4. Granica funkcji#
4.1. Granica właściwa#
Narration
Niech \(\emptyset\neq A \subseteq \rr\).
Definicja 4.1
Punkt \(x_0\in \rr\) nazywamy punktem skupienia zbioru \(A\), jeśli
Stwierdzenie 4.1
Punkt \(x_0\in\rr\) jest punktem skupienia zbioru \(A\subseteq \rr\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg \((a_n)\) o wyrazach ze zbioru \(A\setminus\Set{x_0}\) i \(\LimInfty a_n = x_0.\)
Przykład 4.1
Dla przykładu punkty skupienia zbioru:
\(A_1 = \Set{\pi}\) to punkty zbioru \(\emptyset\)
\(A_2 = (-1,2)\cup \Set{e}\) to punkty \([-1,2]\)
\(A_3 = \Set{\frac 1 n : n\in \nn}\) to punkty zbioru \(\Set{0}\)
\(A_4 = \nn\) to punkty zbioru \(\emptyset\)
\(A_5 = \rr\setminus\zz\) to punkty zbioru \(\rr\)
\(A_6 = \qq\) to punkty zbioru \(\rr\).
Definicja 4.2
Punktem izolowanym zbioru \(A\) nazywam \(x_0\in A\), który nie jest punktem skupienia \(A\).
Przykład 4.2
Dla przykładu punkty izolowane zbioru:
\(A_1 = \Set{\pi}\) to punkty zbioru \(A_1\)
\(A_2 = (-1,2)\cup \Set{e}\) to punkty zbioru \(\Set{e}\)
\(A_3 = \Set{\frac 1 n : n\in \nn}\) to punkty zbioru \(A_3\)
\(A_4 = \nn\) to punkty zbioru \(A_4\)
\(A_5 = \rr\setminus\zz\) to punkty zbioru \(\emptyset\)
\(A_6 = \qq\) to punkty zbioru \(\emptyset\).
Narration
Niech \(f:X \to \rr\) i \(x_0\) będzie punktem skupienia zbioru \(X\).
Definicja 4.3
Granicą (skończoną lub właściwą) funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\), w sensie Cauchy’ego, nazywamy liczbę \(g\in\rr\), jeśli
Granicą (skończoną lub właściwą) funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\), w sensie Heinego, nazywamy liczbę \(g\in\rr\), jeśli dla każdego ciągu \((a_n)\) o wyrazach ze zbioru \(X\setminus\Set{x_0}\)
Jeśli granica istnieje, to piszemy: \(\qquad \LimIn{x_0} f(x) = g \quad\) lub \(\quad \displaystyle f(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} g \quad\) i mówimy, że funkcja jest zbieżna w punkcie \(x_0\) do granicy \(g\).
Uwaga 4.1
Jeśli granica funkcji w punkcie istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie.
Obie powyższe definicje granicy funkcji w punkcie są równoważne i w dalszej części wykładu będziemy korzystać z jednej lub drugiej w zależności od przydatności w danej sytuacji.
Zauważmy, że aby sprawdzić definicję w sensie Cauchy’ego musimy „domyślić się” jaka jest granica.
Z drugiej strony w definicji w sensie Heinego możemy wstawić ciąg \((a_n)\) zbieżny do \(x_0\) i policzyć \(\LimInfty f(a_n) = g\), ale to nie implikuje, że \(g\) jest granicą \(f\) w \(x_0\).
Granica funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) to liczba \(g\in\rr\) o tej własności, że dla dowolnie małego \(\epsilon>0\), możemy znaleźć małe sąsiedztwo \(x_0\) (o promieniu \(\delta_\epsilon\)), w którym wartości \(f\) należą do otoczenia \(g\) o promieniu \(\epsilon\).
Przykład 4.3
Pokażmy z definicji Cauchy’ego, że \(\LimIn{-1} 2x + 5 = 3,\) czyli
\[ \forall \epsilon >0 \ \exists \delta_\epsilon>0 \ \forall x\in \rr \quad 0 < |x - (-1)| < \delta_\epsilon \imply |2x+5-3| < \epsilon. \]Zauważmy, że
\[ |2x+5-3| = 2|x+1| < \epsilon \qlq |x- (-1)| < \frac \epsilon 2. \]Zatem biorąc \(\delta_\epsilon = \frac \epsilon 2\) pokazujemy, że zdanie z definicji jest spełnione.
