osi rzeczywistej.
Stwierdzenie 6.2
Dla dowolnych \(z_0\neq 0,\, z_1,\, z_2,\, z\in\cc\) oraz \(n \in \zz\) zachodzi:
\(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z}_1+\overline{z}_2 \)
\(\overline{z_1 - z_2} = \overline{z}_1-\overline{z}_2 \)
\(\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z}_1\cdot \overline{z}_2 \)
\(\displaystyle \overline{\left(\frac{z_1}{z_0}\right)} = \frac{\overline{z}_1}{\overline{z}_0} \)
\(\overline{(\overline{z})}=z \)
\(\overline{z}\,^n = \overline{z^n} \)
\(z + \overline z = 2 \RealPart (z) \)
\(z - \overline z = 2j\, \ImagPart (z) .\)
Ćwiczenie 6.3
Rozwiążmy równania:
\(\overline{\Paren{\dfrac{z + 1}{\overline z - j}}} = 1 \)
\(\overline{z + 2 \overline{z}} - z = 2 .\)
Rozwiązanie
Przekształcamy równanie korzystając z własności ze stwierdzenia:
\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{\Paren{\dfrac{z + 1}{\overline z - j}}} & = 1 \\ \dfrac{\ \overline{z + 1} \ }{\overline{\overline z - j}} & = 1 & & \text{z własności 4.} \\ \dfrac{\ \overline{z} + 1 \ }{\overline{\overline z} + j} & = 1 & & \text{z własności 1. i 2.} \\ {\overline{z} + 1} = {z + j} \Quad{ & \wedge } z + j \neq 0 & & \text{z własności 5.} \\ z - \overline{z} = 1 - j \Quad{ & \wedge } z \neq -j \\ 2j \ImagPart z = 1 - j \Quad{ & \wedge } z \neq -j & & \text{z własności 8.}. \end{aligned}\end{split}\]Porównując części rzeczywiste z obu stron równości otrzymamy \(0 = 1\), czyli sprzeczność. Zatem to równanie nie ma rozwiązań.
Przekształcamy równanie korzystając z własności działań:
\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{z + 2 \overline{z}} - z = 2 & \qlq \overline{z} + 2 \overline{\overline{z}} - z = 2 \qlq \overline{z} + 2 z - z = 2 \\ & \qlq \overline{z} + z = 2 \qlq 2\RealPart{z} = 2 \qlq \RealPart{z} = 1. \end{aligned}\end{split}\]Zatem rozwiązniem jest zbiór
\[\begin{aligned} \Set{ z \in \cc : \RealPart z = 1} = \Set{ 1 + y \in \cc : y\in \rr}. \end{aligned}\]
6.6. Moduł#
Definicja 6.9
Moduł liczby zespolonej \(z=x+yj \in \cc\), definiujemy jako liczbę
Przykład 6.5
Dla przykładu: 1. \(|{-14}| = 14 \) 2. \(|{- 6j}| = 6 \) 3. \(|{ -3j + 2}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13} .\)
Uwaga 6.6
Na płaszczyźnie zespolonej moduł liczby \(z\in \cc\) jest odległością \(z\) od \(0\in \cc .\)
Stwierdzenie 6.3
Dla dowolnych \(z_0\neq 0,\, z_1,\, z_2,\, z\in\cc\) oraz \(n \in \zz\) zachodzi: 1. \(|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0\) 2. \(|z|^2 = z\cdot \overline{z}\) 3. \(|z| = |\overline{z}|\) 4. \(|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|\) 5. \(\displaystyle \left|\frac{z_1}{z_0}\right| = \frac{|z_1|}{|z_0|}\) 6. \(\left|z^n\right| = |z|^n .\)
Uwaga 6.7
Zauważmy, że z punktu 2. wynika iż \(\quad z^{-1} = \dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}} {|z|^2} .\)
Ćwiczenie 6.4
Dla \(z = 1-2j\) obliczmy (czyli znajdźmy postać kanoniczną) \(\Absolute{\Paren{\dfrac {z - j} {\overline z + 1 -j}}^{21}}.\)
Rozwiązanie
Korzystając z własności ze stwierdzenia zauważmy, że
gdzie skorzystaliśmy z równości:
Przykład 6.6
Zauważmy, że \(\quad |z_1-z_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \quad\) jest odległością między liczbami \(z_1 = x_1 + y_1 j\) i \(z_2 = x_2 + y_2 j .\) Stąd warunki na \(z\in\cc\):
\(|z-z_1| = R\), \(\quad |z-z_1| \leq R\), \(\quad |z-z_1| > R \quad\) opisujące odpowiednio:
okrąg, \(\quad\) koło, \(\quad\) dopełnienie koła \(\quad\) o środku w \(z_1\in\cc\) i promieniu \(R\geq 0\)
\(|z-z_1| = |z-z_2|\), \(\quad |z-z_1| \leq |z-z_2| \quad\) opisujące odpowiednio:
symetralną odcinka łączącego \(z_1,\, z_2\in\cc\), półprzestrzeń zawierającą \(z_1\) wyznaczoną przez tą symetralną.
Ćwiczenie 6.5
Zilustrujmy na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb \(z\in\cc\) spełniających:
\(|jz - 2j -1| = 3\)
\(|z - 2j -1| - |\overline{z} -2 -3j| < 0\)
\(|z - 2| + |z+2| = 2.\)
Rozwiązanie
Zacznijmy od przekształcenia tej równości:
\[\begin{split}\begin{aligned} |jz - 2j -1| & = 3 \\ \Absolute{j\Paren{z - \dfrac{2j +1}{j}}} & = 3 \\ |j|\cdot\Absolute{z - 2 +j} & = 3 \\ \Absolute{z - 2 +j} & = 3 . \end{aligned}\end{split}\]Zatem jest to okrąg o środku w \(z_1 = 2-j\) i promieniu 3.
Zacznijmy od przekształcenia tej nierówności:
\[\begin{split}\begin{aligned} |z - 2j -1| - |\overline{z} -2 -3j| & < 0 \\ |z - 2j -1| & < \Absolute{\overline{z -2 +3j}} \\ |z - 2j -1| & < \Absolute{z -2 +3j} . \end{aligned}\end{split}\]Zatem jest półprzestrzeń zawierającą \(z_2\) wyznaczona przez symetralną odcinka łączącego
\[ z_2 = 1 + 2j \quad \text{i} \quad z_3 = 2 - 3j. \]Symetralna:
przechodzi przez środek odcinka \(\quad s = \tfrac{z_2 + z_3} 2 = \tfrac 3 2 - \tfrac 1 2 j\)
jest prostopadła do wektora \(\quad z_2 - z_3 = -1 + 5j, \quad\)
czyli wzdłuż wektora \(\quad v = 5 + j .\)
Rozważmy trójkąt o wierzchołkach -2, 2, \(z .\) Zauważmy, że:
\(|z \pm 2|\) jest długością boku tego trójkąta łączącego \(z\) i \(\mp 2 .\)
Zatem z nierówności trójkąta otrzymamy
\[|z - 2| + |z+2| \geq |2 - (-2)| = 4.\]Z tego wniosek, że nie istnieje \(z\in\cc\), dla którego \(|z - 2| + |z+2| \geq |2 - (-2)| = 2\), czyli rozwiązaniem jest zbiór pusty.
Rozwiązania przedstawione są na stronie GEOGEBRA.