Liczby zespolone I

6. Liczby zespolone I#

6.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 6.6

Niech \(z_1 = 1-2j\), \(z_2 = 2+j .\) Oblicz (na początku upraszczając podane wyrażenie):

  1. \(\displaystyle z_1^3+jz_2,\quad \overline{\overline{\left(\overline{z_1}^3 + \overline{j\cdot z_2}\right)}\cdot z_1^{-1}} \)

  2. \( \displaystyle \left(\RealPart\left(z_1^{33} \cdot z_2^{-32}\right)\right)^2 + \left(\ImagPart\left(\overline{z_1^{33} \cdot z_2^{-32}}\right)\right)^2, \quad \left|\frac {z_1^{2018}}{z_2^{2017}} \right|.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.1, Ćw. 6.3, Ćw. 6.4.

Ćwiczenie 6.7

Korzystając z zależności \(|z|^2 = z\cdot \overline{z}\) wykaż, że dla każdego \(z_1, z_2 \in \cc\) zachodzi:

\[\begin{split} \begin{aligned} |z_1 + z_2|^2 & = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2 \RealPart(z_1\overline{z_2}) \\ |z_1 - z_2|^2 & = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2 \RealPart(z_1\overline{z_2}) \\ |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 & = 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2. \end{aligned} \end{split}\]

Ostatnia z nich nosi nazwę tożsamości równoległoboku.

Ćwiczenie 6.8

Zilustruj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych \(z\in\cc\) spełniających warunek:

  1. \(|z+j|^2\leq(\overline{z}-z)j+3\)

  2. \(|(3j+4){z} -10-20j| > 5\)

  3. \( \left|\dfrac{z}{\overline{z}-2+2j}\right|\geq 1\)

  4. \(|2z-1|-|2jz+4|=0\)

  5. \(|z-j|+|z+j|=2 .\)

Uwaga! Jeśli tylko to możliwe, skorzystaj z interpretacji geometrycznej podanej na wykładzie, nie rozwiązując równań po podstawieniu \(z=x + jy .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.2, Ćw. 6.3, Ćw. 6.4, Ćw. 6.5.

Ćwiczenie 6.9

Znajdź argument główny oraz postać trygonometryczną i wykładniczą liczb zespolonych (w miarę potrzeby wykorzystując funkcje \(\arcsin\) lub \(\arctan\)):

  1. \(-2+2\sqrt{3}j, \, 3j-4\)

  2. \(1+2j, \, 2-2j\)

  3. \(\dfrac{j-2}{j+3}\)

  4. \(\Paren{\sqrt{3}-j}\Paren{1+j} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 7.1, Ćw. 7.2.

6.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 6.10

Niech \(z_1 = 3+2j\), \(z_2 = 2-5j .\) Oblicz (na początku upraszczając podane wyrażenie):

\[ \begin{aligned} z_1^2+jz_2, & & \RealPart(z_1 \cdot z_2), & & |2\,\overline{z}_1 +\ImagPart z_2|, & & \dfrac{\overline{z}_2 -j|z_1+2j| }{z_1 }. \end{aligned} \]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.1, Ćw. 6.3, Ćw. 6.4.

Ćwiczenie 6.11

Wykaż, że podane równości zachodzą dla dowolnych \(z,z_1, z_2\in\cc\):

  1. \(\RealPart (z_1+z_2) = \RealPart z_1 + \RealPart z_2\)

  2. \(\overline{z_1\cdot z_2} = \overline{z}_1\cdot\overline{z}_2\)

  3. \(\ImagPart (jz) = \RealPart z\)

  4. \(z- \overline{z} = 2j \, \ImagPart z .\)

Ćwiczenie 6.12

Podając dowód lub kontrprzykład wywnioskuj, które z podanych równości zachodzą dla dowolnych \(z,z_1, z_2\in\cc\):

\[\begin{split} \begin{aligned} z^2 + \overline{z^2} & = 2 \, \RealPart \overline{z}^2, & \RealPart (z_1-z_2) & = \RealPart z_1 - \ImagPart z_2, \\ \ImagPart \left(|z_1|^4\cdot z_2^3\right) & = \ImagPart |z_1|^4\cdot \ImagPart z_2^3, & |z_1 + z_2|^2 & = |z_1|^2 + |z_2|^2\, ? \end{aligned} \end{split}\]

Ćwiczenie 6.13

Podając dowód lub kontrprzykład wywnioskuj, które z podanych równości zachodzą dla dowolnych \(z,z_1, z_2\in\cc\):

\[\begin{split} \begin{aligned} z- \overline{z} & = 2 \, \ImagPart z, & \ImagPart (z_1+z_2) & = \ImagPart z_1 + \ImagPart z_2, \\ \RealPart \left(z_1^7\cdot z_2^5\right) & = \RealPart z_1^7\cdot \RealPart z_2^5, & |z_1+ z_2| & = |z_1|+|z_2|\, ? \end{aligned} \end{split}\]

Ćwiczenie 6.14

Zilustruj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych spełniających podany warunek:

  1. \(|z|^2+z=7-j\)

  2. \(1\leq |z+2-j| <3\)

  3. \( \left|\dfrac{z-j}{z+2+j}\right|\geq 1\)

  4. \(\left|z+\frac{7-j}{2-j}\right| \geq | \overline{z}+1+j|\)

  5. \(|z-j|+|z+j|<4 .\)

Uwaga! Jeśli tylko to możliwe, skorzystaj z interpretacji geometrycznej podanej na wykładzie, nie rozwiązując równań po podstawieniu \(z=x + jy .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.2, Ćw. 6.3, Ćw. 6.4, Ćw. 6.5.

Ćwiczenie 6.15

Znajdź argument główny oraz postać trygonometryczną i wykładniczą liczb zespolonych (w miarę potrzeby wykorzystując funkcje \(\arcsin\) lub \(\arctan\)):

  1. \(-1-\sqrt{3}j, \quad 8+15j\)

  2. \(-12-5j, \quad 1+\sqrt{3}j\)

  3. \(\dfrac{1}{3+4j}\)

  4. \(\Paren{2-2j}\Paren{-1+\sqrt{3}j} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 7.1, Ćw. 7.2.