Pokażmy z definicji Heinego, że \(\LimIn{0} \frac {2x^2 - 5x}{x^2 -x} = 5.\)
Weźmy dowolny ciąg \((a_n)\) o wyrazach \(a_n \notin \Set{0,1}\), dla którego \(\LimInfty a_n = 0\).
Wtedy
\[ \LimInfty f(a_n) = \LimInfty \frac {2a_n^2 - 5a_n}{a_n^2 -a_n} = \LimInfty \frac {\bcancel{a_n}(2a_n - 5)}{\bcancel{a_n}(a_n -1)} = \frac {2 \LimInfty a_n - 5}{\LimInfty a_n -1} =\frac {-5}{-1} = 5. \]
Ćwiczenie 4.1
Wykaż, że nie istnieje granica \(\LimIn{0} \sin \frac 1 x.\)
Rozwiązanie
Skorzystamy z definicji Heinego.
Biorąc \(a_n = \dfrac 1 {2\pi n} \LimToInfty 0\), otrzymamy \(f(a_n) = \sin \Paren{\frac 1 {\frac 1 {2\pi n} }} = \sin 2\pi n = 0 \LimToInfty 0\).
Biorąc \(b_n = \dfrac 1 {\frac \pi 2 + 2\pi n} \LimToInfty 0\), otrzymamy \(f(b_n) = \sin \Paren{\frac \pi 2 + 2\pi n} = 1 \LimToInfty 1\).
Zatem definicja nie jest spełniona i granica nie istnieje.
Przykład 4.4
Weźmy \(f:\rr \to \rr\) zadaną wzorem \(f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{dla } x\in \qq \\ 0, & \text{w p.p.} \end{cases}. \)
Sprawdźmy, że \(\LimIn{0} f(x) = 0\) używając definicji Cauchy’ego.
Dla ustalonego \(\epsilon > 0\) musimy znaleźć \(\delta_\epsilon > 0\) dające zadość warunkowi
\[0< |x - 0| < \delta_\epsilon \imply |f(x) - 0| < \epsilon.\]Ponieważ \(|f(x) - 0| \leq 2|x|\), to wystarczy wziąć \(\delta_\epsilon = \frac \epsilon 2\), bo prawdą jest, że
\[0< |x| < \frac \epsilon 2 \imply |f(x)| < 2\cdot \frac \epsilon 2 = \epsilon.\]W pozostałych punktach \(f\) nie ma granicy i zdecydowanie łatwiej jest to pokazać z definicji Heinego.
Istotnie, dla \(x_0\in\qq\setminus\Set{0}\),
biorąc \(\qq \ni a_n = x_0 + \frac 1 n \LimToInfty x_0\), otrzymamy \(f(a_n) = x_0 + \frac 1 n \LimToInfty x_0\)
biorąc \(\qq \not\ni b_n = x_0 + \frac {\sqrt 2} n \LimToInfty x_0\), otrzymamy \(f(b_n) = 0 \LimToInfty 0\).
Ponieważ \(x_0\neq 0\), \(\LimIn{x_0} f(x)\) nie istnieje.
Analogicznie dla \(x_0\notin \qq\).
Narration
Z postaci definicji Heinego, łatwo uogólnić własności granic ciągów na granice funkcji.
Stwierdzenie 4.2
Niech \(f:X \to \rr\) i \(x_0\) będzie punktem skupienia zbioru \(X\).
\( \LimIn{x_0} f(x) = 0 \Leftrightarrow \LimIn{x_0} |f(x)| = 0\);
\( \LimIn{x_0} f(x) = g \Rightarrow \LimIn{x_0} |f(x)| = |g|\);
Twierdzenie 4.3 (o działaniach arytmetycznych na granicach)
Niech \(f,h:X \to \rr\) i \(x_0\) będzie punktem skupienia zbioru \(X\).
Niech \(c\in \rr\) i załóżmy, że \(\LimIn{x_0} f(x) = a\) i \(\LimIn{x_0} h(x) = b.\)
Wówczas:
\(\LimIn{x_0} c\cdot f(x) = c\cdot a\ \)
\(\LimIn{x_0} f(x) \pm h(x) = a \pm b\ \)
\(\LimIn{x_0} f(x) \cdot h(x) = a \cdot b\ \)
\(\LimIn{x_0} \frac{f(x)} {h(x)} = \frac a b\), jeśli tylko \(b\neq 0\ \).
Twierdzenie 4.4 (o trzech funkcjach)
Niech \(f,g,h:X \to \rr\) i \(x_0\) będzie punktem skupienia zbioru \(X\).
Jeśli
to \(\LimIn{x_0} g(x) = b.\)
Wniosek 4.5
Jeśli \(\LimIn{x_0} f(x) = 0\) i \(g(x)\) jest ograniczona dla \(x\in S(x_0,r)\), to \(\LimIn{x_0} f(x)\cdot g(x) = 0.\)
4.2. Granica funkcji trygonometrycznych#
Przykład 4.5
Pokażmy, że:
W sytuacji jak na rysunku obok, dla \(\alpha \in \Paren{0, \frac \pi 2}\) widzimy, że pole \(\Delta OAB\) jest mniejsze od pola wycinka \(OAB\), a ten jest mniejszy od pola \(\Delta OAC\).
Przyjmując promień okręgu równy \(R\) otrzymujemy:
Dla \(\alpha \in \Paren{-\frac \pi 2, 0}\) mamy \(-\alpha \in \Paren{0, \frac \pi 2}\), więc
Podsumowując,
Stąd już łatwo widać, że:
Ponieważ \(0 < \dfrac {\sin \alpha} \alpha < 1\), to
\[ 0 < \frac {\Absolute{\sin \alpha}} {\Absolute{\alpha}} < 1 \qlq 0 < {\Absolute{\sin \alpha}} < {\Absolute{\alpha}} \LimTo[\alpha]{0} 0. \]Z twierdzenia o 3. funkcjach \(\quad \LimIn[\alpha]{0} {|\sin \alpha|} = \LimIn[\alpha]{0} {\sin \alpha} = 0.\)
Ponieważ
\[ 1 - \sin^2 \frac \alpha 2 = \cos \alpha < \frac {\sin \alpha} \alpha < 1, \]to \(\quad \LimIn[\alpha]{0} \cos \alpha = 1 - \LimIn[\alpha]{0}{\sin^2 \frac \alpha 2} = 1 \quad\) oraz z twierdzenia o 3. funkcjach \(\quad \LimIn[\alpha]{0} \frac {\sin \alpha} \alpha = 1.\)
Warto sobie uświadomić, że na mocy definicji Heinego oznacza to, że dla każdego ciągu \(a_n \LimToInfty 0\) mamy \(\LimInfty \frac {\sin a_n} {a_n} = 1\).
Dla przykładu:
Ale proszę być uważnym!
\(\LimInfty \frac {\sin n} {n} \neq 1,\) bo \(\LimInfty n \neq 0\) !
4.3. Granica niewłaściwa#
Narration
Niech \(f:X \to \rr\) i \(x_0\) będzie punktem skupienia zbioru \(X\).
Definicja 4.4
Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) granicę niewłaściwą \(\pm\infty\), w sensie Cauchy’ego, jeśli
Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) granicę niewłaściwą \(\pm\infty\), w sensie Heinego, jeśli dla każdego ciągu \((a_n)\) o wyrazach ze zbioru \(X\setminus\Set{x_0}\)
Jeśli definicja jest spełniona, to piszemy: \(\qquad \LimIn{x_0} f(x) = \pm \infty \quad\) lub \(\quad \displaystyle f(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} \pm \infty \quad\) i mówimy, że funkcja w punkcie \(x_0\) jest (ro)zbieżna do \(\pm\) nieskończoności.
Uwaga 4.2
Po raz kolejny definicje w obu sensach są równoważne.
W powyższej definicji, jak i w dalszej części wykładu, napis \(\pm\infty\) oznacza, że wybieramy jedno z dwóch: \(-\infty\) albo \(+\infty\).
Funkcja \(f\) w punkcie \(x_0\) jest rozbieżna do \(+\infty\) (odp. \(-\infty\)), jeśli dla dowolnie dużego \(M \in \rr\), możemy znaleźć małe sąsiedztwo \(x_0\) (o promieniu \(\delta_M\)), w którym wartości \(f\) są większe niż \(M\) (mniejsze od \(-M\)).
Przykład 4.6
Pokażmy z definicji Cauchy’ego, że \(\LimIn{0} \frac 1 {x^2} = +\infty,\) czyli
Zauważmy, że: - Jeśli \(M \leq 0\), to \(\forall x\neq 0 \; \frac 1 {x^2} > M\), więc zdanie z definicji jest prawdziwe np. \(\delta_M = 1.\)
Jeśli \(M > 0\), to \( \quad \dfrac 1 {\sqrt M} > |x - 0| \qlq \dfrac 1 {M} > |x|^2 = x^2 \qlq \dfrac 1 {x^2} > M. \quad \)
Zatem biorąc \(\delta_M = \frac 1 {\sqrt M}\) widzimy, że zdanie z definicji jest prawdziwe.
Ćwiczenie 4.2
Wykażmy, że \(f(x) = \dfrac 1 x\) nie ma granicy niewłaściwej w punkcie \(x_0 = 0\)
Rozwiązanie
Skorzystamy z definicji Heinego.
Biorąc \(a_n = \dfrac 1 n \LimToInfty 0\), otrzymamy \(f(a_n) = n \LimToInfty +\infty\)
Biorąc \(b_n = -\dfrac 1 n \LimToInfty 0\), otrzymamy \(f(b_n) = -n \LimToInfty -\infty\).
Zatem definicja nie jest spełniona i granica nie istnieje.
Stwierdzenie 4.6
Niech \(f,h:X \to \rr\) i \(x_0\) będzie punktem skupienia zbioru \(X\).
Niech \(c > 0\) i załóżmy, że \(\LimIn{x_0} f(x) = \LimIn{x_0} h(x) = \pm \infty\) (obie takie same!).
Wówczas:
\(\LimIn{x_0} \frac 1 {f(x)} = 0 \ \)
\(\LimIn{x_0} -f(x) = \mp\infty \ \)
\(\LimIn{x_0} c\cdot f(x) = \pm\infty \ \)
\(\LimIn{x_0} f(x) + h(x) = \pm\infty\ \)
\(\LimIn{x_0} f(x) \cdot h(x) = +\infty\ \).
Stwierdzenie 4.7
Niech \(g,h:X \to \rr\) i \(x_0\) będzie punktem skupienia zbioru \(X\).
Załóżmy, że \(\LimIn{x_0} g(x) = 0\), \(\LimIn{x_0} h(x) = \pm \infty\) oraz istnieje (niekoniecznie właściwa) granica \(c = \LimIn{x_0} g(x)\cdot h(x)\).
Wówczas
4.4. Granica jednostronna#
Narration
Niech \(f:X \to \rr\) i \(x_0\) będzie punktem skupienia zbioru \(X\).
Definicja 4.5
Jeśli \(x_0\) jest punktem skupienia \(X\cap (-\infty, x_0)\) i istnieje (właściwa lub niewłaściwa) granica
to nazywamy ją lewostronną granicą funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) i piszemy \(\quad {\LimIn{x_0^-} f(x) = g_-}\) .
Jeśli \(x_0\) jest punktem skupienia \(X\cap (x_0, + \infty)\) i istnieje (właściwa lub niewłaściwa) granica
to nazywamy ją prawostronną granicą funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) i piszemy \(\quad {\LimIn{x_0^+} f(x) = g_+}\) .
Uwaga 4.3
Z definicji jasno wynika, że wszystkie twierdzenia dotyczące granic funkcji są prawdziwe dla granic jednostronnych.
Ćwiczenie 4.3
Policzmy \(\LimIn{0^+} \sqrt[\sin x]{\cos^2 x}.\)
Rozwiązanie
Zauważmy, że \( \quad \sqrt[\sin x]{\cos^2 x} = \Paren{1 - \sin^2 x}^{\frac 1 {\sin x}}. \) Przyjmijmy:
Możemy obliczyć
Korzystając ze stwierdzenia otrzymujemy
Stwierdzenie 4.8
Niech \(f:X \to \rr\) i \(x_0\) będzie punktem skupienia zarówno zbioru \(X\cap (-\infty, x_0)\) jak i \(X\cap (x_0, + \infty)\).
Wówczas \(\LimIn{x_0} f(x)\) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy granice jednostronne istnieją i są sobie równe.
W tym przypadku
Ćwiczenie 4.4
Wykażmy, że nie istnieje granica \(\LimIn{0} \frac x {|x|}.\)
Rozwiązanie
Funkcja \(\displaystyle x \mapsto \frac x {|x|}\) ma granice jednostronne w \(0\) równe:
Ponieważ są one różne, to \(\LimIn{0} \frac x {|x|} \) nie istnieje.
4.5. Granica w nieskończoności#
Narration
Niech \(f:X \to \rr\) i \(X\) będzie zbiorem nieograniczonym z góry, czyli \(\forall M\in\rr \ X \cap (M, + \infty)\neq \emptyset.\)
Wówczas istnieje ciąg \((a_n)\) o wyrazach z \(X\) taki, że \(\LimInfty a_n = + \infty.\)
Definicja 4.6
Granicą funkcji \(f\) w \(+ \infty\), w sensie Cauchy’ego, nazywamy liczbę \(g\in\rr\), jeśli
Granicą funkcji \(f\) w \(+ \infty\), w sensie Heinego, nazywamy liczbę \(g\in\rr\), jeśli dla każdego ciągu \((a_n)\) o wyrazach ze zbioru \(X\)
Funkcja \(f\) ma w \(+\infty\) granicę niewłaściwą \(\pm\infty\), w sensie Cauchy’ego, jeśli
Funkcja \(f\) ma w \(+\infty\) granicę niewłaściwą \(\pm\infty\), w sensie Heinego, jeśli dla każdego ciągu \((a_n)\) o wyrazach ze zbioru \(X\)
Jeśli granica istnieje, to piszemy
i mówimy, że funkcja jest zbieżna w \(+\infty\) do granicy \(g\) (rozbieżna do \(\pm \infty\)).
Analogicznie definiujemy granice w minus nieskończoności, czyli \(\LimIn{-\infty} f(x).\)
Przykład 4.7
Funkcja \(f(x) = \sin x\) nie ma granicy w \(+\infty\).
Istotnie,
biorąc \(a_n = \pi n \LimToInfty +\infty\), otrzymamy \(f(a_n) = \sin \pi n = 0 \LimToInfty 0\)
biorąc \(b_n = \pi \left(2n + \frac 1 2\right) \LimToInfty +\infty\), otrzymamy \(f(b_n) = \sin \pi \left(2n + \frac 1 2\right) = 1 \LimToInfty 1\).
Ponieważ granice są różne, to definicja Heinego nie jest spełniona.
Uwaga 4.4
Wszystkie twierdzenia dotyczące granic funkcji w punkcie są prawdziwe dla granic funkcji w nieskończoności.
4.6. Zamiana zmiennej#
Narration
Niech \(f: X \to \rr\), \(x_0\in\rr \cup \Set{\pm \infty}\).
Chcemy policzyć właściwą lub niewłaściwą granicę \(\LimIn{x_0} f(x)\) domyślając się, że po zamianie zmiennych sprowadzimy ją do granicy już nam znanej.
Załóżmy, że w sąsiedztwie \(x_0\) istnieje (lokalnie) odwracalna funkcja \(y = h(x)\) i istnieje \(y_0 = \LimIn{x_0} h(x)\).
Wówczas
Ćwiczenie 4.5
Policzmy \(\LimIn{\frac \pi 2} \frac{ \cos x } {2x - \pi}.\)
Rozwiązanie
Przyjmijmy \(y = h(x) = x- \frac \pi 2\).
Wówczas \(y_0 = \LimIn{\frac \pi 2} h(x) = 0.\)
Stąd
4.7. Przykłady granic#
Wskazówka
Zbierzmy najważniejsze podstawowe przykłady granic funkcji:
\(\LimIn{+\infty} x^\alpha = \begin{cases} 0, & \text{dla } \alpha < 0 \\ 1, & \text{dla } \alpha = 0 \\ +\infty, & \text{dla } \alpha > 0 \end{cases} \)
\(\LimIn{+\infty} q^x = \begin{cases} 0, & \text{dla } 0 < q < 1 \\ 1, & \text{dla } q = 1 \\ +\infty, & \text{dla } q > 1 \end{cases} \)
\(\LimIn{0^+} \log_a x = \begin{cases} +\infty, & \text{dla } 0 < a < 1 \\ -\infty, & \text{dla } a > 1 \end{cases} \)
\(\LimIn{+\infty} \log_a x = \begin{cases} -\infty, & \text{dla } 0 < a < 1 \\ +\infty, & \text{dla } a > 1 \end{cases} \)
\(\LimIn{0} \left(1 + x\right)^{\frac 1 x} = \LimIn[|x|]{+\infty} \left(1 + \frac 1 x\right)^x = e \)
\(\LimIn{0} \frac {\sin x} x = 1 \)
\(\LimIn{0} \frac {a^x - 1} x = \ln a \qquad\) dla \(a > 0 \)
\(\LimIn{0} \frac {\log_a(1+x)} x = \frac 1 {\ln a} \qquad\) dla \(a>0, \alpha\neq 1 \)
\(\LimIn{0} \frac {(1+x)^\alpha - 1} x = \alpha \qquad\) dla \(\alpha\in\rr .\)
Ćwiczenie 4.6
Policzmy granice:
\(\LimIn{2} \frac{x^2+2x}{x^2 + 3x + 2} \)
\(\LimIn{-2} \frac{x^2+2x}{x^2 + 3x + 2} \)
\(\LimIn{0} \frac{\sqrt{x+4} - 2} x \)
\(\LimIn{-2} \frac {x^2-4} {\arctg(x+2)} \)
\(\LimIn{-\infty} \sqrt{x^2+x} + x \)
\(\LimIn{+\infty} (3x + 1)\sin\frac 1 x \)
\(\LimIn{+\infty}\ x\cdot {\arcctg x} .\)
Rozwiązanie
\(\LimIn{2} \dfrac{x^2+2x}{x^2 + 3x + 2} = \dfrac{\Paren{\LimIn{2} x}^2 + 2\LimIn{2} x}{\Paren{\LimIn{2} x}^2 + 3\LimIn{2} x + \LimIn{2} 2} = {\dfrac{4 + 4}{4+6+2}} = \dfrac 2 3\)
\(\LimIn{-2} \frac{x^2+2x}{x^2 + 3x + 2} = \IndefiniteSymbol[0] = \LimIn{-2} \frac{x\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x+2)}(x+1)} = \frac {-2} {-1} = 2\)
Mnożymy przez „sprzężenie”:
\[\begin{split} \LimIn{0} \frac{\sqrt{x+4} - 2} x & = \LimIn{0} \frac{\sqrt{x+4} - 2} x \cdot \frac{\sqrt{x+4} + 2} {\sqrt{x+4} + 2} \\ & = \LimIn{0} \frac{x+\cancel{4}-\cancel{4}} {x\Paren{\sqrt{x+4} + 2}} = \LimIn{0} \frac 1 {\sqrt{x+4} + 2} = \frac 1 4 \end{split}\]Obliczamy granicę korzystając z zamiany zmiennych:
\[\begin{split} \LimIn{-2} \frac {x^2-4} {\arctg(x+2)} & = \IndefiniteSymbol[0] = \LimIn{-2} (x-2) \cdot \LimIn{-2} \frac {x+2} {\arctg(x+2)} \\ & = \WaveBrack{ y & = x+2 \\ y & \LimTo{-2} 0 } = -4 \cdot\LimIn[y]{0} \frac {y} {\arctg y} \\ & = \WaveBrack{ z & = \arctg y \\ z & \LimTo[y]{0} 0 } = -4 \cdot\LimIn[z]{0} \frac {\tg z} {z} = -4 \cdot \LimIn[z]{0} \frac 1 {\cos z} \cdot \LimIn[z]{0} \frac {\sin z} {z} = -4 \end{split}\]Mnożymy przez „sprzężenie” i zamieniamy zmienną:
\[\begin{split} \LimIn{-\infty} \sqrt{x^2+x} + x & = \Brack{\infty - \infty} = \LimIn{-\infty} \dfrac {\Paren{\sqrt{x^2+x} + x}\Paren{\sqrt{x^2+x} - x}} {{\sqrt{x^2+x} - x}} = \LimIn{-\infty} \dfrac {{x^2+x} - x^2} {\sqrt{x^2+x} - x} \\ = \WaveBrack{y = -x} & = \LimIn[y]{+\infty} \dfrac {-y} {\sqrt{y^2-y} + y} = \LimIn[y]{+\infty} \dfrac {-\bcancel{y}} {\bcancel{y}\Paren{\sqrt{1-\frac 1 y} + 1}} = -\frac 1 2 \end{split}\]Zamieniamy zmienną:
\[\begin{split} \LimIn{+\infty} (3x + 1)\sin\frac 1 x & = \Brack{\infty \cdot 0} = \LimIn{+\infty} \frac {3x + 1} x \cdot\frac{\sin\frac 1 x}{\frac 1 x} \\ & =\WaveBrack{y = \frac 1 x} = \LimIn{+\infty} \Paren{3 + \frac 1 x} \cdot \LimIn[y]{0^+} \frac{\sin y}{y} = 3 \end{split}\]Zamieniamy zmienną:
\[\begin{split} \LimIn{+\infty}\ x\cdot {\arcctg x} & = \Brack{\infty \cdot 0} = \WaveBrack{ y & = \arcctg x,\quad x = \ctg y \\ y & \LimTo{+\infty} 0^+ } \\ & = \LimIn[y]{0^+}\ \ctg y\cdot y = \LimIn[y]{0^+} \cos y \cdot \LimIn[y]{0^+} \frac y {\sin y} = 1 . \end{split}\]
4.8. Asymptoty funkcji#
Definicja 4.7
Prostą o równaniu \(x = c\) nazywamy:
lewostronną asymptotą pionową wykresu funkcji \(f:X\to \rr\), jeśli
\[\LimIn{c^-} f(x) = \pm\infty\]prawostronną asymptotą pionową wykresu funkcji \(f:X\to \rr\), jeśli
\[\LimIn{c^+} f(x) = \pm\infty\]obustronną asymptotą pionową wykresu funkcji \(f:X\to \rr\), jeśli jest lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Ćwiczenie 4.7
Znajdźmy asymptoty pionowe funkcji \(\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 7x}{x+2}.\)
Rozwiązanie
Dziedzina funkcji \(f\) to \(D_f = \rr\setminus\Set{-2}\).
Dla \(c \neq -2\) mamy \(\LimIn{c} f(x) = f(c) \in \rr\), więc w tym przypadku \(x=c\) nie jest asymptotą pionową.
Dla \(c = -2\) mamy:
\[\begin{split} \LimIn{-2^-} f(x) & = \LimIn{-2^-} \frac{x^2 + 7x}{x+2} = \Brack{\frac {-10}{0^-}} = +\infty, \\ \LimIn{-2^+} f(x) & = \LimIn{-2^+} \frac{x^2 + 7x}{x+2} = \Brack{\frac {-10}{0^+}} = -\infty. \end{split}\]Zatem \(x = -2\) jest asymptotą pionową obustronną.
Definicja 4.8
Prostą o równaniu \(y = mx + k\) nazywamy:
lewostronną asymptotą ukośną (poziomą jeśli \(m=0\)) wykresu funkcji \(f:X\to \rr\), jeśli
\[ \LimIn{-\infty} f(x) - mx - k = 0 \]prawostronną asymptotą ukośną (poziomą jeśli \(m=0\)) wykresu funkcji \(f:X\to \rr\), jeśli
\[ \LimIn{+\infty} f(x) - mx - k = 0 \]obustronną asymptotą ukośną wykresu funkcji \(f:X\to \rr\), jeśli jest lewostronną i prawostronną asymptotą ukośną.
Twierdzenie 4.9
Prosta o równaniu \(y = m_\pm\cdot x + k_\pm\) jest lewostronną (biorąc -)/ prawostronną (biorąc +) asymptotą ukośną wykresu funkcji \(f: X \to \rr\) wtedy i tylko wtedy, gdy
Ćwiczenie 4.8
Znajdźmy asymptoty ukośne funkcji \(\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 7x}{x+2}.\)
Rozwiązanie
Liczymy współczynniki kierunkowe (ewentualnych) asymptot:
Pozostaje obliczyć stałe \(k_\pm\), które podobnie jak powyższe obliczenia będą takie same w \(-\infty\) oraz \(+\infty\):
Stąd \(y = x+5\) jest obustronną asymptotą ukośną.
Ćwiczenie 4.9
Wyznacz równania asymptot wykresu funkcji \(f\), jeśli \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x(x-1)}}.\)
Rozwiązanie
Dziedzina funkcji \(f\) jest wyznaczona przez warunek na wyrażenie pod pierwiastkiem:
\[ x(x-1)>0 \iff x\in(-\infty,0)\cup(1,\infty)=\rr\setminus[0,1]. \]Asymptoty pionowe. Kandydatami są końce przerwy w dziedzinie: \(x=0\) oraz \(x=1\).
Dla \(x\to 0^-\) (funkcja jest określona tylko z lewej strony):
\[ f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-x}} =\frac{x^2}{|x|\sqrt{1-\frac 1 x}} =\frac{-x}{\sqrt{1-\frac 1 x}} \xrightarrow[x\to0^-]{}0, \]więc granica jest właściwa — w \(x=0\) nie ma asymptoty pionowej.
Dla \(x\to 1^+\):
\[ \LimIn{1^+} f(x)=\LimIn{1^+}\frac{x^2}{\sqrt{x(x-1)}}=+\infty, \]zatem \(x=1\) jest asymptotą pionową prawostronną.
Asymtoty ukośne. Korzystamy z podanego twierdzenia o asymptocie ukośnej:
\[m_\pm=\LimIn{\pm\infty}\frac{f(x)}{x}\in\rr,\qquad k_\pm=\LimIn{\pm\infty}\Brack{f(x)-m_\pm x}\in\rr.\]Dla \(x\to+\infty\) możemy założyć, że \(x>0\), więc \(\sqrt{x^2-x}=x\sqrt{1-\frac 1 x}\):
\[\begin{split} \begin{aligned} m_+ & = \LimIn{+\infty}\frac{f(x)}{x} = \LimIn{+\infty}\frac{x^2}{x\sqrt{x^2-x}} \\ & = \LimIn{+\infty}\frac{1}{\sqrt{1-\frac 1 x}} = 1 \\ k_+ & = \LimIn{+\infty}\bigl(f(x)-x\bigr) = \LimIn{+\infty}x\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac 1 x}}-1\right) \\ & = \LimIn{+\infty}x\cdot\frac{1-\sqrt{1-\frac 1 x}}{\sqrt{1-\frac 1 x}} = \LimIn{+\infty}\frac{x\left(1-\left(1-\frac 1 x\right)\right)}{\sqrt{1-\frac 1 x}\left(1+\sqrt{1-\frac 1 x}\right)} \\ & = \LimIn{+\infty}\frac{1}{\sqrt{1-\frac 1 x}\left(1+\sqrt{1-\frac 1 x}\right)} = \frac{1}{1\cdot2} = \frac 1 2 . \end{aligned} \end{split}\]Zatem prawostronna asymptota ukośna to \(y=x+\frac 1 2\).
Analogicznie, dla \(x\to-\infty\) możemy założyć, że \(x<0\), więc
\[ \sqrt{x^2-x}=|x|\sqrt{1-\frac 1 x}=-x\sqrt{1-\frac 1 x} \quad \text{i} \quad f(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-\frac 1 x}}. \]Stąd,
\[\begin{split} \begin{aligned} m_- & = \LimIn{-\infty}\frac{f(x)}{x} = \LimIn{-\infty}\frac{-1}{\sqrt{1-\frac 1 x}} = -1 \\ k_- & = \LimIn{-\infty}\bigl(f(x)+x\bigr) = \LimIn{-\infty}x\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\frac 1 x}}\right) \\ & = \LimIn{-\infty}x\cdot\frac{\sqrt{1-\frac 1 x}-1}{\sqrt{1-\frac 1 x}} = \LimIn{-\infty}\frac{x\left(\left(1-\frac 1 x\right)-1\right)}{\sqrt{1-\frac 1 x}\left(\sqrt{1-\frac 1 x}+1\right)} \\ & = \LimIn{-\infty}\frac{-1}{\sqrt{1-\frac 1 x}\left(\sqrt{1-\frac 1 x}+1\right)} = \frac{-1}{1\cdot2} = -\frac 1 2 . \end{aligned} \end{split}\]Zatem lewostronna asymptota ukośna to \(y=-x-\frac 1 2\).
Konkludując, wykres funkcji \(f\) ma asymptoty:
prawostronną pionową \(x=1\)
prawostronną ukośną \(y=x+\frac 1 2\)
lewostronną ukośną \(y=-x-\frac 1 2\).